馮天荃,易 鳴

（1.南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院，江蘇 南京210023；2.華中農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢430070）

乘性噪聲誘導(dǎo)復(fù)雜系統(tǒng)陣列信噪比增益

馮天荃1,易 鳴2

（1.南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院，江蘇 南京210023；2.華中農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢430070）

研究一類并聯(lián)非耦合雙穩(wěn)振子陣列信號(hào)處理中輸入的加性噪聲及彼此獨(dú)立的陣列各子系統(tǒng)內(nèi)部乘性噪聲驅(qū)動(dòng)下的隨機(jī)共振現(xiàn)象。通過(guò)數(shù)值模擬，證明了當(dāng)陣列數(shù)目增加到一定數(shù)目時(shí)，系統(tǒng)的乘性陣列噪聲將使得信噪比增益大于1，而且陣列數(shù)目越大，信噪比增益區(qū)間越大。通過(guò)對(duì)該系統(tǒng)的極限均值函數(shù)和穩(wěn)態(tài)相關(guān)函數(shù)的數(shù)值模擬，證明了陣列乘性噪聲誘導(dǎo)的任意兩個(gè)獨(dú)立的雙穩(wěn)振子的統(tǒng)計(jì)行為能直接反映該系統(tǒng)中信噪比增益特性。研究結(jié)果不僅將拓展非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)陣列信號(hào)處理理論，也將為噪聲誘導(dǎo)復(fù)雜系統(tǒng)及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為研究提供一種新的思路。

陣列隨機(jī)共振；信噪比；雙穩(wěn)系統(tǒng)；乘性陣列噪聲

隨機(jī)共振(stochastic resonance，SR)的概念最初于關(guān)于地球冰期回歸的研究中提出[1-2]。幾十年來(lái)，隨機(jī)共振現(xiàn)象引起了包括物理學(xué)、生物學(xué)、神經(jīng)科學(xué)和信號(hào)處理等學(xué)科領(lǐng)域研究者的廣泛關(guān)注。人們一般采用信噪比來(lái)分析隨機(jī)共振現(xiàn)象。信噪比增益大于1的區(qū)域是當(dāng)前復(fù)雜系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力學(xué)研究及相關(guān)應(yīng)用方面的熱點(diǎn)研究課題[3-7]。對(duì)于線性系統(tǒng)，一般信噪比的增益為1。在不適用線性響應(yīng)理論的體系，已有的研究表明信噪比增益大于1的情況是存在的，比如，閾值比較器或傳感器組成的并聯(lián)陣列以及一些非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)已觀察到陣列隨機(jī)共振現(xiàn)象。

大多數(shù)之前的陣列隨機(jī)共振研究包含特定的非線性，通過(guò)將非線性系統(tǒng)組合成陣列，調(diào)整噪聲和信號(hào)幅值，已觀察到陣列隨機(jī)共振效應(yīng)。比如，考慮任意可調(diào)節(jié)靜態(tài)非線性時(shí)，對(duì)于添加白噪聲的弱周期信號(hào)通過(guò)局部最優(yōu)非線性能夠達(dá)到最大的信噪比增益，而且此時(shí)的信噪比增益超過(guò)1。文獻(xiàn)[8]在雙穩(wěn)振子的并聯(lián)耦合陣列系統(tǒng)中考慮亞閾值正弦信號(hào)驅(qū)動(dòng)包含噪聲的雙穩(wěn)子系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)了信噪比增益大于1的現(xiàn)象。然而，該研究假設(shè)每個(gè)雙穩(wěn)子系統(tǒng)僅受一個(gè)凈正弦信號(hào)驅(qū)動(dòng)，僅僅考慮了輸入信號(hào)的噪聲效應(yīng)。而在實(shí)際情況下，輸入信號(hào)在到達(dá)雙穩(wěn)并聯(lián)陣列的傳播路徑中也應(yīng)該考慮噪聲效應(yīng)。

