金 瑾

(1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州 畢節(jié) 551700；2.畢節(jié)循環(huán)經(jīng)濟(jì)研究院，貴州 畢節(jié) 551700)

高階非線性代數(shù)微分方程組的亞純?cè)试S解

金 瑾1，2

(1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州 畢節(jié) 551700；2.畢節(jié)循環(huán)經(jīng)濟(jì)研究院，貴州 畢節(jié) 551700)

利用亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論，研究了高階非線性代數(shù)微分方程組亞純?cè)试S解的存在性問題，獲得了微分方程組的亞純解或同為允許的，或同為非允許的，進(jìn)而得到了更一般的結(jié)果.

代數(shù)微分方程組；亞純函數(shù)；允許解；Nevanlinna理論；值分布理論

1 預(yù)備知識(shí)

這里假設(shè)讀者熟悉亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論的基本知識(shí)和通常記號(hào).[1-20]關(guān)于微分方程組的允許解問題，有很多作者做了大量工作并得到一大批很好的結(jié)果.[1-10]

對(duì)下面的高階非線性代數(shù)微分方程組

(1)

其中：

T(r，a(i1))=o(T(r，w1))，T(r，b(i2))=o(T(r，w2))，T(r，ai)=o(T(r，w1))，

T(r，bj)=o(T(r，w1))，T(r，ci)=o(T(r，w2))，T(r，dj)=o(T(r，w2)).

a11，a12，a21，a22為常數(shù)，則可知λtj≤utj≤Δtj.

定義1 設(shè)(w1，w2)是微分方程組(1)的亞純解，S(r)為微分方程組(1)的所有系數(shù)的特征函數(shù)之和，即

S(r)=∑T(r，ai1)+∑T(r，bi2)+∑T(r，ai)+∑T(r，bj)+∑T(r，ci)+∑T(r，dj).

若(w1，w2)滿足

S1(r)=o(T(r，w1))，S2(r)=o(T(r，w2))，r?I1，

則稱(w1，w2)為方程組(1)的亞純?cè)试S解，其中I1是一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度為有窮的例外值集.

定義2 設(shè)(w1，w2)是微分方程組(1)的亞純解.若(w1，w2)中的分量w1，w2滿足

則稱分量w1，w2為微分方程組(1)允許分量，其中I2是一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度為有窮的例外值集.

引理3 設(shè)aik(i=1，2；k=1，2)為非零常數(shù)，且

則

證明 因?yàn)?/p>

由文獻(xiàn)[13]引理2得

(2)

情形Ⅰ 若z0為Ω1(z，w1，w2)系數(shù)的極點(diǎn)，則

情形Ⅱ 若z0為wk的極點(diǎn)，則

由此可得

情形Ⅲ 若z0為wk-a1k的零點(diǎn)，但不是wk的極點(diǎn)，則

由上述三種情形得

(3)

根據(jù)(2)—(3)式以及引理2得

故

同理可得

即

證明

其中I1和I2都是對(duì)數(shù)測(cè)度為有限的例外值集，故引理4成立.

2 主要結(jié)論

本文利用Nevanlinna值分布理論，對(duì)高階非線性代數(shù)微分方程組(1)的亞純?cè)试S解的存在性問題進(jìn)行了研究.根據(jù)以上定義以及眾多研究者研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，得到以下改進(jìn)和推廣的結(jié)論.

定理1 設(shè)(w1，w2)是非線性微分方程組(1)的有限級(jí)亞純?cè)试S解，且

max{p1，q1}>λ11+u11，max{p2，q2}>λ22+u22.

則

證明 由引理1可得

T(r，R1(z，w1))=max{p1，q1}T(r，w1)+S(r)，

(4)

T(r，R2(z，w2))=max{p2，q2}T(r，w2)+S(r).

