錢金勇

摘要：課程改革以來(lái)，算法多樣化深入人心。許多一線教師熱衷于算法多樣化，但是由于缺乏對(duì)算法優(yōu)化理念的深入解析，產(chǎn)生了一些誤區(qū)：為算法多樣化而多樣化，沒(méi)有及時(shí)優(yōu)化，導(dǎo)致教學(xué)中的一些遺憾。本文力求從“多樣化”和“優(yōu)化”兩個(gè)角度去把握算法多樣化，打通它們之間的脈絡(luò)。算法多樣化是算法優(yōu)化的前提和基礎(chǔ)，在尊重算法多樣化的前提下，要及時(shí)的優(yōu)化。算法多樣化走向算理上的最優(yōu)化，也是必然的趨勢(shì)。重視算法優(yōu)化，會(huì)不斷地促進(jìn)算法的“多樣化”。算法的優(yōu)化，是在體驗(yàn)與反思基礎(chǔ)上的內(nèi)化過(guò)程。算法優(yōu)化會(huì)促進(jìn)個(gè)體的發(fā)展。只有打通算法多樣化與優(yōu)化的脈絡(luò)，給學(xué)生一個(gè)扎實(shí)有效的課堂學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維，打通算法多樣化與算法優(yōu)化的脈絡(luò)，促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化。

關(guān)鍵詞：誤區(qū)；意義；打通脈絡(luò)；知識(shí)的內(nèi)化

一、緣由

課程改革以來(lái)，對(duì)學(xué)生計(jì)算要求有所降低，也減去教材中一些偏、難、繁瑣的計(jì)算，但學(xué)生的計(jì)算能力不升反降。這是什么原因，這會(huì)跟我們所提倡的算法多樣化有關(guān)嗎？我針對(duì)自己課程改革教學(xué)多年的感受，以及與同事，同行交流的一些心得整理出來(lái)，確實(shí)我們計(jì)算教學(xué)的算法多樣化確實(shí)存在一些誤區(qū)。

二、算法多樣化的一些誤區(qū)

1、為算法多樣化而多樣化。（1）把算法多樣化等同于“一題多解”?！耙活}多解”是學(xué)生個(gè)體能力的表現(xiàn)，是一種很高的學(xué)習(xí)要求，在某種程度上說(shuō)是很難達(dá)到的要求。算法多樣化是群體學(xué)習(xí)能力的表現(xiàn)，是學(xué)生集體的一題多解，是學(xué)習(xí)個(gè)性化的表現(xiàn)。因此，個(gè)體在解決問(wèn)題時(shí)沒(méi)有必要掌握多種算法，讓個(gè)體掌握多種算法的教學(xué)定位無(wú)疑加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，違背了算法多樣化的精神實(shí)質(zhì)。（2）老師“索要”多樣化的算法。不能為了體現(xiàn)多樣化而多樣化，讓學(xué)生絞盡腦汁，想出與眾不同的、費(fèi)解的算法，甚至引導(dǎo)學(xué)生尋求“低層次算法”。更不要為了湊數(shù)量，而介紹后續(xù)知識(shí)方法來(lái)充當(dāng)現(xiàn)存的算法，學(xué)生不明白道理，只能死記硬背，結(jié)果是拔苗助長(zhǎng)，事與愿違。

2、沒(méi)有及時(shí)優(yōu)化。（1）算法是多樣化，但卻表面化。算法多的熱鬧，但都是浮于表面，造成了算法多樣化的表面化、形式化。（2）恰當(dāng)使用“你喜歡怎么算就怎么算”。計(jì)算課教學(xué)中，教師常常會(huì)用“你喜歡那種算法就用那種算法”。急于讓學(xué)生去選擇“喜歡哪種算法”，沒(méi)有要回頭對(duì)各種方法進(jìn)行評(píng)價(jià)與反思，通過(guò)對(duì)各種方法的辨析，來(lái)認(rèn)識(shí)不同方法的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)，以此來(lái)達(dá)到“去偽存真、去粗取精”的目的，實(shí)現(xiàn)“優(yōu)化選擇”。

