王解先，王君剛，，陳俊平（.同濟(jì)大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海0009；.中國科學(xué)院上海天文臺(tái)，上海00030）

?

基于衛(wèi)星位置與速度的北斗衛(wèi)星廣播星歷擬合

王解先1，王君剛1，2，陳俊平2
（1.同濟(jì)大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海200092；2.中國科學(xué)院上海天文臺(tái)，上海200030）

提出基于衛(wèi)星位置與速度的廣播星歷擬合算法，給出了該擬合算法的計(jì)算過程，并對(duì)傳統(tǒng)坐標(biāo)擬合算法與坐標(biāo)＋速度擬合算法的擬合精度及外推精度進(jìn)行比較.結(jié)果表明：基于位置＋速度的擬合算法是有效的，且與傳統(tǒng)坐標(biāo)擬合算法相比，該算法能顯著提高擬合的速度精度，且坐標(biāo)精度也略有提高.此外，在衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)已知?dú)v元數(shù)較少時(shí)，采用坐標(biāo)＋速度擬合算法優(yōu)勢更明顯.

北斗衛(wèi)星系統(tǒng)（BDS）；廣播星歷；衛(wèi)星軌道參數(shù)；最小二乘擬合；衛(wèi)星速度；衛(wèi)星軌道精度

全球衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)進(jìn)行定位導(dǎo)航需要獲取衛(wèi)星的位置，衛(wèi)星位置由衛(wèi)星星歷提供，星歷分后處理精密星歷和實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)2種.以全球定位系統(tǒng)（GPS）為例，國際全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)服務(wù)（IGS）提供的精密星歷位置精度優(yōu)于5cm，但是有十幾天的時(shí)延，適于后處理精密定位；廣播星歷精度在米級(jí)，可實(shí)時(shí)獲取，在導(dǎo)航與實(shí)時(shí)定位中應(yīng)用廣泛［1－2］.

廣播星歷是以衛(wèi)星位置擬合的軌道參數(shù)形式來表達(dá)，便于用戶接受使用，因此衛(wèi)星廣播星歷的擬合是一個(gè)重要問題.提高廣播星歷擬合的精度，減少擬合誤差，能夠充分利用預(yù)報(bào)星歷的高精度，更好地服務(wù)于用戶的導(dǎo)航定位.

針對(duì)GPS衛(wèi)星廣播星歷的擬合問題，現(xiàn)有的研究文獻(xiàn)較多，其數(shù)學(xué)模型也比較完善［3］.擬合算法中偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算有解析法［4］和數(shù)值導(dǎo)數(shù)法［5－6］，針對(duì)擬合過程中出現(xiàn)的偏心率近似于零導(dǎo)致的法方程奇異等問題，相應(yīng)的解決算法有QR分解算法［7］、無奇異變換的廣播星歷擬合算法［8－9］、改變坐標(biāo)系參考軌道面的方法［10］等.

北斗系統(tǒng)衛(wèi)星分為地球靜止軌道（GEO）、傾斜地球同步軌道（IGSO）、中地球軌道（MEO）3種.其中IGSO與MEO廣播星歷計(jì)算衛(wèi)星位置的方法與GPS衛(wèi)星類似，其擬合過程可參照GPS廣播星歷的擬合，而以GPS廣播星歷形式直接擬合GEO衛(wèi)星軌道不合適，需要通過坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的策略加以解決［11－12］.不同的旋轉(zhuǎn)軸對(duì)擬合精度沒有影響［13］，即選擇不同的慣性系坐標(biāo)軸指向其擬合結(jié)果是一致的.GEO廣播星歷擬合過程中易出現(xiàn)參數(shù)超限的問題，通過增大軌道面旋轉(zhuǎn)角［14］、固定超限參數(shù)同時(shí)解算其余星歷參數(shù)和參數(shù)嶺估計(jì)等方法［15］可以有效解決.