基于一類包含輸入噪聲的周期信號(hào)驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)振子的并聯(lián)非耦合動(dòng)態(tài)陣列，本文研究了輸出信噪比增益及優(yōu)化問(wèn)題。與前述研究不同的是，本文考慮每個(gè)雙穩(wěn)子系統(tǒng)都同時(shí)受到內(nèi)部乘性噪聲。本文證明了輸出信噪比隨雙穩(wěn)子系統(tǒng)內(nèi)部乘性噪聲強(qiáng)度的增加呈現(xiàn)先單調(diào)增加的現(xiàn)象，而在內(nèi)部乘性噪聲強(qiáng)度達(dá)到某一特定值時(shí)，輸出信噪比達(dá)到最大，然后隨著噪聲強(qiáng)度繼續(xù)增加，信噪比的輸出呈現(xiàn)緩慢下降。更重要的是，當(dāng)雙穩(wěn)并聯(lián)非耦合陣列數(shù)目增大到一定值時(shí)，系統(tǒng)的乘性陣列噪聲將使得信噪比增益大于1，而且陣列數(shù)目越大，信噪比增益區(qū)間越大，無(wú)限并聯(lián)陣列的最大信噪比增益可達(dá)到全局最優(yōu)值。

1 模型與方程

考慮并聯(lián)非耦合雙穩(wěn)態(tài)振子陣列模型，該陣列模型由N個(gè)并聯(lián)非耦合雙穩(wěn)振子組成，每個(gè)雙穩(wěn)振子的輸入都是受相同的正弦信號(hào)加噪聲的混合信號(hào)s（t）+η（t）。其中，s（t）=Asin（2πt/Ts）是一個(gè)周期為Ts、幅值為A的確定性的正弦信號(hào)，η（t）是零均值高斯白噪聲，不受s（t）的約束，并且自關(guān)聯(lián)函數(shù)為（[η（t）η（0）]＝Dηδ（t）（Dη表示噪聲強(qiáng)度）。同時(shí)，每個(gè)雙穩(wěn)振子的內(nèi)部乘性噪聲ξi（t）（i=1，2，…，N）與輸入的混合信號(hào)s（t）+η（t）無(wú)關(guān)聯(lián)。N個(gè)雙穩(wěn)振子陣列內(nèi)部乘性噪聲項(xiàng)ξi（t）是相互獨(dú)立的，其自關(guān)聯(lián)函數(shù)為[ξ（t）ξ（0）]=Dξδ（t）（Dξ為噪聲強(qiáng)度）[9-14]。陣列中雙穩(wěn)振子的內(nèi)部狀態(tài)xi（t）可以通過(guò)郎之萬(wàn)方程來(lái)描述：

其中：i=1，2，…，N；τa和xb為雙穩(wěn)子系統(tǒng)的實(shí)參數(shù)。陣列的輸出設(shè)為這些雙穩(wěn)子系統(tǒng)的輸出xi（t）的算術(shù)平均值，即

由于參數(shù)τa和xb分別具有時(shí)間和幅值的量綱，需要將方程（1）進(jìn)行無(wú)量綱化。假設(shè)xi（t）＝xi（t）／xb，A=A／xb，t=t／τa，Ts＝Ts／τa，Dη＝Dη／（τax2b）和Dξ＝Dξ／（τax2b），方程（1）可以被改寫為下面的無(wú)量綱化形式，即

需要注意的是，如果輸入信號(hào)s（t）的無(wú)量綱幅值滿足，則輸入信號(hào)s（t）是亞閾值信號(hào)，否則，s（t）是超閾值信號(hào)。通常情況下，陣列的求和輸出響應(yīng)是一個(gè)隨機(jī)信號(hào)。但是，如果s（t）是周期為Ts的周期性輸入信號(hào)，那么，輸出y（t）一般是一個(gè)具有相同的周期Ts的穩(wěn)態(tài)隨機(jī)信號(hào)。為了研究并聯(lián)非耦合雙穩(wěn)態(tài)振子陣列系統(tǒng)的輸入－輸出反應(yīng)，本文將利用Euler-Maruyama離散數(shù)值方法求解方程（3），且數(shù)值求解過(guò)程中的采樣時(shí)間步長(zhǎng)δt遠(yuǎn)小于周期Ts。根據(jù)廣義的輸入－輸出理論[9]，在任意時(shí)間t，陣列的求和響應(yīng)y（t）可以表示為它的非穩(wěn)態(tài)平均值E［y（t）］加上統(tǒng)計(jì)擾動(dòng)之和，即。這里的非穩(wěn)態(tài)平均值具有n階傅里葉系數(shù)

