朱旭生，傅春燕，趙康鑫，王 莉

（華東交通大學(xué)理學(xué)院,江西 南昌330013）

帶非線性阻尼的歐拉方程組正規(guī)解的爆破

朱旭生，傅春燕，趙康鑫，王 莉

（華東交通大學(xué)理學(xué)院,江西 南昌330013）

研究了n（n≥1）維空間理想可壓縮流中帶有非線性阻尼項的等熵歐拉方程組的初值問題。當初始密度有緊支集時，利用泛函結(jié)合特征線的方法，證明了在真空情形下帶有形如-αρ|u|θu阻尼項的可壓縮等熵歐拉方程組，其阻尼系數(shù)α為正常數(shù)時的正規(guī)解在初始數(shù)據(jù)一定大時必定爆破,其中0＜θ＜1。

等熵歐拉方程組；泛函方法；爆破

考慮下列n（n≥1）維空間中帶阻尼項的等熵歐拉方程組：

的Cauchy問題.其初始條件為

其中：ρ，u，p分別表示氣體的密度,速度和壓力;狀態(tài)方程為p=Aργ（A＞0）；γ為絕熱指數(shù)（γ＞1）；其中常數(shù)α＞0；0＜θ＜1。

對帶阻尼項的歐拉方程組的研究有很多成果，大多是研究ρ＞0的情形，當初值是在一個擴散波或者常狀態(tài)的平衡解附近的小擾動，經(jīng)典解整體存在詳情參見[1-3]；但關(guān)于歐拉方程組的爆破也有大量的研究，例如[4-11]。文獻[4-6]研究了初值具有緊支集的情形，證明了某些情況下正規(guī)解會在有限時間內(nèi)爆破；文獻[7]研究三維空間的可壓縮流的非等熵歐拉方程組的奇性的形成；文獻[8-9]研究等熵歐拉方程組初邊值問題的軸對稱解的爆破；文獻[10]考察運用泛函方法證明一維空間中帶非線性阻尼項的等熵歐拉方程組在初始密度有緊支集時正規(guī)解的爆破；文獻[11]研究了阻尼系數(shù)為常數(shù)的歐拉方程組和帶退化阻尼的等熵歐拉方程組，得到了在初始密度有緊支集時，正規(guī)解都將在有限時間內(nèi)爆破。本文在文獻[4，8，10，11]的基礎(chǔ)上運用泛函結(jié)合特征線的方法考察了帶有如阻尼的歐拉方程組的情形,其中0＜θ＜1。而當θ＝1時的情形在文獻[10]已有詳細證明。

1 主要定理及其證明

參考文獻：

[1]HSIAO L，LIU TP.Convergence to nonlinear diffusion waves for solutions of a system of hyperbolic conservation laws with damping[J].Communications in Mathematical Physics，1992，143（3）：599-605.

[2]SIDERIS，THOMAS C THOMASES BECCA，WANG DEHUD.Long time behavior of solutions to the 3D compressible Euler equations with damping[J].Communications in Partial Differential Equations，2003，28（3）：795-816.

[3]ZHU CHANGJIANG，JIANG MINA.Lp-decay rates to nonlinear diffusion waves for p-system with nonlinear damping[J].Science in China Series A，2006，49（6）：721-739.

[4]LIU T P，YANG T.Compressible Euler equations with vacuum[J].Journal of Differential Equations，1997，140（2）：223-237.

[5]LIU TAIPING.Compressible flow with damping and vacuum[J].Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics，1996，13（1）：25-32.

[6]LI TIANHONG，WANG DEHUA.Blowup phenomena of solutions to the Euler equations for compressible fluid flow[J].Journal of Differential Equations，2006，221（1）：91-101.

[7]THOMAS C SIDERIS.Formation of singularities in three-dimensional compressible fluids[J].Communications in Mathematical Physics，1985，101（4）：475-485.

[8]ZHU XUSHENG，TU ARHUA.Blowup of the axis-symmetric solutions for the IBVP of the isentropic Euler equations[J].Nonlinear Analysis：Theory，Methods&Applications，2014，95：99-106.

[9]朱旭生，俞銀晶，李翠.帶阻尼項的三維等熵可壓縮歐拉方程組軸對稱解的爆破[J].廈門大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，53（6）：780-784.

[10]熊顯萍，朱旭生.帶非線性阻尼項的等熵歐拉方程組正規(guī)解的爆破[J].西南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，36（3）：71-76.

[11]ZHU XUSHENG，WANG WEIKE.The regular solutions of the isentropic Euler equations with degenerate linear damping[J]. Chinese Annals of Mathematics，2005，26（4）：583-598.

Blowup of the Regular Solutions of the Euler Equations with Nonlinear Damping

Zhu Xusheng，F(xiàn)u Chunyan，Zhao Kangxin
（School of Science，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

The regular solutions of then-dimensional isentropic Euler equations with the nonlinear damping for a perfect gas are investigated in this paper.Utilizing the methods of the functional in combination with characteristics,we prove the compressible isentropic Euler equations in vacuum case with the damp like-αρ|u|θu.If its damping coefficientαis positive constant when the initial data are large enough the regular solutions would blow up in finite time.

isentropic Euler equation；functional methods；blowup

O175.4

A

1005-0523（2016）06-0137-06

（責(zé)任編輯 劉棉玲）

2016－02－28

國家自然科學(xué)基金項目（11161021，11561024）；江西省自然科學(xué)基金項目（20151BAB201017）

朱旭生（1968—），男，副教授，博士，研究方向為偏微分方程。