秦偉良， 徐丹丹

(南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)系 江蘇 南京 210044)

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幾類具有奇性的p-Laplacian類算子周期解問(wèn)題

秦偉良， 徐丹丹

(南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)系 江蘇 南京 210044)

應(yīng)用Mawhin重合度延拓定理，研究了具有吸引、排斥型奇性的Liénard和Rayeigh方程周期正解的存在性問(wèn)題.主要結(jié)果表明，這兩類具有奇性的方程至少存在一個(gè)周期正解.

Liénard方程； Rayeigh方程； 奇性； 周期解

0 引言

近年來(lái)，具有奇性的Liénard和Rayeigh方程周期解問(wèn)題被廣泛研究[1-13].文獻(xiàn)[1]對(duì)具有奇性的Liénard方程x″+f(x)x′+g(t,x)=0,0

本文研究在R范圍下的具有奇性的p-Laplacian類算子T-周期正解的存在性問(wèn)題.考慮一維的p-Laplacian算子(φp(u′))′，其中：p>1；φp:R→R為φp(s)=sp-2s(s≠0,φp(0)=0).

1 預(yù)備引理

令φ為R→R上的連續(xù)函數(shù)，且滿足下面條件：

1) 對(duì)于任意的x1，x2∈R，x1≠x2，(φ(x1)-φ(x2))(x1-x2)>0，

2) 存在一個(gè)函數(shù)α:[0,+∞)→[0,+∞)，α(s)→+∞ 且s→+∞，對(duì)于所有的x∈R,φ(x)x≥α(x)x.

1) 對(duì)于每一個(gè)λ∈(0,1)，方程

(φ(u′))′=λf(t,u,u′),u(0)=u(T),u′(0)=u′(T)

(1)

在?Ω上無(wú)解；

2 具有吸引-排斥型奇性的Liénard方程

考慮問(wèn)題

(u′p-2u′)′+f(u)u′+g1(u)+g2(t,u)=h(t),u(0)=u(T),u′(0)=u′(T)，

(2)

其中：p>1；f:R→R連續(xù)，g1:R→R連續(xù)，g2:(I×R)→R是Carathéodory映射；g1，g2在u=0點(diǎn)具有奇性；g1(u)為吸引型，即u→0+時(shí)g1(u)→+∞;g2(t,u)為排斥型，即u→0+時(shí)g2(t,u)→-∞；h∈L1.下面的結(jié)果為引理2的簡(jiǎn)單推廣.

引理3[4]假設(shè)存在正常數(shù)M0、M1和M2，滿足下面條件：

1)對(duì)于所有λ∈(0,1]，方程(u′p-2u′)′+λf(u)u′+λg1(u)+λg2(t,u)=λh(t)的每一個(gè)可能的正T-周期解u，滿足不等式M0

2)方程g1(c)+g2(t,c)-h(t)=0的每一個(gè)可能的解c，滿足M0

3)若(g1(M0)+g2(t,M0)-h(t))(g1(M1)+g2(t,M1)-h(t))<0，則方程(2)至少存在一個(gè)T-周期解u，使得對(duì)于所有t∈[0,T]滿足r

證明 假設(shè)條件(H2)意味著存在D1>0，對(duì)于所有的u∈(0,D1]，有g(shù)1(u)+g2(t,u)-h(t)>0.因此，若對(duì)所有t∈[0,T]，有00,?t∈[0,T]，因此

(3)

但是，如果u是方程(2)的T-周期解，將方程(2)在[0,T]上積分并考慮周期條件，得到

(4)

方程(3)和(4)意味著在t0∈[0,T]上，u(t0)>D1.另一方面，假設(shè)條件(H2)表明存在D2>D1，使得對(duì)于所有的u≥D2，有g(shù)1(u)+g2(t,u)-h(t)<0.因此，若在t∈[0,T]上有u(t)≥D2，則

(5)

比較方程(4)和(5)得到，如果u是方程(4)的T-周期解，那么存在t1∈[0,T]，使得u(t1)

證明 首先，將方程(4)嵌入帶參數(shù)λ∈(0,1)的方程族，等價(jià)于

(u′p-2u′)′+λf(u)u′+λg1(u)+λg2(t,u)=λh(t)，

(6)

則若u是方程(4)的一個(gè)T-周期正解，將式(4)兩邊乘以u(píng)，得到

(u′p-2u′)′u+λf(u)u′u+λg1(u)u+λg2(t,u)u=λh(t)u，

(7)

定義I+={t∈[0,T]:g2(t,u)≥0}，I-={t∈[0,T]:g2(t,u)≤0}.

(8)

對(duì)任意的ò>0,存在φ∈C(R,R),φ(t+T)=φ(t),使得g2(t,u)≤(φ(t)+ò)u+gò(t).結(jié)合式(4)和(8)，有

(9)

證明 如果u是式(4)的一個(gè)T-周期解，令

v(t)=u′(t)(p-2)u′(t)，

(10)

則u連續(xù)且

u′(t)=v(t)(q-2)v(t)，

(11)

v′(t)+λf(u)u′=-λg1(u)-λg2(t,u)+λh(t)，

(12)

(13)

定理1 假設(shè)條件(H1)～(H6)都滿足，那么方程(4)至少有一個(gè)T-周期正解.

證明 由引理4和引理6得M00，其中0D2)，同時(shí)推出(g1(M0)+g2(t,M0)-h(t))(g1(M1)+g2(t,M1)-h(t))<0.則引理3的條件2)和3)滿足，證明完畢.

3 吸引或排斥型的Liénard方程

假設(shè)φ:R→R連續(xù)且滿足條件(H1)和(H2).運(yùn)用重合度延拓定理研究如下形式的方程:

(φ(u′))′=f(u)u′+g(t,u)+e(t),u(0)=u(T),u′(0)=u′(T)，

(14)

其中:f，g連續(xù)；函數(shù)g在0具有奇性；e∈L1.

定理2 假設(shè)滿足以下條件：

1) 對(duì)于所有x，y∈R，t∈I，存在n∈C1(R,R)和h∈L1(I,R+)滿足

φ(y)n′(x)y≥0,

(15)

和

f(x)y+g(x)+e(t)≤(f(x)y+g(x)+e(t))n(x)+h(t).

證明 首先，將式(14)嵌入帶參數(shù)的λ∈(0,1)的方程族，等價(jià)于

(φ(u′))′=λf(u)u′+λg(u)+λe(t).

(17)

(18)

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

Periodic Solutions of p-Laplacian-like Operators with Singularities

QIN Weiliang, XU Dandan

(DepartmentofMathematicsandStatistics,NanjingUniversityofInformation
Science&Technology,Nanjing210044,China)

The degree theorem was used to explore an existence result of periodic solution for the Liénard equations and Rayeigh equations with singular forces of attractive and repulsive type.The main result showed that the scalar of these two kinds equations with singular forces had at least one positive periodic solution.

Liénard equation; Rayeigh equation; singularity; periodic solution

2016-05-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41505118)．

秦偉良(1965—)，男，江蘇常州人，副教授，主要從事應(yīng)用統(tǒng)計(jì)和非線性微分方程研究，E-mail:hetangtang88@163.com；通訊作者：徐丹丹(1991—)，女，江蘇淮安人，碩士研究生，主要從事非線性常微分方程研究，E-mail:1159489113@qq.com．

秦偉良，徐丹丹．幾類具有奇性的p-Laplacian類算子周期解問(wèn)題[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016，48(4)：10-14．

O175.14

A

1671-6841(2016)04-0010-05

10.13705/j.issn.1671-6841.2016608