根據(jù)方程（5），可以得到穩(wěn)態(tài)自關(guān)聯(lián)函數(shù)Ryy（τ）

其中，Cyy（τ）為穩(wěn)態(tài)自協(xié)方差函數(shù)。功率譜密度Ryy（v）是自關(guān)聯(lián)函數(shù)Ryy（τ）的傅里葉變換

從方程（7）可以看出功率譜密度Pyy（v）由相干頻率為n＝Ts幅值為的頻譜構(gòu)成，疊加到Cyy（τ）的傅立葉變換表示的寬帶背景噪聲中。需要指出的是，表示［y（t）］的非穩(wěn)態(tài)方差，Cyy（0）＝（var［y（t）］）為陣列輸出y（t）的穩(wěn)態(tài)方差。穩(wěn)態(tài)自協(xié)方差函數(shù)Cyy（τ）可以表示為

其中，h（τ）為互關(guān)聯(lián)系數(shù)，且其傅里葉變換為F［h（τ）］＝H（v）。這樣，方程（7）的功率譜密度可以改寫為

陣列輸出信噪比被定義為譜線1/Ts上的功率與以頻率1/Ts為中心的附近頻帶ΔB內(nèi)的噪聲功率之比，即

以同樣的方法，可以得到周期性信號(hào)加噪聲的混合信號(hào)s（t）+η（t）的輸入信噪比

其中，ση為高斯噪聲η（t）的均方根。根據(jù)方程（10）和（11），可以得到并聯(lián)非耦合雙穩(wěn)陣列的信噪比增益，即

基于方程（10）－（12），本文將通過(guò)雙穩(wěn)陣列各子系統(tǒng)及陣列噪聲的調(diào)控，詳盡分析并聯(lián)非耦合雙穩(wěn)陣列的信噪比及信噪比增益性質(zhì)。如果該陣列的信噪比增益G（1/Ts）大于1，則說(shuō)明雙穩(wěn)子系統(tǒng)陣列和陣列噪聲的相互作用是一種潛在可靠的控制陣列信號(hào)的方法。

2 陣列隨機(jī)共振和信噪比增益的計(jì)算結(jié)果

本文已經(jīng)推導(dǎo)得到了系統(tǒng)的輸入、輸出信噪比Rin（1/Ts），Rout（1/Ts）及信噪比增益G（1/Ts）的精確表達(dá)式。值得指出的是，本文考慮了該陣列系統(tǒng)同時(shí)受到兩種不同的噪聲的作用，即輸入的外部加性噪聲η（t）以及每個(gè)子系統(tǒng)彼此獨(dú)立的內(nèi)部乘性噪聲ξi（t）。這一點(diǎn)不同于前人的研究[8]。在本文中，信噪比及信噪比增益會(huì)受到輸入的外部加性噪聲及子系統(tǒng)內(nèi)部乘性噪聲的共同影響。

