郭 航， 金燕生， 張 衡

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

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推廣的潛在索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

郭 航， 金燕生， 張 衡

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

改進(jìn)了一類潛在索賠風(fēng)險(xiǎn)模型，把保費(fèi)由固定變?yōu)槿《鄠€值的隨機(jī)變量，將索賠額序列由獨(dú)立推廣到廣義負(fù)相依，在假設(shè)索賠額分布為L∩D族情況下，得到了有限時(shí)間破產(chǎn)概率的一個漸近等價(jià)式.

重尾分布； 破產(chǎn)概率； 廣義負(fù)相依； 潛在索賠

0 引言

(1)

針對模型(1)，文獻(xiàn)[7]研究了索賠額為D族且負(fù)相關(guān)下的精細(xì)大偏差,文獻(xiàn)[8]研究了索賠額為ERV族,{N(t),t≥0}為復(fù)合二項(xiàng)過程的精細(xì)大偏差和有限時(shí)間破產(chǎn)概率，文獻(xiàn)[9]研究了更新計(jì)數(shù)過程索賠額負(fù)相依下的破產(chǎn)漸近表達(dá)式，文獻(xiàn)[10]將[9]中的索賠額推廣到S族，但索賠額分布重新變?yōu)楠?dú)立的.

1 模型和引理

定義2 稱隨機(jī)變量ξ1,ξ2,…,ξn是下廣義負(fù)相依的，若存在M>0，使得對所有xi,i=1,2,…,n有

(2)

稱隨機(jī)變量ξ1,ξ2,…,ξn是上廣義負(fù)相依的，若存在M>0使得對所有的xi,i=1,2,…,n有

(3)

稱隨機(jī)變量ξ1,ξ2，…，ξn是廣義負(fù)相依的，若同時(shí)滿足式(2)和(3)，若M=1,則就是負(fù)相依的定義.

有了上述定義，在模型(1)基礎(chǔ)上，假設(shè)第k個投保人保費(fèi)為Fk，文獻(xiàn)[4-8]中Fk≡μ(1+ρ)，將固定的保費(fèi)由μ(1+ρ)推廣到離散隨機(jī)變量L，其取有限個有界值0μ，顯然模型(1)是在m=1時(shí)的特殊情況，此外再假設(shè)索賠額{Xk,k=1,2…}是廣義負(fù)相依的且分布屬于L∩D族，因此新的模型就變?yōu)?,定義T時(shí)刻的破產(chǎn)概率為

對于新模型有如下說明：(A1) {Fk∶k≥1},{Ik∶k≥1},{Xk∶k≥1},{N(t)∶t≥0}之間是相互獨(dú)立的,(A2) {Ik∶k≥1}之間是相互獨(dú)立的，存在0<θ<+使得成立,(A3) {N(t)∶t≥0}具有有限的均值函數(shù)m(t)=E[N(t)].

引理2 對于任意的正整數(shù)n，在引理1條件下有

(4)

證明 當(dāng)n=1時(shí)(4)式顯然成立，以下證n≥2時(shí)成立.取1≤i≠j≤n，又由引理1得{IkXk:K≥1}是廣義負(fù)相依的，故P(IiXi>x,IjXj>x)≤MP(IiXi>x)P(IjXj>x)=o(P(I1X1>x)).因此

(5)

(6)

(7)

又Xk的分布屬于L∩D族，由D族定義可得?x0>0，當(dāng)x>x0時(shí)，存在常數(shù)c0有，

P(X1>x/n)≤c0P(X1>x).

(8)

(9)

由(9)和(5)式可得(4)式成立，證畢.

2 主要成果

(10)

考察(10)式第二個不等號，對于任意的正整數(shù)B，t∈(0,T]有

(11)

對于I2(u,t,B)，由條件(A2)及Xk為L∩D族，由文獻(xiàn)[4]中的思想可知，存在正的常數(shù)p，h，C，H，當(dāng)u≥H時(shí)，有

由N(T)具有有限均值，根據(jù)文獻(xiàn)[14]知,存在h>0，對任意的T≥0都有E[ehN(T)]<，又為B

(12)

對于I1(u,t,B)，構(gòu)造

(13)

(14)

又對?u有

(15)

綜合式(13)～(15)得

(16)

又由(11)～(12)式及(7)式可得

(17)

由引理1知,{IkXk-Lm:K≥1}是END的且分布族支撐在[-Lm,+)屬于L∩D族，故與(17)式的證明過程相同，可得(t)]. 又由L族定義可得證畢.

3 結(jié)論

本文推廣了一類基于潛在索賠的風(fēng)險(xiǎn)模型，相比模型(1),其更符合保險(xiǎn)公司實(shí)際經(jīng)營狀況，在索賠分布族為L∩D族情況下，得到了一個有限時(shí)間破產(chǎn)概率的漸近等價(jià)式，該等價(jià)式可以在一定程度上評估保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)情況，對保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)控制有一定的借鑒意義.

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

Ruin Probability for an Extended Prospective-claim Risk Model

GUO Hang JIN Yansheng ZHANG Heng

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

An improved potential claim risk model was proposed,in which the fixed premium was replaced by a random variable with multiple values and the claim sequence’s independence was replaced by extended negatively dependence.Under the claim amount distribution belongs to classL∩D,an asymptotical expression of the finite-time ruin probability was derived.

heavy-tailed distribution; ruin probability; extended negatively dependence; prospective-claim

2016-05-28

郭航(1992—)，男，河北邢臺人，碩士研究生，主要從事保險(xiǎn)精算研究，E-mail:singdax@sina.com;通訊作者:金燕生(1960—)，男，黑龍江齊齊哈爾人，副教授，主要從事保險(xiǎn)精算研究,E-mail:jys1960@ysu.edu.cn.

郭航,金燕生,張衡.推廣的潛在索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016，48(4)：15-19．

O2116

A

1671-6841(2016)04-0015-05

10.13705/j.issn.1671-6841.2016623