四川師范大學數(shù)學與軟件科學學院(610068) 盛朝陽 邵利

關(guān)于涂色問題的教學思考

四川師范大學數(shù)學與軟件科學學院(610068) 盛朝陽 邵利

排列組合是高中的重點內(nèi)容,既是學習概率統(tǒng)計的基礎(chǔ),又能發(fā)展學生的抽象能力和邏輯推理能力.涂色問題是排列組合中的難點和易錯點,教師在講解時一般會展示各種不同的正確做法,但學生在正確樣例的學習之后遇到類似題目仍然會犯錯誤.建構(gòu)主義學習觀認為:“錯誤是學習的一部分,為什么構(gòu)成錯誤,如何構(gòu)成錯誤,與怎樣構(gòu)成正確答案一樣重要.”學生的錯誤不可能單獨依靠正面示范和反復(fù)練習得以矯正,必須經(jīng)歷一個“自我否定”的過程.所以有時展示學生錯誤的做法,暴露其思維過程,和學生探討錯誤的原因,共同找到解決的辦法,讓學生通過“自我否定”錯誤來達到正真的理解,在理解的基礎(chǔ)上掌握正確的方法.

著名華裔數(shù)學家伍鴻熙在“高中學工作坊(中國香港地區(qū))”的系列報告中指出:教師要教一些最一般的做法,要教“康莊大道”,先學大路的知識,對于技巧性的方法應(yīng)該在最后教授.所以教師在展示不同方法來拓展學生思維時,應(yīng)該把通法放在首要位置,利于學生進行遷移和推廣.對于問題的遷移與推廣,教師一般采用變式教學來推進,而變式的問題不一定由教師直接給出,可以鼓勵學生去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造,大膽提出問題,從而促進學生對數(shù)學知識本質(zhì)的理解,培養(yǎng)學生的問題意識和創(chuàng)新意識,讓學生學會數(shù)學地思維.

由此,本文從一道習題中的涂色問題入手,探討如何從學生的錯誤出發(fā),一步步找到正確的做法:如何從解決一個問題到解決一類問題,逐步滲透一般化的思想.

1.一道習題中的涂色問題

問題①:三種不同顏色給以下四個區(qū)域涂色,使得相鄰區(qū)域的顏色不同的涂法有多少種?

在高中學習排列組合時,涂色問題常出現(xiàn)在學生的練習題中,問題①是其中一個典型例子,根據(jù)學生完成情況可知,在解題過程中學生容易想到分步計數(shù)原理:.

圖1

圖2

圖3

即認為首先A有三種可能,要滿足相鄰區(qū)域顏色不同則B有兩種可能,同理C有兩種可能,對于D的情況,很多學生會認為仍然有兩種可能,所以會得出:3×2×2×2=24,這樣錯誤的答案,忽略了A、D可能同色的情況,由此可以看出對D涂色情況的討論是本題的一個難點和易錯點,如何幫助學生突破難點、解決易錯點是關(guān)鍵,此時教師不應(yīng)急著否定學生的做法,而是可以通過投影、板書等方式展示學生的錯誤做法,并請學生對他的做法進行解釋,在解釋過程中讓學生自己或其他學生發(fā)現(xiàn)問題,在發(fā)現(xiàn)問題后讓學生討論如何解決問題.在本題中學生能夠發(fā)現(xiàn)這樣做包含了A、D同色和A、D不同色兩種情況,而只有后者滿足題目條件,所以自然想到只需減去A、D同色的情況即可,于是把原問題變?yōu)?三種不同顏色給以下三個區(qū)域涂色,使得相鄰區(qū)域顏色不同的涂法有多少種?

此時問題就變得十分簡單了,學生通過前面對于排列的相關(guān)學習,立刻能得出有種涂法.整個解題思路如圖.

圖4

本題有各種不同的解法,但此解法以學生的錯誤為載體,教師在講解時能夠把發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程交給學生,讓學生在自我否定錯誤的過程中明白分類討論的原因,突破思維上的難點和易錯點達到真正的理解,而且此解法具有一般性,能夠幫助學生遷移到類似問題,所以應(yīng)該放在第一種方法進行講解.

2.問題的一般化

為了讓學生更好地掌握此解法且考慮到直接讓學生提出變式問題有困難,所以教師可以先直接給出一道變式題讓學生練習,例如問題②:三種不同顏色給以下五個區(qū)域涂色,使得相鄰區(qū)域顏色不同的涂法有多少種?