首先，考慮單個(gè)雙穩(wěn)振子的情況，即選取并聯(lián)非耦合雙穩(wěn)振子陣列大小為N=1，則對(duì)應(yīng)的輸出?？紤]輸入信號(hào)是一個(gè)振幅為A＝0.5，頻率1/Ts的正弦信號(hào)并包含輸入噪聲η（t），圖1（a）和1（b）分別繪出了輸出均值E［y（t）］和穩(wěn)態(tài)自協(xié)方差函數(shù)Cyy（τ）的時(shí)間演化曲線。圖1（a）和1（b）均選取了不同的輸入噪聲強(qiáng)度值，即，ση＝0.5（實(shí)線），ση＝1.2（虛線），ση＝2（點(diǎn)線）和ση＝3（點(diǎn)-虛線）。從圖1（a）可以看出：隨著噪聲強(qiáng)度ση的增加，周期性輸出均值E［y（t）］有一個(gè)相同的頻率1/Ts＝0.01，輸出均值E［y（t）］的最大振幅出現(xiàn)在輸入外部噪聲強(qiáng)度為ση＝1.2的位置。此外，從圖1（b）的穩(wěn)態(tài)自協(xié)方差函數(shù)Cyy（τ）可以看出：隨著輸入噪聲強(qiáng)度ση從0.5增加到3，關(guān)聯(lián)時(shí)間τ從72逐步減小到18。但是，穩(wěn)態(tài)方差Cyy（0）=（var［y（t）］）表現(xiàn)出非單調(diào)特性，即隨著輸入外部噪聲強(qiáng)度ση從0.5，1.2，2增加到3，穩(wěn)態(tài)方差Cyy（0）分別對(duì)應(yīng)為0.394，0.323，0.405和0.781。根據(jù)圖1的結(jié)果，結(jié)合輸入、輸出信噪比Rin（1/Ts）的精確表達(dá)式，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算就能得到系統(tǒng)存在典型的陣列隨機(jī)共振現(xiàn)象，這一結(jié)果與已有的研究結(jié)果是一致的[8]。此外，從信噪比增益G（1/Ts）的表達(dá)式也能看出，信噪比增益G（1/Ts）是小于1的。實(shí)際上，只要輸入的正弦信號(hào)的振幅A是亞閾值或稍微超閾值[3]，都不會(huì)出現(xiàn)信噪比增益，即G（1/Ts）＜1。但是，當(dāng)輸入的正弦信號(hào)的振幅A增加到一個(gè)更大的值時(shí)，在一定的噪聲水平下，才可能實(shí)現(xiàn)信噪比增益[3]。

