廣州市越秀區(qū)育才學(xué)校(510080) 謝啟敏

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510006) 湯志娜

結(jié)合數(shù)學(xué)史的負數(shù)概念教學(xué)

廣州市越秀區(qū)育才學(xué)校(510080) 謝啟敏

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510006) 湯志娜

1.問題提出

有理數(shù)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的一章,為后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了一個基礎(chǔ),大部分的教材都是將其放在七年級第一章進行教學(xué),在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準對有理數(shù)的教學(xué)有明確的規(guī)定:

①理解有理數(shù)的意義,能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù),會比較有理數(shù)的大小.

②借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義,會求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值(絕對值符號內(nèi)不含字母).

③理解乘方的意義,掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步為主).

④理解有理數(shù)的運算律,并能運用運算律簡化運算.

⑤能運用有理數(shù)的運算解決簡單的問題.

小學(xué)階段學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)有正數(shù)、零以及對負數(shù)的初步認識,因此對于正數(shù)和零,七年級學(xué)生已很熟悉,但對于負數(shù),小學(xué)階段只是對其有一個模糊的認識,很多學(xué)生難以理解,在進行有理數(shù)的運算時,由于思維定勢,很多學(xué)生常常把負數(shù)中的“-”號丟掉,從而把負數(shù)當(dāng)成正數(shù)來運算,因此錯誤不斷.在教學(xué)中,學(xué)生對于負數(shù)的表面概念通常為:在正數(shù)前加入符號“-”:較小的正數(shù)減去較大數(shù)的差:比0小的數(shù).造成這些理解錯誤的根本原因就是學(xué)生對于負數(shù)概念沒有一個正確的認識,而對負數(shù)概念的正確認識則需要追溯到負數(shù)的產(chǎn)生及發(fā)展背景.所以,在有理數(shù)教學(xué)中,教師應(yīng)該適當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)史,潛移默化地使學(xué)生自己對負數(shù)有一個明確的概念.

2.教學(xué)中的數(shù)學(xué)史的定義及作用

在許多的訪問調(diào)查中,一部分老師對于教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史的態(tài)度為“我們主要關(guān)注升學(xué)率,數(shù)學(xué)史的運用可能會影響教學(xué)進度.”“數(shù)學(xué)史沒有時間用.”“數(shù)學(xué)史的知識我們(指教師)都知道得很少,怎么用?”“數(shù)學(xué)史也就是講講故事、看看圖片,激發(fā)一下興趣而已吧!”“用數(shù)學(xué)史?大概得等到上公開課的時候吧?”“數(shù)學(xué)史確實對教學(xué)有促進作用,但我們用得很少,幾乎不用”等看法.[2]而對于這些情況,根本原因在于教師對教學(xué)中運用的數(shù)學(xué)史有著錯誤的認識和理解,教學(xué)中的數(shù)學(xué)史并不是要教師和學(xué)生去重演歷史發(fā)生的所有過程,對于歷史發(fā)生的原理,弗賴登塔爾認為:“數(shù)學(xué)史乃是一個不斷進步的系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)過程.兒童無需重蹈人類的歷史,但他們也不可能從前人止步的地方開始.從某種意義上說,兒童應(yīng)該重蹈歷史,盡管不是實際發(fā)生的歷史,而是倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西,將會發(fā)生的歷史.”弗賴登塔爾指出數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想是“再創(chuàng)造”,實行“再創(chuàng)造”,也就是由學(xué)生自己把發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造要學(xué)的東西,教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進行這種再創(chuàng)造,而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生.這種“再創(chuàng)造”并非要求數(shù)學(xué)教學(xué)完全重現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,而是指應(yīng)該使學(xué)生體會到:如果當(dāng)時的人有幸具備了現(xiàn)在有了的知識,他們是怎樣把這些知識創(chuàng)造出來的.

在許多概念教學(xué)中,教師教學(xué)的規(guī)律通?？梢詺w結(jié)為,把結(jié)果作為出發(fā)點告訴學(xué)生,推出其它知識,這種教學(xué)法通常稱為“教學(xué)法的顛倒”,它掩蓋了思維的過程,沒有通過學(xué)生的角度出發(fā),使學(xué)生自己難以形成概念,而通過在教學(xué)中引用上述數(shù)學(xué)史方法可以還原學(xué)生概念形成的思維過程,有效地提高學(xué)生對概念的掌握及理解.

