◇ 北京 王保東(特級教師) 相文明

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2016年高考數(shù)學卷導(dǎo)數(shù)綜合題解析

◇ 北京 王保東1(特級教師) 相文明2

導(dǎo)數(shù)綜合題均采用“多問把關(guān)”的形式,一般涉及曲線的切線方程、函數(shù)的性質(zhì),以及相關(guān)不等式的證明等問題.其核心是通過導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和局部判斷等手段得到適當?shù)暮瘮?shù)圖象,達到“以圖啟數(shù)、以數(shù)論形”的目的.在高考中,導(dǎo)數(shù)綜合題都是中檔題和較難題,突出考查函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、有限與無限等思想方法和探索精神,對學生具有的數(shù)學思想方法、利用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力、數(shù)學學科素養(yǎng)都有很高的要求.

1 利用二次求導(dǎo),弄清函數(shù)性質(zhì)

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題時,一般步驟為確定函數(shù)的定義域;求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);判定導(dǎo)函數(shù)的零點或?qū)Ш瘮?shù)的符號;確定原函數(shù)的圖象.在今年的高考試題中,許多學生在求導(dǎo)函數(shù)的零點時遇到障礙,求導(dǎo)函數(shù)的零點需要解超越方程,而超越方程沒有一般的求解方法,這時就要換個角度想問題,把導(dǎo)函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)變形后的部分看成一個新函數(shù),再對新函數(shù)求導(dǎo),通過研究新函數(shù)的性質(zhì),把握原函數(shù)的性質(zhì).這個過程,通常被稱為“二次求導(dǎo)”.在無法判定導(dǎo)函數(shù)的零點或?qū)Ш瘮?shù)的符號時二次求導(dǎo)就顯得尤為重要,它會使解題方向峰回路轉(zhuǎn),收到意想不到的效果.

例1(2016年北京卷理科18題) 函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4.

(1) 求a、b的值;

(2) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解析(1) 因為f(x)=xea-x+bx,所以

f′(x)=(1-x)ea-x+b.

(2) 由(1)可知f(x)=xe2-x+ex,f′(x)=e2-x(1-x+ex-1).由e2-x>0,可知f′(x)與1-x+ex-1同號.

令g(x)=1-x+ex-1,則g′(x)=-1+ex-1.所以,當x∈(-∞,1)時,g′(x)<0,g(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減;當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上的最小值.

從而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).

綜上f′(x)>0,x∈(-∞,+∞).

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).

點評本題第(1)問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線問題,它在選擇題、填空題和解答題中都有可能出現(xiàn).解題的關(guān)鍵是抓住切點,沒給切點的要先設(shè)出切點坐標(x0,y0),再利用切點處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率和切點是原函數(shù)的圖象與切線的公共點構(gòu)造方程組求解.第(2)問是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題,按照解題步驟在解導(dǎo)數(shù)大于零和導(dǎo)數(shù)小于零時遇到了困難,此時,將導(dǎo)函數(shù)中符號不確定的因式構(gòu)造成新函數(shù),進行二次求導(dǎo),結(jié)合第二次導(dǎo)函數(shù)的正、負,很好地解決了一次導(dǎo)數(shù)的正、負問題,進而解決了原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題.

2 利用承上啟下,巧妙解決問題

高考主要考查學生數(shù)學知識、思想方法、思維能力和數(shù)學素養(yǎng).試題既重基礎(chǔ),又體現(xiàn)靈活創(chuàng)新,但考場上時間是有限的,盲目套用成題模式,往往會事倍功半.所以做高考解答題時要關(guān)注一道題的前后之間、上下問之間是否有聯(lián)系,許多試題在問題與問題之間是相互聯(lián)動、普遍聯(lián)系的,前面問題的解決對后面問題的解決是有影響和幫助的.

(x-2)ex+x+2>0.

(-∞,-2)∪(-2,+∞),

因為當x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)時,f′(x)≥0.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2)、(-2,+∞).

思路1構(gòu)造新函數(shù),二次求導(dǎo).

設(shè)h(x)=(x-2)ex+x+2,x>0,則

h′(x)=ex+(x-2)ex+1=(x-1)ex+1.

令m(x)=h′(x)=(x-1)ex+1,則

m′(x)=ex+(x-1)ex=xex.

因為當x>0時,m′(x)>0，故m(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),且m(0)=0.所以當x>0時,m(x)>0,即h′(x)>0.所以h(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),且h(0)=0.所以當x>0時,h(x)>0,即當x>0時,(x-2)ex+x+2>0.

思路2觀察函數(shù)f(x)與欲證不等式,建立聯(lián)系.

由(1)知,f(x)+a在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

對任意a∈[0, 1),f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a≥0. 因此存在唯一的t∈(0, 2],使得f(t)+a=0,即g′(t)=0.