通過對問題的學習,學生能夠成功將方法遷移到此題,并且在解題過程中注意分情況討論,不容易再犯同樣的錯誤,解題思路如圖2.應(yīng)注意的是讓學生去對比這兩道題的解題過程,找到兩題間的聯(lián)系,通過觀察學生可以發(fā)現(xiàn)問題是解決問題的其中一個步驟,利用問題的結(jié)果能順利推導(dǎo)出問題的結(jié)果,使學生在遷移的過程中逐漸滲透遞推的思想.

圖5

陶行知說:“發(fā)明千千萬,起點在一問.”希爾伯特說:“數(shù)學問題是數(shù)學的靈魂.”還有哈佛大學名言:“教育的真正目的就是讓人不斷的提出問題,思索問題.”等等,我們在教學中應(yīng)該培養(yǎng)學生的問題意識,所謂問題意識指學生在認識活動中感到一些難以解決的、疑惑的問題時,產(chǎn)生的一種懷疑、猜測、探究的心理狀態(tài).它將激發(fā)學生積極思維、不斷提出問題解決問題.也就是我們要學生帶著問題進教室,又帶著更多有意義的問題出教室.美國學者Brown和Walter的研究認為在解決數(shù)學問題的過程中,一個獨創(chuàng)性的數(shù)學問題的重建離不開新的數(shù)學問題的提出.與此同時,一個人常常是在他產(chǎn)生和分析一系列相關(guān)的新的數(shù)學問題時,才會理解和欣賞數(shù)學問題解決的方法.所以此時應(yīng)該把問題的提出交給學生了,讓學生討論:通過以上的學習還能提出哪些問題(有關(guān)于問題的變式問題),在問題變式練習的基礎(chǔ)上學生能夠提出問題,但可能才開始學生會完全模仿問題提出這樣類似的問題如:三種不同顏色給以下六個區(qū)域涂色,使得相鄰區(qū)域顏色不同的涂法有多少種?

圖6

等仍然限制在三種顏色且停留在具體數(shù)字上的問題,此時可以給學生多一點思考時間,鼓勵學生繼續(xù)提問,當學生突破三種顏色的限制提出這樣的問題:四種不同顏色給以下六個區(qū)域涂色,使得相鄰區(qū)域顏色不同的涂法有多少種?教師要給與學生肯定,告訴學生他提出了一道2001年全國數(shù)學高中聯(lián)賽中的一個問題,以此增加學生提問的自信心.為了幫助學生進一步抽象,提出一般性問題,教師可以采取以下方式:將全班進行分組(每組內(nèi)學生數(shù)學能力的平均水平相當),讓每個組通過積極交流,產(chǎn)生思想碰撞后提出一個本組不能解決或是可以把其他組難住的值得探討的問題,這樣做能夠培養(yǎng)學生提出問題的興趣與信心,讓學生的思維不僅僅只停留在表面上,而是開始深度挖掘題目隱含的思想,從而提出高質(zhì)量的問題,例如問題:三種不同顏色給以下n個區(qū)域涂色,使得相鄰區(qū)域顏色不同的涂法有多少種?

圖7

此問題雖仍然限制在三種顏色上,但已經(jīng)開始一般化,說明學生已逐漸建立抽象的意識了.將此問題提出后和其他組一起探討解決途徑,學生最先的思路可能還是按照前面的做法一步步往下分情況討論,但過程變得復(fù)雜,不能立刻得出結(jié)果,學生可能會陷入困境,若學生一直不能跨越思維上的障礙,那么教師應(yīng)該讓學生回到剛剛所做的兩道題,提醒學生這兩題間的聯(lián)系,使學生逐漸明確遞推的思想,通過這樣的方式學生能夠比較容易的想到要解決問題就得先解決:三種不同顏色給n-1個區(qū)域涂色,使得相鄰區(qū)域顏色不同的涂法有多少種,而要解決這個問題又得先解決n-2的情況……這樣一直下去直到轉(zhuǎn)化成問題這個已知的結(jié)果,雖然過程繁瑣,但有一定的規(guī)律可循,學生只要抓住遞推這個核心,明白知道前一個就能算出后一個,自然能夠聯(lián)想到數(shù)列,利用遞推數(shù)列去解決問題,接下來就是尋找遞推關(guān)系了,學生通過最先思路的第一個分類過程便可找到遞推關(guān)系,如圖所示.所以此時教師可以把“舞臺”交給學生,讓學生上臺板書講解.

設(shè):為三種不同顏色給n個區(qū)域涂色,使得相鄰區(qū)域顏色不同的涂法的種數(shù),則為三種不同顏色給n-1個區(qū)域涂色,使得相鄰區(qū)域顏色不同的涂法的種數(shù).