以上情況的發(fā)生導(dǎo)致的結(jié)果是計(jì)算錯(cuò)誤率的提高，以至于一些教師在懷疑算法多樣化的必要性，究其原因主要是教師對(duì)算法多樣化的認(rèn)識(shí)存在著偏差。一方面認(rèn)為要尊重學(xué)生，要讓學(xué)生的個(gè)性得到發(fā)展，另一方面又急于對(duì)算法進(jìn)行歸納提升，使算法多樣化和算法優(yōu)化失去關(guān)聯(lián)脈絡(luò)不通，達(dá)不到預(yù)期的效果。如何打通算法多樣化與優(yōu)化的脈絡(luò)，需要先從了解什么是算法多樣化，什么是算法的優(yōu)化？

三、算法多樣化與優(yōu)化的意義

算法即算術(shù)方法。小學(xué)算法多樣化是指在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是在四則運(yùn)算中，鼓勵(lì)學(xué)生用多種多樣的方法進(jìn)行計(jì)算，從而使學(xué)生的思維獲得某種訓(xùn)練，使學(xué)生具有開(kāi)放的思維和意識(shí)。所謂的“多樣化”是指“群體的多樣化”。小學(xué)算法優(yōu)化，是指在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)、積累的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)以及學(xué)生擅長(zhǎng)的計(jì)算思維方式，引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化某種思維運(yùn)算方式，從而使學(xué)生獲得一種基于自身個(gè)性的優(yōu)化思維運(yùn)算。有了對(duì)意義的深入理解，我們不難看出，多樣化與優(yōu)化其實(shí)誰(shuí)也離不了誰(shuí)，它們是交融在一起。而如何恰當(dāng)運(yùn)用多樣化與優(yōu)化，打通它們之間的脈絡(luò)，將是下面我要闡述的觀點(diǎn)。

四、打通算方法多樣化與優(yōu)化之間的脈絡(luò)

1、尊重算法多樣化，是優(yōu)化的根基。

（1）算法多樣化是算法優(yōu)化的前提和基礎(chǔ)。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問(wèn)題也許僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)的或?qū)嶒?yàn)的技能而已，而提出新的問(wèn)題，新的可能性，從新的角度去看待舊的問(wèn)題，卻需要有創(chuàng)造性的想像力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”這充分說(shuō)明了從不同的角度思考問(wèn)題的重要性。算法多樣化正是提倡引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，嘗試從不同角度、不同思路去考慮。同時(shí)，每個(gè)學(xué)生都有自己獨(dú)特的思維方式和解決問(wèn)題的策略。有比較才有鑒別，有特殊才有一般，有多樣化才會(huì)有優(yōu)化。只有引導(dǎo)學(xué)生算法多樣化，才能引導(dǎo)學(xué)生嘗試評(píng)價(jià)不同算法之間的差異，才能尋找解決問(wèn)題的最佳途徑。這種最佳途徑是相對(duì)學(xué)生自身?xiàng)l件來(lái)說(shuō)最好的思維運(yùn)算，是相對(duì)優(yōu)化的。

案例片段：20以內(nèi)的退位減法。

例如，在“20以內(nèi)的退位減法”“12—9”的教學(xué)中。學(xué)生得出了下面一些算法：①數(shù)數(shù)法；②破十法：10—9=1，2+1=3。③連續(xù)減：12—2=10，l0一7=3。④想加算減：9+3=12，12—9=3。⑤其他，聯(lián)想：11—9=2，2+1=3等……