當0

當x>t時,f(x)+a>0,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

因此g(x)在x=t處取得最小值

點評本題第(1)問判斷函數(shù)單調(diào)性,考查“乘積函數(shù)”和“商”函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則,雖然屬于基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能,但有一定的綜合性,求解過程突出對運算能力的考查,關(guān)注數(shù)學的核心素養(yǎng);在證明不等式時,把它看成一個獨立的問題,構(gòu)造新函數(shù),并采用二次求導(dǎo)的方法解決.但是觀察到所證不等式就是f(x)>f(0)的變形,自然會用函數(shù)單調(diào)性求解.第(2)問看似是一個熟悉的求最值問題,一旦動手,發(fā)現(xiàn)困難重重,即使直接運用二次求導(dǎo)也不易求解.只有認真觀察,將函數(shù)g′(x)進行拆分,借助函數(shù)f(x)的性質(zhì)才能解決.題目在常規(guī)問題中體現(xiàn)著不平凡的設(shè)計理念,對突破模式化教學具有很好的引領(lǐng)作用.

3 利用局部判斷,弄清變化規(guī)律

在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中,最基本的是由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的增減,得到原函數(shù)的“草圖”,但這個“草圖”是否真的可靠,還需要對圖象的邊界點,以及變化趨勢加以定性和定量分析,才能整體把握函數(shù)圖象的變化規(guī)律,正確解決所求問題.

例3(2016年全國乙卷理科21題) 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有2個零點.

(1) 求a的取值范圍;

(2) 設(shè)x1、x2是函數(shù)f(x)的2個零點, 證明:x1+x2<2.

解析(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=

(x-1)(ex+2a).

當a=0時,f(x)=(x-2)ex,函數(shù)f(x)只有1個零點.

當a>0時,f′(x)與f(x)的關(guān)系如表1.

表1

所以f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,fmin(x)=f(1)=-e<0.

又f(1)<0,且f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減,所以在(-∞,1)上存在唯一的零點.故f(x)存在2個零點.

當a<0時,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

又當x≤1時,f(x)<0.所以f(x)不存在2個零點.

當1

當x>ln(-2a)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

又當x≤1時,f(x)<0.所以f(x)不存在2個零點.

綜上所述,當且僅當a>0時符合題意,即a的取值范圍為(0,+∞).

(2) 不妨設(shè)x1

x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),

f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減.所以x1+x2<2 等價于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而

f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,

所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex, 則

g′(x)=(x-1)(e2-x-ex).

所以當x>1時,g′(x)<0,而g(1)=0,故當x>1時,g(x)

從而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.

點評在第(1)問a>0的討論過程中,可知函數(shù)f(x)在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,再結(jié)合f(1)=-e<0,有些學生就會據(jù)此得到函數(shù)一定有2個零點.針對本題,結(jié)果是正確的,但說理是不嚴謹?shù)?還需說明在(-∞,1)和(1,+∞)上分別存在函數(shù)值大于零的x值,才能確定函數(shù)f(x)有2個零點.出錯的原因是對函數(shù)f(x)圖象的把握不夠準確,只有綜合考慮函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性以及圖象的變化趨勢才能得到函數(shù)的“真”圖.在a<0的討論過程中,我們先研究函數(shù)單調(diào)性,再借助函數(shù)解析式對函數(shù)值進行局部判斷,得到當x≤1時,f(x)<0,就能得到合適的“草圖”,而這個“草圖”對解決當前問題足夠用了.這種“判斷函數(shù)值在某部分的符號,并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性,得到‘草圖’”的方法可以簡化運算,在許多高考題中都有體現(xiàn).在第(2)問中,通過函數(shù)的單調(diào)性,把x1+x2<2等價轉(zhuǎn)化為f(x1)>f(2-x2)是解決問題的關(guān)鍵.

通過以上導(dǎo)數(shù)高考題的分析,清晰地看到對導(dǎo)數(shù)題的考查萬變不離其宗.所以高考復(fù)習過程中,考生面對給出的題目,首先是弄明白要解決的問題是什么,它能轉(zhuǎn)化成什么問題;接下來是思考為了解決上面的問題,有可能用到的函數(shù)是什么,學生要有根據(jù)問題構(gòu)建恰當函數(shù)的意識和基本方法;研究上面構(gòu)建出來的函數(shù)(一般要借助導(dǎo)數(shù)).導(dǎo)數(shù)的考查不只停留在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的層面,要能夠利用所構(gòu)建的函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.

導(dǎo)數(shù)題綜合性強,對數(shù)學思想和數(shù)學運算能力的要求都很高,復(fù)習中不可能一步到位,應(yīng)該循序漸進,從而更好地提高學生學習數(shù)學的自信心和解決數(shù)學問題的能力.

建議在高三第1輪復(fù)習時,注意以下3點:

1) 重視基礎(chǔ),把復(fù)習落到實處.

理解基礎(chǔ)要到位,記憶公式要準確,運用知識要靈活,設(shè)計活動要合理,復(fù)習才能落到實處.

2) 重視表述,使復(fù)習講求實效.

重視書寫的規(guī)范性、思維的嚴謹性、表述的合理性,不要讓會做不會寫成為復(fù)習路上的絆腳石.

3) 重視方法,讓復(fù)習有規(guī)可循.

恒成立問題(存在性)問題,優(yōu)先分離變量;不等式證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題;解導(dǎo)數(shù)為零的方程有障礙時,采取二次求導(dǎo)等.熟悉常見的解題策略,明確解題方向,達到事半功倍的效果.

(注:本文為“北京市教育學會‘十三五’教育科研課題:‘互聯(lián)網(wǎng)+’下高中數(shù)學青年教師課堂教學行為研究”成果之一.)