張宇, 鄧子辰, 胡偉鵬, 楊小鋒

(1.西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院, 陜西 西安 710072; 2.西北農林科技大學 理學院, 陜西 楊凌 712100)

Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛傅里葉擬譜格式

張宇1, 鄧子辰1, 胡偉鵬1, 楊小鋒2

(1.西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院, 陜西 西安 710072; 2.西北農林科技大學 理學院, 陜西 楊凌 712100)

Landau-Ginzburg-Higgs方程是一個重要的非線性波動方程,應用多辛保結構理論研究了其多辛算法。首先,利用哈密頓變分原理構造了Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛格式;隨后,通過空間方向上的傅里葉擬譜離散和時間方向上的辛歐拉離散得到了Landau-Ginzburg-Higgs方程的一種顯式多辛離散格式;數值實驗模擬了非周期邊界的扭狀孤立波,結果展示了多辛離散格式的精確性和保持局部守恒量的特性。

Landau-Ginzburg-Higgs方程;多辛積分;傅里葉擬譜方法;孤立波;局部守恒律

隨著科學技術和計算機水平的不斷發(fā)展,數值分析在科學與工程界發(fā)揮著越來越重要的作用。在具體的應用過程中,隨著處理動力學問題難度的不斷加大,需要更好的數值方法作為基礎?？蒲腥藛T對數值算法的發(fā)展要求是不僅與精確解誤差要盡可能小,更重要的是要保持長時間數值穩(wěn)定性以及能夠體現動力學系統(tǒng)內在幾何性質。馮康等[1]在“數值算法應盡可能保持原問題的本質特征”的原則下,基于辛幾何原理，提出和發(fā)展了一套哈密頓系統(tǒng)辛算法,取得了一系列顯著的成果。然而在處理偏微分發(fā)展方程時,卻沒有好的方法保證空間離散后的方程組仍保持哈密頓特性。針對辛算法處理偏微分方程時的缺陷,依照保結構思想,Marsden[2]和Bridges[3-4]分別提出了無窮維保守哈密頓系統(tǒng)的多辛結構和多辛算法的理論。作為辛算法的直接推廣,近年來,由于在理論和大量的數值實驗中展現出了諸如精度高、穩(wěn)定性好以及保結構等數值特性,多辛算法受到了學術界的廣泛關注:Moore等[5]提出和發(fā)展了多辛積分的后向誤差分析理論;王雨順等[6-8]在各種離散格式的構造,如高階算法、保能量、保動量算法等方面做了大量工作;洪佳林等[9]研究了隨機非線性發(fā)展方程的多辛算法;胡偉鵬等[10]將多辛算法引入到應用力學領域的非保守系統(tǒng),提出和發(fā)展了廣義多辛算法。

非線性孤子理論在物理學、力學及自然科學的很多領域得到了大量的應用。Landau-Ginzburg-Higgs方程是一個典型的非線性發(fā)展方程[11],胡偉鵬等[12]研究了其隱式多辛Runge-Kutta離散格式的數值行為,給出了算法高精度、長時間穩(wěn)定和保結構等數值特性,并依照廣義多辛理論的思路[13],研究了微擾效應對孤立波傳播過程中振幅和波速的影響。眾所周知,隱式格式在每一時間步都要迭代求解復雜的非線性方程(組),計算效率將受到影響。本文將構造一種Landau-Ginzburg-Higgs方程的顯式多辛傅里葉擬譜格式,并對這種格式的數值特性進行了研究。

1 Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛形式

依照Bridges構造多辛形式的思想[4],其基本思路是通過引入適當的正則變量,將高階偏微分方程(組)系統(tǒng)降階為一階偏微分方程組對稱形式,并通

過哈密頓函數來得到標準的多辛方程組。

Landau-Ginzburg-Higgs方程的形式如下

utt-γ2uxx+αu-βu3=0

(1)

式中，α, β, γ∈R為系數。

通過引入正則動量v=?tu, w=?xu可得到Landau-Ginzburg-Higgs方程(1)的一階多辛偏微分方程組

vt-γ2wx=βu3-αu

-ut=-v

γ2ux=γ2w

(2)

如定義反對稱系數矩陣M和K如下

則(2)式可以寫為標準的多辛形式

M?tz+K?xz=zS(z)

(3)

之所以稱一階偏微分方程組(3)為多辛形式,因為其滿足多辛守恒律。依據多辛積分理論[4],其多辛守恒律具體形式可以表示為

?t(du∧dv)+?x(γ2dw∧du)=0

(4)

式中，∧為外積算子。

由于系數矩陣M和K的反對稱性,通過(3)式兩邊分別對?tz和?xz做內積,還可以得到另外2種重要的守恒量:局部能量和局部動量守恒律。依照多辛積分理論[4],局部能量守恒律的具體形式為

(5)

局部動量守恒律的具體形式為

(6)

