◇ 江蘇 沈永彬

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一題多變探究解析幾何中三角形面積問題

◇ 江蘇 沈永彬

變式訓(xùn)練是鍛煉、培養(yǎng)學(xué)生解題思維的有力工具.對(duì)一道題目的變式主要包括題目條件的變化、所給形式的變化、背景的變化等,通過這些變化可有效考查學(xué)生應(yīng)變能力、分析問題及解決問題的能力．下面舉例分析．

例1已知直線l的方程為x+my-2m-1=0且m≠0．設(shè)直線l與x、y軸的正半軸分別交于M、N2點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△MON面積最小時(shí)l的方程．

解析方法1分別令y=0或x=0,得A(2m+1,0)、B(0,2+1/m).

此時(shí)直線l的方程為2x+y-4=0．

點(diǎn)評(píng)求三角形面積的最小值,關(guān)鍵是構(gòu)造出面積關(guān)系式,本題從2種視角分別利用均值不等式求出三角形面積的最小值．應(yīng)用中注意均值不等式成立的條件,即“正、定、等”．

1 改變問題形式

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)函數(shù)f(x)=k(x-2)+3的圖象為直線l,且l與x、y軸分別交于A、B2點(diǎn),給出下列4個(gè)命題:

① 存在正實(shí)數(shù)m,使△AOB的面積為m的直線l僅有1條;

② 存在正實(shí)數(shù)m,使△AOB的面積為m的直線l僅有2條;

③ 存在正實(shí)數(shù)m,使△AOB的面積為m的直線l僅有3條;

④ 存在正實(shí)數(shù)m,使△AOB的面積為m的直線l僅有4條．

其中所有真命題的序號(hào)是________.

解析易知直線l過定點(diǎn)P(2,3).如圖1所示,當(dāng)直線l交x軸于負(fù)半軸、交y軸于正半軸時(shí),△ABC的面積為任意正實(shí)數(shù),不存在最值．

如圖2,當(dāng)直線l交x軸于正半軸、交y軸于負(fù)半軸時(shí),△ABC的面積為任意正實(shí)數(shù),不存在最值．

如圖3所示,當(dāng)直線l交x、y軸于正半軸時(shí),此情況同例1,△ABC的面積存在最小值,設(shè)為s.

圖1

圖2

圖3

當(dāng)m

當(dāng)m=s時(shí),圖1、2、3的情況中各有1條直線滿足條件,共3條．

當(dāng)m>s時(shí),圖3中有2條直線滿足條件,圖1、2的情況中各有1條直線滿足條件,共4條．

故正確答案為②③④．

點(diǎn)評(píng)本題從形式上看與例1不同,但深入探究問題的本質(zhì)不難發(fā)現(xiàn),依然是求面積最值問題．從條件中看,沒有指明點(diǎn)A、B所在的位置,也可能在負(fù)半軸上．故需分情況討論求解．

2 改變問題背景

例3設(shè)m、n∈R,若直線l:mx+ny-1=0與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B,且l與圓x2+y2=4相交所得弦的長(zhǎng)為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△AOB面積的最小值為________.

點(diǎn)評(píng)本題以圓為新的背景,將例1中直線過定點(diǎn)的條件改為直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為定值,從而利用垂徑定理構(gòu)造出m、n的定值關(guān)系,利用均值不等式求面積最值．

3 改變限制條件

例4圓x2+y2=4的切線與x、y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為P.

(1) 求點(diǎn)P的坐標(biāo);

圖4

(2) 略．

點(diǎn)評(píng)本題將限制條件改為直線與已知圓相切,通過引入切線方程y=kx+b,利用切點(diǎn)與圓心的連線垂直切線的性質(zhì),將b用k的表示,再利用例1求解方法構(gòu)造出面積表達(dá)式,借助均值不等式求解．

綜上,一題多變的訓(xùn)練能有效考查學(xué)生靈活利用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力．通過探究問題本質(zhì),找出共性,以不變應(yīng)萬變快速解決問題．

江蘇省寶應(yīng)縣安宜高級(jí)中學(xué))