由衛(wèi)星廣播星歷可以計(jì)算衛(wèi)星速度與坐標(biāo)［16］，然而只采用由衛(wèi)星位置擬合出的衛(wèi)星軌道參數(shù)來計(jì)算衛(wèi)星速度的精度較低，因此本文探討采用衛(wèi)星坐標(biāo)＋速度擬合衛(wèi)星軌道參數(shù)的方法，利用最小二乘原理進(jìn)行衛(wèi)星廣播星歷擬合，并對(duì)擬合精度進(jìn)行詳細(xì)分析.

1 由廣播星歷計(jì)算衛(wèi)星位置與速度

北斗衛(wèi)星系統(tǒng)（BDS）衛(wèi)星軌道可以由15個(gè)軌道根數(shù)表達(dá)，包括：6個(gè)開普勒根數(shù)、e、Ω0、ω、i0、 M0，分別表示長半軸平方根、偏心率、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)幅角、軌道傾角、平近點(diǎn)角；9個(gè)攝動(dòng)參數(shù)Δn、 i、、Cuc、Cus、Crc、Crs、Cic、Cis，分別表示衛(wèi)星平均運(yùn)動(dòng)速率與計(jì)算值之差、軌道傾角變化率、升交點(diǎn)赤經(jīng)變化率、緯度幅角的余弦調(diào)和改正項(xiàng)的振幅、緯度幅角的正弦調(diào)和改正項(xiàng)的振幅、軌道半徑的余弦調(diào)和改正項(xiàng)的振幅、軌道半徑的正弦調(diào)和改正項(xiàng)的振幅、軌道傾角的余弦調(diào)和改正項(xiàng)的振幅、軌道傾角的正弦調(diào)和改正項(xiàng)的振幅.由參考時(shí)刻toe的軌道根數(shù)可計(jì)算其前后一段時(shí)間內(nèi)任意時(shí)刻ti的衛(wèi)星坐標(biāo)和速度.

由BDS廣播星歷計(jì)算衛(wèi)星位置與速度的步驟如下：

（1）計(jì)算半長軸A

（2）計(jì)算衛(wèi)星平均角速度n0

其中，地球引力常數(shù)μ＝3.986 004 418×1014m3· s2.

（3）計(jì)算觀測歷元時(shí)刻ti到參考?xì)v元時(shí)刻toe的時(shí)間差tk

（4）計(jì)算改正后的平均角速度n

（5）計(jì)算平近點(diǎn)角Mk

（6）計(jì)算偏近點(diǎn)角Ek和偏近點(diǎn)角變率k

（7）計(jì)算真近點(diǎn)角vk

（8）計(jì)算升交距角φk及其變率k

（9）計(jì)算周期改正項(xiàng)δuk、δrk、δik

（10）計(jì)算改正后的升交距角uk及其變率k

（11）計(jì)算改正后的向徑rk及其變率k

（12）計(jì)算改正后的傾角ik及其變率k

GEO在慣性系中，升交點(diǎn)赤經(jīng)及其變率分別為

（15）計(jì)算衛(wèi)星在地固系（CGCS2000）中坐標(biāo)（Xk，Yk，Zk）及速度

（13）計(jì)算衛(wèi)星在軌道面內(nèi)的坐標(biāo)（xk，yk）與速度

（14）計(jì)算衛(wèi)星升交點(diǎn)赤經(jīng)Ωk及其變率Ω·k

MEO／IGSO衛(wèi)星在地固系中，升交點(diǎn)赤經(jīng)及其變率分別為

對(duì)于MEO／IGSO衛(wèi)星，在地固系中的坐標(biāo)和速度分別為

對(duì)于GEO衛(wèi)星，先計(jì)算GEO衛(wèi)星在自定義坐標(biāo)系中的坐標(biāo)與速度，如下所示：

再計(jì)算其在CGCS2000中的坐標(biāo)與速度，如下所示：

其中，

2 廣播星歷擬合模型

由參考時(shí)刻的軌道參數(shù)可以計(jì)算其前后一小時(shí)內(nèi)的衛(wèi)星坐標(biāo)與速度，計(jì)算過程如式（1）所述，可寫為

式中：a15為toe時(shí)刻的15個(gè)軌道參數(shù).采用位置＋速度擬合算法的誤差方程為

根據(jù)每個(gè)歷元的軌道根數(shù)方程的偏導(dǎo)數(shù)確定誤差方程的系數(shù)矩陣B，常數(shù)項(xiàng)由精密星歷與開普勒15參數(shù)初值確定的衛(wèi)星軌道（位置、速度）之差確定，3個(gè)歷元的觀測值即可組成18個(gè)誤差方程進(jìn)行解算，因此，3個(gè)歷元的觀測數(shù)據(jù)即可通過最小二乘平差估計(jì)軌道根數(shù).

