摘 要：文章針對銅仁市北門十字路口處的交通流運用調查法、分析法、模擬法、對比法等進行研究，用MATLAB繪制出該處的車流密度與時間的變化圖像。結合統(tǒng)計的數(shù)據(jù)，整理后利用上述函數(shù)解出銅仁市北門十字路口處在高峰期時車隊由堵塞狀態(tài)到正常狀態(tài)所需的時間在33到60秒之間，在非高峰期時所需的時間在13到45秒之間；并且此處交通信號燈車行時間安排在72到78秒之間是合理的。進而推斷銅仁市對紅綠燈車行時間的安排是合理的。

關鍵詞：交通流；堵塞狀態(tài)；MATLAB；銅仁市

1 概述

英國專家經(jīng)過調查，得出“行人在過馬路時，等待時間最大限度為60s”而中國很多城市的交通信號燈（紅燈）的時間幾乎都超過了60s。銅仁市也不例外，文章針對此問題結合銅仁市的實際情況進行了探討。

2 交通流的基本函數(shù)

我們將同一車道上的所有車輛看成一個連續(xù)的流體，即交通流。在車道上選定一個點作為坐標原點，記為x=0，以車流運動的方向作為x軸的正方向。因此車道上的任意一點都可以用x軸上的點表示，于是對于每一點x和每一時刻t引入三個基本函數(shù)：

（1）車流流量函數(shù)（q（x，t）），它表示時刻t在單位時間內(nèi)通過x點的車輛數(shù)

（2）車流密度函數(shù)（ρ（x，t）），它表示時刻t點x處單位長度內(nèi)的車輛數(shù)

（3）車流速度函數(shù)（v（x，t）），它表示時刻t通過點x的車流速度

以上三個函數(shù)有著密切的關系——單位時間內(nèi)通過x點的車輛數(shù)等于單位長度內(nèi)的車輛數(shù)與車流速度的乘積[1]，即q（x，t）=ρ（x，t）v（x，t）

于是，知道車流速度v與車流密度ρ是成反比的，而實際生活中也確實如此。

為了便于研究，假定初始狀態(tài)是平衡狀態(tài)。比如：銅仁市北門十字路口處在初始狀態(tài)下，車流密度為0.2輛/每米左右。我們可以假定ρ是v的線性函數(shù)，即

顯然，q的極大值點為ρ*=。也就是說，當車道沒有阻礙時車流密度達到此車道上的最大密度的一半時，車流流量最大[4]。

3 間斷交通流模型

然而，實際生活中車流密度函數(shù)ρ（x，t）是會出現(xiàn)間斷的。它可能有一個，也可能有多個甚至無窮多個間斷點，但由于每個間斷點都有相同的性質，所以文章只討論一個間斷點的情況。假設該間斷點xs（t）存在于區(qū)間[x1，x2]上，那么在區(qū)間[x1，xS（t））和（xs（t），x2]上三個基本函數(shù)還是連續(xù)、可微的[3]，于是有

（6）式就是間斷交通流方程[3]，這對后面的解答非常重要。

4 銅仁市控制紅綠燈車行時間的數(shù)學模型

假定銅仁市北門廣場十字路口的交通信號燈處為原點，即此處x=0，當t=0+時交通燈變?yōu)榧t燈，在t=σ時交通燈由紅燈變?yōu)榫G燈，當t=tx時紅燈再次亮。那么紅綠燈時間應該控制的哪個范圍內(nèi)才算合理，怎樣運用基本函數(shù)的變化來描述？下面運用車流密度函數(shù)就銅仁市北門廣場十字路口處的交通流的變化進行描述，從而驗證該處的紅綠燈車行時間是否合理。假定每次塞車都使車流密度達到了最大，速度減小到0。

4.1 銅仁市北門十字路口處交通流圖形

說明：當車隊行駛35S左右時，密度接近最大密度的一半，此時車流流量接近最大。根據(jù)（3）式知道，銅仁市北門十字路口處因紅燈形成的堵塞狀態(tài)在綠燈亮時大概需35秒才會消失。

4.2 銅仁市紅綠燈車行時間是否合理

通過統(tǒng)計知道銅仁市北門十字路口處的交通信號燈在高峰期時紅燈時間約σ1==72秒，綠燈時間約σ2==43秒。此時用ρ0/ρm=使堵塞狀態(tài)消失的車輛數(shù)/紅燈使所停下的車輛數(shù)來計算，知ρ0/ρm的最小值為5/11、最大值為14/17。用同種方法可算出在非高峰期時紅燈時間約為78秒，綠燈時間約為42秒，ρ0/ρm的最小值為1/6、最大值為7/12。

在高峰期時，結合數(shù)據(jù)以及（11）式，在運用MATLAB可以繪制出圖2。

說明：該圖可以很直觀的反應出在現(xiàn)實生活中由于車流密度的不連續(xù)性，導致了td的波動現(xiàn)象。

同樣，在非高峰期時也有圖3

說明：和圖2比較知道車流在非高峰期時密度相對要穩(wěn)定。

事實上，在（11）式中，如果將td取為60秒（行人過馬路能忍受時間的最大限度），那么結合（11）式解得銅仁市北門十字路口處在高峰期的紅燈時間σ∈[108，330]（單位：秒），在非高峰期的紅燈時間σ∈[72，144]，而該處紅燈亮的實際時間（72秒、78秒）都接近108秒、72秒（上述理論區(qū)間的最小值）。所以，銅仁市北門十字路口處控制紅燈時間是合理的。

另一方面，由于當交通燈由紅變綠時，密度由最大值ρm逐漸減小至初始值ρ0，并且在交通信號燈快變成紅燈，即t=σ-時，密度取得最大值ρm；之后密度才逐漸減小到初始值ρ0。又因為以上這個變化過程所需要的時間就是車隊由堵塞狀態(tài)到正常狀態(tài)所需的時間，所以根據(jù)銅仁市北門十字路口處在高峰期時ρ0/ρm在[5/11，14/17]內(nèi)，并且紅燈時間為72秒，知道車流從堵塞狀態(tài)到正常狀態(tài)所需的時間在[33，60]。同理可算出在非高峰期時所需的時間在[13，45]；而該處在高峰期和非高峰期時綠燈亮的實際時間分別是43秒和42秒，都屬于上述兩個區(qū)間。由此知道，銅仁市北門十字路口處控制紅綠燈時間是合理的。

5 結束語

文章主要針對銅仁市北門十字路口處的交通流進行了研究，得出了此處紅綠燈車行時間安排是合理的。但由于時間的限制，所以統(tǒng)計的數(shù)據(jù)不足，由此推斷出銅仁市的紅綠燈車行時間的合理性有些牽強，這也是本篇論文不足之處。

參考文獻

[1]楊開春，段勝軍.交通流的紅綠燈模型[D].西安文理學院.

[2]王高雄，等.常微分方程（第三版）[M].高等教育出版社，1983：9.

[3]龍小強，晏啟鵬.信號燈控制下的交通流模型[D].西安交通大學交通運輸學院.

[4]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型（第三版）[M].高等教育出版社，2003：8.

[5]薛定宇，陳陽泉.高等應用數(shù)學問題的MATLAB求解[M].清華大學出版社，2004：8.