這是我并沒(méi)有急于下結(jié)論，而是問(wèn)：你認(rèn)為那種方法好，你是怎么想的？

生1：我覺(jué)得破十法好，因?yàn)樗盟恪?/p>

生2：我是用第三種的，我爸爸教我的。

生3：我是用第四種的，我只用記一道算式就夠了。因?yàn)?+3=12。所以12——9=3……學(xué)生各有各的理由，在學(xué)生看來(lái)，他們的方法就是最好，而我們的教師自己要清楚那些是最好的，如何讓他們?cè)谶@么多的方法中比較出來(lái)，感受算法優(yōu)化的過(guò)程。這過(guò)程是一個(gè)促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)反思、自我完善的過(guò)程。所以，教師應(yīng)該把選擇判斷的主動(dòng)權(quán)放給學(xué)生，為學(xué)生提供足夠的時(shí)間，充分交流的機(jī)會(huì)。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論交流、分析比較，讓學(xué)生在用自己的算法和用別人的算法計(jì)算時(shí)。認(rèn)識(shí)到差距，產(chǎn)生修正自我的內(nèi)需，從而“悟出”屬于自己的最佳方法。如上面“12—9”的多種算法呈現(xiàn)后，學(xué)生經(jīng)歷以上過(guò)程就可以選擇出一般性算法，如第②～④種，即破十法、連續(xù)減、想加算減。教師要注意在引導(dǎo)評(píng)價(jià)算法時(shí)，不要講“優(yōu)點(diǎn)”，而要講“特點(diǎn)”，把優(yōu)點(diǎn)讓給學(xué)生自己去感悟，為學(xué)生多留一點(diǎn)思考的空間，使得所有學(xué)生都能在原有基礎(chǔ)上得到發(fā)展，才能達(dá)到優(yōu)化算法的目的。從以上案例不難看出，如果沒(méi)有學(xué)生的多種方法，何來(lái)的比較，何來(lái)的方法優(yōu)化。

（2）算法多樣化走向算理上的最優(yōu)化，也是必然的趨勢(shì)?！八惴▋?yōu)化意味著學(xué)生有一種基于天賦特點(diǎn)的優(yōu)化思維運(yùn)算，這是在算法多樣化的過(guò)程中符合邏輯的自然結(jié)果。”隨著小學(xué)生學(xué)段的增加，小學(xué)生數(shù)學(xué)思維逐步發(fā)展，算法多樣化走向算理上的最優(yōu)化，也是必然的趨勢(shì)。

案例：（片斷）

12×4=48

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想用什么方法這么快就算出是48呢。能把你的想法互相告訴你的同桌同學(xué)

生1：10×4=40，2×4=8，12×4=48

生2：12×4=12×2×2=24×2=48

生3：12×4=12+12+12+12=48

生4：6×4=24，6×4=24，12×4=48

師：以上幾種方法，你覺(jué)得那種口算方法比較快，那種口算方法比較慢？

經(jīng)過(guò)討論學(xué)生一致得出方法1、2、4，都是比較快的。方法3是比較慢的。

師再追問(wèn)：第四種真的快嗎？

如果是這樣的23×7=（ ），你會(huì)用那種方法？

生經(jīng)過(guò)一會(huì)思考說(shuō)：第一種……

兩位數(shù)乘一位數(shù)，按人們長(zhǎng)期總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)是直接從高位算起，并注意個(gè)位乘積的進(jìn)位，再寫得數(shù)，這樣的速度比較快。為了使學(xué)生既能掌握這一方法，又能實(shí)現(xiàn)算法多樣化，所以在以上教學(xué)中教師首先放手讓學(xué)生充分展示自己的不同思考方法，緊接著引導(dǎo)學(xué)生比較那種口算速度快。學(xué)生在比較中至少感受到方法3是不快的，對(duì)于其他的方法，而是在計(jì)算23×7的環(huán)節(jié)中，使自己去感悟采用從十位開(kāi)始的口算方法的優(yōu)越性。

2、重視算法優(yōu)化，體驗(yàn)萬(wàn)變不離其宗。

（1）學(xué)生算法的優(yōu)化，是學(xué)生在體驗(yàn)與反思基礎(chǔ)上的內(nèi)化過(guò)程。算法多樣化是一種手段不是目的，出現(xiàn)多樣化的算法后，選擇哪一種方法，是每個(gè)學(xué)生面臨的問(wèn)題。那么，對(duì)算法進(jìn)行優(yōu)化，則是學(xué)生數(shù)學(xué)思維質(zhì)的飛躍。只有學(xué)生思維的飛躍，才有更多的想法，從而促進(jìn)法的多樣化，算法的群體化。