在確定誤差方程后，采用間接平差，組成法方程并解算參數(shù)改正數(shù)為

式中：m為觀測歷元個(gè)數(shù)，每個(gè)歷元可以組成6個(gè)誤差方程；P為權(quán)陣；L為誤差方程常數(shù)陣；V為誤差方程殘差矩陣.迭代計(jì)算至收斂即可.

迭代計(jì)算的初值選取很重要，初值不準(zhǔn)確時(shí)，難以收斂.首個(gè)歷元的開普勒6參數(shù)初值可由衛(wèi)星位置與速度計(jì)算［17］，其余9個(gè)攝動(dòng)參數(shù)初值取0，后續(xù)歷元可取上一歷元計(jì)算的軌道根數(shù)作為初值.

3 算例分析

以2012年6月25日至30日共計(jì)6天的BDS觀測數(shù)據(jù)為例，分別采用位置、位置＋速度2種擬合方案，比較不同擬合方案下的位置與速度精度.擬合時(shí)長為2h，為了更好地切合實(shí)際擬合情況，第1小時(shí)采用精密后處理星歷，第2小時(shí)采用預(yù)報(bào)軌道.星歷采樣間隔為15min，因此每個(gè)擬合時(shí)段有9個(gè)歷元的精密軌道數(shù)據(jù).衛(wèi)星速度由Lagrange內(nèi)插獲得［18］.擬合出衛(wèi)星軌道根數(shù)后，由式（1）計(jì)算時(shí)段內(nèi)以及前后各外推一小時(shí)的每分鐘衛(wèi)星位置和速度，以精密星歷內(nèi)插的衛(wèi)星位置與速度為真值來統(tǒng)計(jì)誤差.

圖1是3號(hào)衛(wèi)星在2012年6月25日9—11時(shí)段的擬合中誤差.圖1a是位置精度，圖1b是速度精度，圖中P＋V表示采用位置＋速度擬合，P表示只采用位置擬合.由于2種擬合方式的速度精度相差太大（位置＋速度擬合的速度精度是cm·s－1級(jí)，位置擬合的速度精度可達(dá)m·s－1級(jí)），為方便繪圖，圖1b左側(cè)刻度表示位置＋速度擬合，右側(cè)刻度表示位置擬合.

圖1 3號(hào)衛(wèi)星一個(gè)時(shí)段的擬合誤差Fig.1 Fitting error of PRN 3

從圖1可以看出，與只采用位置擬合相比，位置＋速度擬合算法的位置擬合精度一致，而速度精度有很大提高.圖1中，采用位置與速度觀測量擬合時(shí)，速度的三維均方根值在10.5h附近出現(xiàn)拐點(diǎn)，這是由于X、Y方向速度擬合誤差均在厘米級(jí)，Z方向誤差在米級(jí)，而Z方向誤差趨勢是從－10～＋6m之間逐漸增加，在10.5h左右過零點(diǎn)，因此速度的三維均方根值會(huì)出現(xiàn)拐點(diǎn).

對(duì)3～12號(hào)BDS衛(wèi)星6天的擬合精度及前后各外推一小時(shí)的精度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果見圖2.其中3～5號(hào)是GEO衛(wèi)星，6～10號(hào)是IGSO衛(wèi)星，11和12號(hào)是MEO衛(wèi)星.

圖2 3～12號(hào)衛(wèi)星的擬合與外推精度Fig.2 Position fitting and extrapolating accuracy of PRN 3～12

圖2的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，基于位置＋速度的擬合算法并不會(huì)影響位置的擬合與外推精度，相反，大多數(shù)衛(wèi)星的位置擬合精度還會(huì)略有提高.