圖1 陣列系統(tǒng)輸出特性Fig.1 The output properties of the array

接下來(lái)，研究并聯(lián)非耦合雙穩(wěn)振子陣列大小滿足N≥2時(shí)的信噪比及信噪比增益性質(zhì)?？紤]輸入的加性噪聲強(qiáng)度值為ση＝1.9，對(duì)輸入亞閾值信號(hào)（A=0.34）及超閾值信號(hào)（A=1）兩種不同的條件，圖2繪出了并聯(lián)非耦合雙穩(wěn)動(dòng)態(tài)陣列的信噪比增益G（1/Ts）隨陣列內(nèi)部乘性噪聲ξi（t）強(qiáng)度σξ的變化曲線。圖2（a）-（b）分別選取了不同的輸入信號(hào)幅值和輸入信噪比，即圖2（a）A=0.34，Rin=8.89；圖2（b）A=1，Rin=76.2。從圖2可以看出，當(dāng)陣列數(shù)目N達(dá)到一定值時(shí)，陣列的信噪比增益G（1/Ts）隨陣列內(nèi)部乘性噪聲強(qiáng)度σξ的變化展示為非單調(diào)曲線，該類現(xiàn)象是典型的“陣列隨機(jī)共振”現(xiàn)象[9]。而且，圖3的結(jié)果也表明，信噪比增益大于1的結(jié)果（即G（1/Ts）＞1）不僅在超閾值信號(hào)輸入時(shí)（即A=1）出現(xiàn)，而且在亞閾值信號(hào)情況（即A=0.34）時(shí)也能有效觀察到G（1/Ts）＞1的現(xiàn)象。更重要的是，圖2也證明了信噪比增益大于1的參數(shù)區(qū)間隨著陣列數(shù)目的增加而擴(kuò)展，而且，隨著輸入信號(hào)幅值A(chǔ)的增大，對(duì)于同等大小的陣列數(shù)目N，信噪比增益G（1/Ts）能達(dá)到一個(gè)更大的局域最大值。例如，從圖2（a）和圖2（b）的比較，可以看出在陣列大小同為N＝100的情況，信號(hào)幅值為A= 0.34時(shí)的信噪比增益G（1/Ts）要比信號(hào)幅值為A=1時(shí)的要小。研究結(jié)果表明了陣列隨機(jī)共振與前面所介紹的隨機(jī)共振理論[8]不同之處。前人的研究[8]假設(shè)了每個(gè)雙穩(wěn)子系統(tǒng)僅受一個(gè)凈正弦信號(hào)驅(qū)動(dòng)，僅僅考慮了輸入信號(hào)的噪聲效應(yīng)，其隨機(jī)共振的機(jī)制歸因于輸入信號(hào)中的加性噪聲。而本文中的隨機(jī)共振是由每個(gè)雙穩(wěn)子系統(tǒng)中的乘性噪聲誘導(dǎo)的雙穩(wěn)陣列的集振非線性反應(yīng)。同時(shí)，在某些情況下，可以通過(guò)調(diào)諧內(nèi)部乘性噪聲ξi（t）的強(qiáng)度，使得陣列輸出處于最佳工作區(qū)域，即G（1/Ts）＞1的區(qū)域，這是陣列信號(hào)處理中一個(gè)很有意義的結(jié)果。圖2已經(jīng)證明了陣列信噪比增益G（1/Ts）隨陣列數(shù)目的增加局部最大值會(huì)相應(yīng)增加，且對(duì)應(yīng)的最優(yōu)化的內(nèi)部乘性噪聲強(qiáng)度σξ向右偏移；因此，研究陣列數(shù)目N→∞時(shí)的陣列信噪比增益G（1/Ts）的全局最大值是極有意義的。

圖2 陣列信噪比增益隨陣列內(nèi)部乘性噪聲強(qiáng)度的變化曲線Fig.2 The array SNR gain as a function of the amplitude of array noise

在t時(shí)刻如果陣列數(shù)目N→∞，可以通過(guò)穩(wěn)態(tài)自關(guān)聯(lián)函數(shù)和穩(wěn)態(tài)自協(xié)方差函數(shù)極限來(lái)進(jìn)一步分析陣列的信噪比增益性質(zhì)。在任意時(shí)刻t，穩(wěn)態(tài)自關(guān)聯(lián)函數(shù)和穩(wěn)態(tài)自協(xié)方差函數(shù)極限表示為

圖3 陣列系統(tǒng)輸出特性Fig.3 The output properties of the array

其中，方程（13）和（14）中的下標(biāo)滿足i≠j，i，j＝1，2，…，N；因此，可以利用任意兩個(gè)相互獨(dú)立內(nèi)部乘性噪聲ξi（t）和ξj（t）中的雙穩(wěn)態(tài)振子來(lái)代替陣列數(shù)目趨于無(wú)窮大（N→∞）的情況來(lái)計(jì)算陣列的信噪比增益G（1/Ts）。圖3（a）繪出了陣列數(shù)目N→∞時(shí)內(nèi)部乘性噪聲強(qiáng)度σξ取不同值時(shí)輸出y（t）的非穩(wěn)態(tài)均值E［y（t）］的演化曲線。圖3（b）繪出了對(duì)應(yīng)于圖3(a)的輸出y（t）對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)自協(xié)方差函數(shù)Cyy（τ）的演化曲線。圖3（a）和圖3（b）中不同的內(nèi)部乘性噪聲強(qiáng)度σξ＝0，1.4，3分別用實(shí)線，虛線和點(diǎn)線來(lái)表示。本文采用了文獻(xiàn)[9]中的數(shù)值方法，選取頻帶ΔB＝1/Ts，采樣時(shí)間Δt=0.001／ΔB。這樣，可以依據(jù)非穩(wěn)態(tài)均值E［y（t）］和穩(wěn)態(tài)自協(xié)方差函數(shù)Cyy（τ）分析陣列輸出的信噪比Rout（1/Ts）及信噪比增益G（1/Ts）。