案例：《小數(shù)加減法》（北師大課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)四年級(jí)下冊(cè)）

心語(yǔ)陪媽媽到百聯(lián)超市購(gòu)物，買了一瓶酸牛奶，單價(jià)1.25元；一袋餅干，單價(jià)2.41元。收銀臺(tái)要媽媽交3.66元，對(duì)嗎？

創(chuàng)設(shè)情境學(xué)生根據(jù)情境提出數(shù)學(xué)問(wèn)題并列出算“1.25+2.41”后，教師讓學(xué)生自主思考計(jì)算方法。結(jié)果學(xué)生的想法主要有三種：

①利用生活經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合實(shí)際情境來(lái)解決。1.25元等于1元2角5分，2.41元等于2元4角1分。1元加2元等于3元，2角加4角等于6角，5分加1分等于6分，合起來(lái)就是3元6角6分，以元作單位就是3.66元，算式是1.25+2.41=3.66元；

②運(yùn)用整數(shù)加減法進(jìn)行推理（如圖）。1.25元、2.41元可以分別看作125分、241分。

③借助數(shù)形結(jié)合直觀圖來(lái)解決（如圖）。

比較上述三類方法，從解決問(wèn)題的策略來(lái)講，它們的確都能解決情境中的問(wèn)題，也都能幫助學(xué)生理解小數(shù)加減法的本質(zhì)意義。但是，教者如果僅僅滿足于此，那么，這眾多的方法在學(xué)生頭腦中就必然是孤立的、零散的、沒(méi)有結(jié)構(gòu)的，甚至是相互干擾的。因此作為教師，有義務(wù)引領(lǐng)學(xué)生觀察、比較、分析、歸納、發(fā)現(xiàn)其中的奧秘，幫助學(xué)生理解方法表象后面的本質(zhì)內(nèi)涵。下面是一位老師對(duì)此思考后的嘗試：在學(xué)生交流介紹的時(shí)候，教師適時(shí)地抓住學(xué)生的關(guān)鍵語(yǔ)句，加以提煉：對(duì)于第一種類型，教師抓住了學(xué)生的“元+元”、“角+角”、“分+分”；對(duì)于第二種類型，提煉出了“塊+塊”、“條+條”、“格+格”；對(duì)于第三種類型，重點(diǎn)突出“個(gè)位+個(gè)位”、“十分位+十分位”、“百分位+百分位”。

由于有了這樣的提煉，學(xué)生很容易理解了三種方法的共同點(diǎn)：相同數(shù)位對(duì)齊，相同數(shù)位上的數(shù)相加減。舉一綱而萬(wàn)目張，解一卷而眾篇明！對(duì)展示交流進(jìn)行減法運(yùn)算的意義正在于此。上述案例中，課堂雖然展示了多種方法，但是這些方法在學(xué)生頭腦中卻并不蕪雜。這是因?yàn)楦鞣N方法都有一個(gè)共同的繩——相同數(shù)位對(duì)齊，相同數(shù)位上的數(shù)相加減。只要一拎這根共同的繩，那么各種方法就會(huì)一拎而百順，綱舉而目張！

（2）個(gè)體的差異促進(jìn)算法優(yōu)化。小學(xué)生每個(gè)人都有自己的生活背景、家庭環(huán)境、特定的生活與社會(huì)文化氛圍，這導(dǎo)致了不同的小學(xué)生有著不同的思維方式，不同的興趣愛(ài)好，不同的發(fā)展?jié)撃堋ＰW(xué)生的差異是客觀存在的，教師應(yīng)持一種客觀的態(tài)度，使不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。

案例《找規(guī)律》片段。

教師先讓學(xué)生聽(tīng)一段有規(guī)律的鼓點(diǎn)音頻節(jié)奏，讓學(xué)生思考：

①找一找，它的規(guī)律是什么？

②想出一種自己喜歡的方法把這個(gè)規(guī)律表示出來(lái)，讓別人一眼就能看明白。

③在你的表示方法中，照這個(gè)規(guī)律排列下去。它的第17個(gè)是什么？

學(xué)生由于家庭環(huán)境不同、思維方式不同、文化背景不同，其對(duì)同一問(wèn)題的理解和建構(gòu)也各不相同。因此，學(xué)生紛紛展示了各自富有個(gè)性化的想法：