(5)

由已知和引理3有

(6)

(7)

故由(4)—(7)式以及微分方程組(1)可得

max{p1，q1}T(r，w1)≤(λ11+u11)T(r，w1)+(λ12+u12)T(r，w2)+S(r)，

(8)

max{p2，q2}T(r，w2)≤(λ21+u21)T(r，w1)+(λ22+u22)T(r，w2)+S(r).

(9)

根據(jù)(8)—(9)式，

{max{p1，q1}-λ11-u11+o(1)}T(r，w1)≤(λ12+u12+0(1))T(r，w2)，

(10)

{max{p2，q2}-λ22-u22+o(1)}T(r，w2)≤(λ21+u21+o(1))T(r，w1)，

(11)

進(jìn)而由(10)—(11)式即有

{max{p1，q1}-λ11-u11}{max{p2，q2}-λ22-u22}≤(λ12+u12)(λ21+u21).

定理2 設(shè)(w1，w2)是微分方程組(1)的有限級(jí)亞純解，且max{p1，q1}>λ11+u11或 max{p2，q2}>λ22+u22.則(w1，w2)中的兩個(gè)分量w1和w2或同為允許的，或同為非允許的.

證明 利用已知條件以及引理1與引理3結(jié)論可得

(12)

(13)

若分量w1為允許的，w2為非允許的，則(8)式變?yōu)?/p>

由引理4可知當(dāng)r→∞時(shí)，除去一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度為有限的例外值集外都有

max{p1，q1}≤λ11+u11.

這與定理2的已知條件矛盾.

若分量w2為允許的，w1為非允許的，則(9)式變?yōu)?/p>

由引理4可知當(dāng)r→∞時(shí)，除去一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度為有限的例外值集外都有

max{p2，q2}≤λ22+u22.

這與定理2的已知矛盾.

綜上，(w1，w2)中的兩個(gè)分量w1和w2或同為允許的，或同為非允許的.

[2] 高凌云.復(fù)微分方程組m分量-可允許解[J].數(shù)學(xué)年刊，1997，18(2)：149-154.

[3] 高凌云.關(guān)于兩類復(fù)微分方程組的允許解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，43(1)：149-156.

[4] 高凌云.具有允許解的代數(shù)微分方程組的形式[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2004，24(1)：96-101.

[5] 高凌云.代數(shù)微分方程組允許解的值分布[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2007，27(4)：629-632.

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[15] 金瑾.關(guān)于一類高階齊次線性微分方程解的增長(zhǎng)性[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，52(1)：51-55.

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[17] 金瑾.關(guān)于高階線性微分方程解與其小函數(shù)的增長(zhǎng)性[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，47(7)：1155-1159.

[18] 金瑾.單位圓內(nèi)高階齊次線性微分方程解與小函數(shù)的關(guān)系[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，37(4)：254-264.

[19] 金瑾，武玲玲，樊藝.高階非線性微分方程組的亞純?cè)试S解[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，47(1)：22-25.

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

Meromorphic admissible solution of systems governed by higher order non-linear algebraic differential equations

JIN Jin1，2

(1.Department of Mathematics，Guizhou University of Engineering Science，Bijie 551700，China；

2.Research Institute of Circular Economy of Bijie，Bijie 551700，China)

Using Nevanlinna theory of the value distribution of meromorphic functions，the problem of the existence of meromorphic admissible solutions of complex higher-order nonlinear algebraic differential equation is investigated.It is obtained that the meromorphic solution of the differential equations system are all admissible or non admissible.Moreover，some other results are also given，which are more general than the previous ones.

algebraic differential equations systems；meromorphic function；admissible solution；Nevanlinna theory；value distribution

1000-1832(2016)04-0010-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.003

2015-08-20

貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項(xiàng)目(2010GZ43286，2012GZ10526)；貴州省畢節(jié)市科研基金資助項(xiàng)目([2011]02)；貴州省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目([2015]392).

金瑾(1962-)，男，教授，主要從事復(fù)分析研究.

O 174.52 [學(xué)科代碼] 110·41

A