圖4 陣列信噪比增益隨陣列內(nèi)部乘性噪聲強(qiáng)度的變化曲線Fig.4 Changing curve of array SNR gain with the function of the amplitude of array noise

圖4（a）和圖4（b）分別繪出了信號(hào)幅值為A=0.34和A=0.5所對(duì)應(yīng)的信噪比增益G（1/Ts）隨內(nèi)部乘性噪聲強(qiáng)度σξ的變化曲線。為了對(duì)比陣列數(shù)目不同情況下的信噪比增益，圖4給出了不同陣列數(shù)目的信噪比演化曲線。從圖4可以看出當(dāng)陣列數(shù)目N≥5時(shí)，信噪比增益G（1/Ts）開始表現(xiàn)為隨內(nèi)部乘性噪聲強(qiáng)度σξ增加而單調(diào)增加達(dá)到一個(gè)峰值，而隨著σξ強(qiáng)度的繼續(xù)增加，信噪比增益呈現(xiàn)單調(diào)減小，這是一類典型的陣列隨機(jī)共振現(xiàn)象。當(dāng)陣列數(shù)目N→∞時(shí)，信噪比增益G（1/Ts）的局部最大值也隨之增大，且對(duì)應(yīng)于G（1/Ts）的最大值的內(nèi)部乘性噪聲區(qū)間向右偏移。此時(shí)，信噪比增益的最大值位置對(duì)應(yīng)于乘性噪聲強(qiáng)度σξ=1.4，這與圖3中輸出均值曲線一致。也就是說(shuō)，噪聲強(qiáng)度取σξ=1.4時(shí)的輸出均值曲線振幅最大，信噪比增益也最大。當(dāng)陣列數(shù)目N=∞，信噪比增益G（1/Ts）能達(dá)到全局最大值。值得指出的是，這里對(duì)應(yīng)于陣列數(shù)目N=∞的信噪比增益G（1/Ts）數(shù)據(jù)是由任意兩個(gè)處于獨(dú)立的內(nèi)部乘性噪聲中的雙穩(wěn)態(tài)振子性能分析得到的。

圖2、圖3和圖4曲線中表現(xiàn)的陣列隨機(jī)共振及陣列信噪比增益大于1的物理機(jī)制，可以通過(guò)相互獨(dú)立的陣列各子系統(tǒng)的內(nèi)部乘性噪聲ξ（t）來(lái)解釋。一方面，陣列各子系統(tǒng)的內(nèi)部乘性噪聲誘導(dǎo)了陣列集體響應(yīng)以達(dá)到其輸出均值E［y（t）］，另一方面，陣列各子系統(tǒng)的內(nèi)部乘性噪聲也能對(duì)輸入的加性噪聲η（t）產(chǎn)生部分抑制作用從而減小輸出的統(tǒng)計(jì)擾動(dòng)。正如圖3所描繪的結(jié)果一樣，陣列各子系統(tǒng)的內(nèi)部乘性噪聲能減小穩(wěn)態(tài)方差Cyy（0）和關(guān)聯(lián)時(shí)間τ。

3 結(jié)論

本文研究了一類并聯(lián)雙穩(wěn)振子組成的陣列信號(hào)處理中的隨機(jī)共振現(xiàn)象及信噪比增益問(wèn)題。陣列信號(hào)輸入為包含加性噪聲的正弦信號(hào)，當(dāng)該輸入信號(hào)通過(guò)并聯(lián)雙穩(wěn)態(tài)振子組成的陣列時(shí)，受到相互獨(dú)立的陣列各子系統(tǒng)內(nèi)部乘性噪聲的積極影響，使得該陣列系統(tǒng)中輸出信噪比增益出現(xiàn)了典型的隨機(jī)共振現(xiàn)象。有趣的是，這種由陣列各子系統(tǒng)內(nèi)部乘性噪聲誘導(dǎo)的非線性現(xiàn)象不僅適用于超閾值輸入信號(hào)，也適用于亞閾值輸入信號(hào)；因此這是一種新的隨機(jī)共振現(xiàn)象，即陣列隨機(jī)共振。

