■河北省張家口市第一中學(xué)

侯鳳云

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數(shù)列新穎題型賞析

■河北省張家口市第一中學(xué)

侯鳳云

一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題

A．15 B．750

二、等比數(shù)列的最值問題

點(diǎn)評：用均值不等式求數(shù)列中的最值，既要滿足“一正、二定、三相等”的取等號條件，還注意變量為正整數(shù)的隱含條件。特別是根據(jù)條件得到的值為非正整數(shù)時(shí)，應(yīng)取相鄰的兩個(gè)正整數(shù)，代入求值然后決定取舍。

三、等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比

點(diǎn)評：由等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義入手，把等差數(shù)列中兩數(shù)相加類比到等比數(shù)列中兩數(shù)相乘，等差數(shù)列中兩數(shù)的差類比到等比數(shù)列中兩數(shù)相除，等差數(shù)列中的“0”類比等比數(shù)列中的“1”。

四、數(shù)列與新定義的交匯

點(diǎn)評：定義一種新數(shù)列，考查數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算及性質(zhì)，關(guān)鍵是迅速去掉“新定義”的外衣。本題需要理解s為4階公和，t為3階公積的意義，特殊化得到兩個(gè)數(shù)列的前12項(xiàng)，歸納出周期性進(jìn)而求得所求數(shù)列的S2 016。本題將新定義和數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)，以及求和等知識有機(jī)地交匯在了一起。

五、數(shù)列與抽象函數(shù)的交匯

A.f(a2 013)>f(a2 016)

B.f(a2 014)>f(a2 015)

C.f(a2 016)

D.f(a2 014)

解析：抽象函數(shù)賦特殊值，再研究其單調(diào)性。令x=-1,y=0，得f(-1)·f(0)=f(-1)。因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，f(x)>1，所以f(-1)>1，解得f(0)=1，則a1=f(0)=1。

當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，f(0)=f(-x)f(x)=1，所以0

設(shè)x1,x2∈R，且x10，所以1>f(x2-x1)>0。因此，f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)·[f(x2-x1)-1]<0，即f(x2)

六、數(shù)列與函數(shù)及不等式的交匯

(1)求證：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值。

(2)由(1)知，x1+x2=1，f(x1)+f(x2)=y1+y2=1。

兩式相加，得：

Tn=a1+a2+a3+…+an

點(diǎn)評：①注意構(gòu)造等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的“倒序相加法”。②使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)。③利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意等號成立的條件。

七、數(shù)列模型與實(shí)際應(yīng)用問題

例7 某地區(qū)發(fā)生流行性病毒感染，居住在該地區(qū)的居民必須服用一種藥片進(jìn)行預(yù)防，規(guī)定每人每天上午8：00和晚上20：00各服一片?，F(xiàn)知該藥片每片含藥量為220 mg，人的腎臟每12小時(shí)從體內(nèi)濾出這種藥的60%，該藥物在人體內(nèi)的殘留量超過380 mg，就將產(chǎn)生副作用。

(1)某人上午8：00第一次服藥，問到第二天上午8：00服完藥后，這種藥在他體內(nèi)還殘留多少。

(2)若人長期服用這種藥，這種藥會不會對人體產(chǎn)生副作用？請說明理由。

解析：依據(jù)實(shí)際意義構(gòu)建相鄰兩項(xiàng)滿足的線性關(guān)系求出通項(xiàng)，再構(gòu)建不等式解決實(shí)際問題。

(1)設(shè)某人第n次服藥后，藥在體內(nèi)的殘留量為anmg，則a1=220，第一天晚上服藥后殘留量a2=220+a1×(1-60%)=308，第二天早上服藥后殘留量a3=220+a2×(1-60%)=343.2，即到第二天上午服完藥后，這種藥在他體內(nèi)還殘留343.2 mg。

故若人長期服用這種藥，這種藥不會對人體產(chǎn)生副作用。

八、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的交匯

故an+1-an-3=0或an+1=-an，因an>0，故an+1=-an不成立，舍去。

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：

3Tn+1>log2(an+3)。

因?yàn)閗∈N*，所以(3k+3)3-(3k+5)·(3k+2)2=9k+7>1。

從而3Tk+1+1>log2(ak+1+3)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立。

綜上可知，3Tn+1>log2(an+3)對任何n∈N*成立。

九、數(shù)列最值求解中的多種推理方法

例9 設(shè)1=a1≤a2≤…≤a2 015≤a2 016，其中a1,a3,a5,…,a2 015是公比為q的等比數(shù)列，a2,a4,a6,…,a2 016是公差為1的等差數(shù)列，則q最小值為____。

解析：方法1：由題意知q>1，由1=a1≤a2≤a1q≤a2+1≤a1q2≤a2+2≤a1q3得：

1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3。

(責(zé)任編輯 徐利杰)