接下來,將給出一個教材中對于有理數(shù)教學(xué)的設(shè)計,再給出一個用數(shù)學(xué)史來引入有理數(shù)的案例,對兩種教法進行比較.

3.教材中的負數(shù)教學(xué)(以人教版為例)

3.1 由問題引入概念

在生活、生產(chǎn)和科研中,遇到的問題:

(1)北京冬季里某一天的氣溫為-3°C～3°C.“-3”的含義是什么?這一天北京的溫差是多少?

(2)某年,我國花生產(chǎn)量比上一年增長1.8%,油菜籽產(chǎn)量比上一年增長-2.7%.“增長-2.7%”表示什么意思?

(3)夏新通過撿、賣廢品,既保護了環(huán)境,又積攢了零花錢.下表是他某個月的部分收支情況.這里,“結(jié)余-1.2”是什么意思?怎么得到的?

收支情況表 年 月

結(jié)論:把數(shù)的范圍擴充至有理數(shù),研究數(shù)的表示、大小比較和運算等.

3.2 正數(shù)與負數(shù)概念

像3,1.8%,3.5這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù)

像-3,-2.7%,-4.5,-1.2這樣在正數(shù)前加上符號“-”(負)的數(shù)叫做負數(shù)

0既不是正數(shù),也不是負數(shù).

3.3 練習(xí)題

4.數(shù)學(xué)史引入負數(shù)概念

4.1 負數(shù):學(xué)生分組進行以下游戲并報告結(jié)果

問題情境1: 兩個人一組搖骰子,一人兩個骰子,同一輪兩骰子相加總數(shù)多的勝,并累計1分,另一個則0分,五輪后累計分數(shù)多者為勝.以表格形式統(tǒng)計結(jié)果.

問題情境2:現(xiàn)在游戲增加至3人,一人兩個骰子,同一輪兩骰子相加總數(shù)多的勝,并累計1分,那么剩下的兩個人該如何計分才能使游戲公平?你還能有其他的計分方式嗎?以表格形式統(tǒng)計結(jié)果.

通過學(xué)生們匯報的結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)在情景2中有些學(xué)生對于每輪輸?shù)耐瑢W(xué)累計的分數(shù)記為“-1”,而對于勝和輸我們都知道是一對反義詞,同樣的有這種相反的性質(zhì),除了正數(shù)我們就需要更多的數(shù),類似于語文的反義詞,我們把正數(shù)的相反數(shù)稱為負數(shù).

4.2 負數(shù)的產(chǎn)生

4.2.1 國內(nèi):劉徽首先給出了正負數(shù)的定義,他說:“今兩算得失相反,要令正負以名之.意思是說,在計算中遇到具有相反意義的量,要用正數(shù)和負數(shù)來區(qū)分它們.他說:“正算赤,負算黑:否則以邪正為異”意思是說,用紅色的小棍擺出的數(shù)表示正數(shù),用黑色的小棍擺出的數(shù)表示負數(shù):也可以用斜擺的小棍表示負數(shù),用正擺的小棍表示正數(shù).我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》(公元一世紀)中,最早提出了正負數(shù)加減法的法則:“正負數(shù)曰:同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之:其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之.”這里的“名”就是“號”,“除”就是“減”,“相益”、“相除”就是兩數(shù)的絕對值“相加”、“相減”,“無”就是“零”.用現(xiàn)在的話說就是:“正負數(shù)的加減法則是:同符號兩數(shù)相減,等于其絕對值相減,異號兩數(shù)相減,等于其絕對值相加.零減正數(shù)得負數(shù),零減負數(shù)得正數(shù).異號兩數(shù)相加,等于其絕對值相減,同號兩數(shù)相加,等于其絕對值相加.零加正數(shù)等于正數(shù),零加負數(shù)等于負數(shù).”這段關(guān)于正負數(shù)的運算法則的敘述是完全正確的,與現(xiàn)在的法則完全一致,負數(shù)的引入是我國數(shù)學(xué)家杰出的貢獻之一.用不同顏色的數(shù)表示正負數(shù)的習(xí)慣,一直保留到現(xiàn)在.現(xiàn)在一般用紅色表示負數(shù),報紙上登載某國經(jīng)濟上出現(xiàn)赤字,表明支出大于收入,財政上虧了錢:又財經(jīng)頻道里播出股票的走勢,一般用綠色字體表示跌,紅色字體表示漲.