雖然，文獻(xiàn)[8]在類似系統(tǒng)中也發(fā)現(xiàn)了信噪比增益大于1的現(xiàn)象。但是，該研究?jī)H僅考慮了輸入信號(hào)的噪聲效應(yīng)，其獲得的信噪比增益大于1的結(jié)果是由外部輸入的加性噪聲所誘導(dǎo)的。而在實(shí)際情況下，輸入信號(hào)在到達(dá)雙穩(wěn)并聯(lián)陣列的傳播路徑中也應(yīng)該考慮內(nèi)部噪聲效應(yīng)。對(duì)于固定的加性噪聲強(qiáng)度，本文證明了并聯(lián)雙穩(wěn)態(tài)振子組成的陣列系統(tǒng)的輸出信噪比增益是關(guān)于陣列大小的遞增函數(shù)。當(dāng)陣列數(shù)目增加到一定數(shù)目時(shí)，陣列的信噪比增益存在大于1的區(qū)域，且這一區(qū)域隨著陣列數(shù)目的增加而擴(kuò)展。本文的研究結(jié)果表明了陣列隨機(jī)共振與文獻(xiàn)[8]結(jié)果的不同之處。本文中的隨機(jī)共振及信噪比增益是由每個(gè)雙穩(wěn)子系統(tǒng)中的乘性噪聲誘導(dǎo)的雙穩(wěn)陣列的集振非線性反應(yīng)。

此外，通過(guò)對(duì)并聯(lián)雙穩(wěn)態(tài)振子組成的陣列非穩(wěn)態(tài)輸出均值和穩(wěn)態(tài)自協(xié)方差函數(shù)的極限性質(zhì)的研究，證明了無(wú)限并聯(lián)雙穩(wěn)態(tài)振子組成的陣列信噪比增益問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為由任意兩個(gè)相互獨(dú)立處于不同內(nèi)部乘性噪聲驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)態(tài)振子的統(tǒng)計(jì)性能分析。這些研究結(jié)果不僅豐富了非線性陣列信號(hào)處理理論，也為復(fù)雜隨機(jī)系統(tǒng)理論中噪聲作用分析提供了一種新的思路[9-15]。

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Signal-Noise-Ratio Gain from Array of Complex System Induced by Multiplicative Array Noise

Feng Tianquan1，Yi Ming2
（1 School of Teacher Education，Nanjing Normal University，Nanjing 210023，China；2 College of Sciences，Huazhong Agricultural University，Wuhan 430070，China）

We investigated the array stochastic resonance induced by the multiplicative array noise in a parallel uncoupled array of identical bistable systems driven by the mixing signal of sinusoids and additive Gaussian white input noise.Our numerical simulating results showed that the signal-to-noise ratio gain could exceed unity for both subthreshold and suprathreshold sinusoids input when the array size reached a number.Interestingly，the region of SNR gain exceeding unity corresponding multiplicative noises could be extended as the array size arises.By simulating numerically the function limits of non-stationary array mean and stationary auto-convariance，we found that the performance of an infinite array can be approached by an array of two bistable oscillators operating in different noisy conditions.The present nonlinear phenomenon of SNR gain exceeding unity in parallel uncoupled arrays not only represent a promising application in array signal processing of complex random systems but also proved a new scheme for stochastic dynamics induced by the array noises.

array stochastic resonance；signal-noise-ratio（SNR）；bistable dynamic system；multiplicative array noise

O59；N93

A

1005-0523（2016）06-0103-07

（責(zé)任編輯 劉棉玲）

2016－09－26

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（31100752，11275259，91330113）

馮天荃(1981—)，女，講師，博士，研究方向?yàn)榻y(tǒng)計(jì)物理和生物物理。