局部保結構算法的核心思想是把整個時間層上所保的結構推廣到局部,使得算法能在局部領域和每個點上保持守恒性質,從而克服不同邊界條件的限制。這正是多辛算法在處理偏微分方程時的優(yōu)勢所在,可以應用到更廣泛的領域。在算例分析中將分析(5)式和(6)式的守恒性質。

2 多辛形式的傅里葉擬譜離散格式

對多辛偏微分方程組(3)在空間方向進行傅里葉擬譜離散、在時間方向進行辛歐拉離散[14],可得到一種多辛離散方法,即傅里葉擬譜離散格式。

(7)

式中，μ=2π/(b-a)。

考慮對多辛形(3)式空間方向進行傅里葉擬譜離散,可得

vt-γ2Dw=βu3-αu

-ut=-v

γ2Du=γ2w

(8)

如將(8)式寫成緊湊形式,則有

(9)

對半離散格(9)式的變分方程兩邊取dzn的外積,由矩陣Szz(zn)的對稱性,可得到傅里葉擬譜離散格(9)式滿足N個半離散多辛守恒律

(10)

式中

zn=[un,vn,wn]T

(9)式是空間方向采用傅里葉擬譜方法的半離散形式,如要得到全離散格式則需將時間方向進一步離散。本文采用辛歐拉格式在時間方向對(9)式進行離散,可得到

(11)

式中矩陣M+和M-滿足關系

(n=0,1,…,N-1)

(12)

式中

(n=0,1,…,N-1)

(13)

由于格式(13)滿足離散多辛守恒律(12)式,則可稱其為多辛離散格式。在下一節(jié)中將考察離散格式(13)的數值特性。

3 數值算例

為了研究離散格式(13)的數值行為,本節(jié)將給出一些算例結果。不同于隱式格式,(13)式為顯式格式,這避免了復雜的迭代過程,計算效率將得到提高。

考慮Landau-Ginzburg-Higgs方程(2)非周期邊界的扭狀孤波解如下

(14)

式中，c表示孤波波速。(13)式是一個3層的離散格式,在計算過程中應給出前2層初值條件如下

(15)

圖1給出了傳播過程中不同時刻(t=5,t=10, t=15, t=20)的波形圖,其中實線為精確解的值,“·”號為數值解的值。由圖1可以看出,在孤波傳播的各個時刻,數值解和精確解都吻合良好,沒有隨著時間增長出現明顯偏差。這說明離散格式(13)很好地模擬了孤波演化過程,保持了孤波的基本幾何性質。值得一提的是,本文中格式(13)在模擬非周期邊界孤波演化過程中給出了較好的結果。

圖1 不同時刻數值解和精確解的波形圖(其中實線為精確解,“·”為數值解)

為了研究數值精度,記錄了孤波傳播過程中不同時刻的數值誤差,在t=jΔt時刻的最大數值誤差可以表達如下

(16)

(17)

圖2 不同時刻數值解的最大誤差 圖3 不同時刻數值解局部能量和局部動量最大誤差

4 結 論

多辛方法是一種局部保結構算法,強調保持離散動力系統(tǒng)的局部特性,其提出和發(fā)展拓寬了保結構算法的適用性。本文基于多辛理論,得到了Landau-Ginzburg-Higgs方程的一種顯式多辛擬譜離散格式,給出了其多辛守恒律、局部能量守恒律和局部動量守恒律的表達形式。數值模擬顯示了該離散格式的優(yōu)越性:在數值計算中很好地保持了動力系統(tǒng)基本幾何性質;隨著孤波演化的過程中沒有出現明顯誤差累計過程;系統(tǒng)局部特性(局部能量和局部動量守恒律)保持良好。數值結果體現了高效、穩(wěn)定的數值行為,這也正是多辛算法的優(yōu)勢所在。

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Multi-symplectic Fourier Pseudospectral Method for the Landau-Ginzburg-Higgs Equation

Zhang Yu1, Deng Zichen1, Hu Weipeng1, Yang Xiaofeng2

1.School of Mechanics, Civil Engineering and Architecture, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China 2.College of Science, Northwest A & F University, Yangling 712100, China

In this paper, the multi-symplectic method is used to study an important nonlinear wave equation, named Landau-Ginzburg-Higgs equation. Firstly, the multi-symplectic form of the Landau-Ginzburg-Higgs equation is deduced using the Hamiltonian variational principle. Then, the explicit multi-symplectic discrete scheme is derived by applying the Fourier pseudospectral method to space derivatives and the symplectic Euler method to time derivatives in the multi-symplectic form. The soliton solution with non-periodic boundary is simulated by the proposed scheme. The numerical results show that: the proposed scheme can simulate the soliton solution well and can preserve the local conservation quantities.

Landau-Ginzburg-Higgs equation; multi-symplectic integrator; Fourier pseudospectral method; solitary wave; local conservation laws

2016-03-20

國家自然科學基金(11372252)資助

張宇(1988—),西北工業(yè)大學博士研究生,主要從事多辛方法在動力學中的應用研究。

O241.82

A

1000-2758(2016)06-1011-05