4.2.2 負數(shù)產(chǎn)生(國外)

出現(xiàn)原因地點時間人物、著作印度公元7世紀婆羅摩友多《婆羅摩歷算書》解釋負債與損失阿拉伯公元10 世紀艾布·瓦更一般的兩位數(shù)乘法簡捷算法西方公元18 世紀前方程出現(xiàn)負根

4.3 負數(shù)發(fā)展緩慢的原因: 十八世紀以前,歐洲數(shù)學(xué)家對負數(shù)大都持保留態(tài)度,他們認為零是最小的量,比零還小是不可思議的,看不到正負數(shù)間的關(guān)系.而導(dǎo)致這種觀點的原因則是,類似于復(fù)數(shù),只要一涉及實際的問題,它們就是一個虛擬的存在.

例:父親56歲,他的兒子29歲,問什么時候徐父親的歲數(shù)將是兒子的2倍?討論并給出結(jié)果.

通過解答的過程可以看出如果設(shè)x年后父親的歲數(shù)是兒子的2倍,可以得到x=-2.

如果我們設(shè)x年前父親的歲數(shù)是兒子的2倍,可以得到x=2.

這個例子也是數(shù)學(xué)家德摩根無法接受負數(shù)的原因,同樣的也可以反映出當(dāng)時數(shù)學(xué)家排斥負數(shù)的原因—負數(shù)是現(xiàn)實不存在的.直到現(xiàn)代,負數(shù)才算被真正透徹的理解.

4.4 負數(shù)帶來的變化:

①“0”不再是最小的數(shù),而是正負數(shù)之間的界點,它的存在更具有重要性.

②減法運算范圍更大,不再局限于大的數(shù)減去小的數(shù).

③“+”“-”不再是簡單的運算符號,他們分別表示兩種互為相反的數(shù)—正負數(shù).同時整數(shù)與分數(shù)的范圍進一步擴大

④加法運算得到的結(jié)果不再局限于變大,加減法得到了統(tǒng)一.

⑤出現(xiàn)負根的方程也被接納.

⑥在生活中,為許多記數(shù)問題提供了更多的便利.

4.5 練習(xí)題

指出下列運算過程中的“+”“-”分別代表的意義

①+5+(-3)=5-3=2

②(-9)-2=-9+(-2)=-(9+2)=-11

③-1+1=1-1=0

5.小結(jié)

對于現(xiàn)在普遍的教學(xué)教材來說,負數(shù)的教學(xué)都缺乏了對負數(shù)的引入,無法讓學(xué)生更好的體會到先人在從負數(shù)的產(chǎn)生,到排斥,再到欣然接受這種虛擬數(shù)的過程,許多教授的過程就是直接給學(xué)生灌輸這個概念,學(xué)生只能機械地接受,無法做到讓學(xué)生自己去尋找,發(fā)現(xiàn),掌握這些知識,教材直接給了“-”這個符號,然后就直接有了負數(shù)這個概念—在正數(shù)前面加“-”,這樣的一個冷冰冰的結(jié)果,而學(xué)生的學(xué)習(xí)過程應(yīng)該是一個生動、漸進的過程,如同負數(shù)的出現(xiàn)在人們的眼球,它為何而來,有何用,人們?yōu)楹螘邮芩?學(xué)生的學(xué)習(xí)也需要這樣一個過程,雖然沒那么復(fù)雜,但卻賦予其生命力.數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以幫助教師去引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中進行這樣的學(xué)習(xí)過程.John Fauvel總結(jié)了數(shù)學(xué)史的各種用法如下:(1)介紹歷史上數(shù)學(xué)家的故事:(2)運用歷史引入新概念:(3)促使學(xué)生理解,為他們所學(xué)概念提供解答的歷史問題:(4)講授數(shù)學(xué)史課:(5)利用歷史上的數(shù)學(xué)教材設(shè)計課堂練習(xí)和作業(yè):(6)舉辦歷史主題的展覽:(7)運用歷史上的典型例子來說明方法和技術(shù):(8)探索過去的錯誤、另類觀點以幫助今天的學(xué)習(xí)者理解并解決困難:(9)借鑒歷史設(shè)計一個話題的教學(xué)方法: (10)基于歷史信息進行課程的整體設(shè)計.

大眾數(shù)學(xué)是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的目標(biāo),利用數(shù)學(xué)史引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)方法是非常值得研究,對其進行改進,實施到教學(xué)活動中,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力過程,讓學(xué)生自主地在學(xué)習(xí)過程中挖掘知識,學(xué)生學(xué)習(xí)的應(yīng)該是過程的體會而不是結(jié)果.