①用文字表示：強(qiáng)弱弱強(qiáng)弱弱……第十七個(gè)為弱；

②用數(shù)字表示：123123……第十七個(gè)為“2”；

③用符號(hào)表示：△□△○□……第十七個(gè)為“○”；

④計(jì)算：ABCABC……因?yàn)?7÷3=5…2，所以第十七個(gè)應(yīng)該是“B”。

“那么，哪一種方法更簡(jiǎn)單呢？”隨著老師的詢問(wèn)，學(xué)生幾乎異口同聲地認(rèn)為第四種方法也就是計(jì)算的方法最簡(jiǎn)單。

“為什么？”教師追問(wèn)。

“因?yàn)橛?jì)算省時(shí)，一道算式就夠了，不像字母、符號(hào)、漢字那樣要一個(gè)一個(gè)地板書(shū)，這樣數(shù)字大的時(shí)候就非常麻煩，比如說(shuō)問(wèn)第101個(gè)鼓點(diǎn)，想一想，如果用漢字寫要寫到什么時(shí)候？”

“那么其他方法就一點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)都沒(méi)有了嗎？”教師反問(wèn)。

學(xué)生陷入了沉思，很快有學(xué)生發(fā)言了：“文字、圖形、漢字清楚直觀，答案是什么，一眼就能看清楚。而且它能保證答案絕對(duì)正確！”

“那么你覺(jué)得什么時(shí)候用什么方法就比較合適？”

“數(shù)字小時(shí)，比如說(shuō)七八個(gè)時(shí)選擇圖形、文字、字母等方法比較合適；如果數(shù)字大了，用計(jì)算的方法相對(duì)來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)單一些。

沒(méi)有“最好”的算法，只有“最適合”的算法。只有經(jīng)過(guò)優(yōu)化，多樣化才有意義。上述教學(xué)的意義正在于此。教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)分析、比較，不僅明了了各種算法的價(jià)值和適用范圍，體悟了具體問(wèn)題具體分析的策略，同時(shí)更重要的，學(xué)生在反思中形成了溝通接納的思想和并蓄包容的多元價(jià)值理念。而這不正是新興人才必備的基本素質(zhì)嗎？

在對(duì)算法優(yōu)化的認(rèn)識(shí)上，也是如此。不同的小學(xué)生對(duì)算法優(yōu)化的認(rèn)識(shí)有差異。也許在多數(shù)人看來(lái)是不好的算法，但他卻認(rèn)為是優(yōu)秀的，因?yàn)樗芾斫?，能?yīng)用，能幫他解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。教師不要急于評(píng)價(jià)學(xué)生的各種算法，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較各種算法的特點(diǎn)，選擇適合自己的方法。只要是適合的，就是相對(duì)優(yōu)化的算法。

算法優(yōu)化與算法多樣化都有利于學(xué)生思維的發(fā)展，算法優(yōu)化有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，算法多樣化有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和開(kāi)放性。算法優(yōu)化和算法多樣化如同一枚硬幣的兩面，二者密不可分，共同促使學(xué)生的思維從低級(jí)階段向高級(jí)階段發(fā)展。沒(méi)有算法優(yōu)化，只有算法多樣化，只會(huì)使算法多樣化成為形式上的多樣化，不符合人類認(rèn)知的規(guī)律。由此可見(jiàn)，算法多樣化和算法優(yōu)化二者實(shí)質(zhì)上并不矛盾。它們?cè)诒举|(zhì)上是兩種思維訓(xùn)練。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，只要我們打通算法多樣和算法優(yōu)化的脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行體驗(yàn)與反思，自覺(jué)進(jìn)行算法的優(yōu)化，促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化。最終讓每一個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)上都有所發(fā)展。

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