表1 2種方法擬合與外推的速度精度Tab.1_Fitting and extrapolating velocity accuracy

由表2可以看出，與位置擬合相比，位置＋速度擬合能夠顯著提高速度的擬合精度，在未附加速度值進(jìn)行擬合時(shí)廣播星歷速度精度可達(dá)每秒數(shù)十米，而附加速度值擬合后速度精度僅為厘米級(jí)別.考慮到擬合算法的不完善，實(shí)際應(yīng)用中位置擬合精度可能小于表中數(shù)值，但是附加速度的擬合方法對(duì)速度擬合精度的提升是明顯的.這是由于在附加速度觀測值時(shí)，對(duì)廣播星歷的速度計(jì)算進(jìn)行了強(qiáng)制約束，使其能夠達(dá)到較高精度.此外，從表1可以看出，如果只采用位置擬合，GEO、IGSO的速度精度遠(yuǎn)差于MEO衛(wèi)星，這可能是由于GEO、IGSO衛(wèi)星軌道高于MEO引起的，具體原因有待探討.

此外，在已知的衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)歷元較少時(shí)，位置＋速度擬合的效果更加明顯.以3號(hào)衛(wèi)星為例，擬合2012年6月26日的衛(wèi)星軌道，擬合弧長為2h，每個(gè)擬合弧段內(nèi)已知數(shù)據(jù)歷元為3個(gè)，對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.在12個(gè)擬合時(shí)段中，位置擬合只有3個(gè)時(shí)段收斂，且位置擬合精度為米級(jí)，而12個(gè)時(shí)段的位置＋速度擬合的位置精度均為厘米級(jí)別.這是由于位置擬合一個(gè)歷元只有3個(gè)誤差方程，而位置＋速度擬合每個(gè)歷元有6個(gè)誤差方程，能提供足夠的多余觀測值.因此在已知數(shù)據(jù)歷元較少時(shí)，采用位置＋速度的擬合算法能夠保證擬合的有效性與精度.

4 結(jié)論

（1）與傳統(tǒng)的廣播星歷位置擬合算法相比，位置＋速度擬合算法對(duì)擬合與外推的位置精度不但沒有降低，還略有提升.

（2）附加速度觀測值后擬合廣播星歷，速度精度有顯著提高，擬合精度與外推精度均可達(dá)厘米級(jí)別.

（3）在已知數(shù)據(jù)歷元個(gè)數(shù)較少時(shí)，采用位置＋速度擬合算法能充分保證擬合的有效性與精度.

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BDS Broadcast Ephemeris Fitting Based on Satellite’s Position and Velocity

WANG Jiexian1，WANG Jungang1，2，CHEN Junping2
（1.College of Surveying and Geo－Informatics，Tongji University，Shanghai 200092，China；2.Shanghai Astronomical Observatory，Chinese Academy of Sciences，Shanghai 200030，China）

A new fitting method based on both the position and the velocity of satellite is presented in this paper and a fitting formula is deduced.Then，the fitting and the extrapolating accuracy are compared between conventional position based fitting method and the new position－velocity based fitting method.Compared with conventional fitting method，the new fitting method shows a significant improvement in velocity accuracy，with a slight improvement in position accuracy.Besides，the new method’s advantage is more obvious when the fitting epoch is few.

BeiDou Navigation Satellite System（BDS）；broadcast ephemeris；satellite orbit element；least square fitting；satellite velocity；satellite’s orbit accuracy

P228

A

0253－374X（2016）01－0155－06

10.11908／j.issn.0253－374x.2016.01.023

2014-12-13

國家“八六三”高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（2013AA122402，2014AA123102）；國家“九七三”重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（2013CB733304）；國家自然科學(xué)基金（11273046，41174023）；上海市科委項(xiàng)目（12DZ2273300，13PJ1409900）

王解先（1963—），男，教授，博士生導(dǎo)師，工學(xué)博士，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星大地測量.E－mail：wangjiexian＠#edu.cn