滕興虎，趙穎，陳桂東，寇冰煜

（解放軍理工大學 理學院，江蘇 南京 211101）

離散型隨機變量數(shù)學期望的教學設計與實踐

滕興虎，趙穎，陳桂東，寇冰煜

（解放軍理工大學 理學院，江蘇 南京 211101）

教學實踐中，根據(jù)真實案例引入離散型隨機變量數(shù)學期望，通過對離散型數(shù)學期望概念的討論，促進學生對數(shù)學期望內(nèi)涵的理解.改造傳統(tǒng)例題，利用數(shù)學軟件解決期望問題，有力的培養(yǎng)學生的建模意識、數(shù)學軟件應用能力等綜合素質(zhì)，取得了較好的教學效果.

案例式教學；離散型隨機變量；數(shù)學期望；絕對收斂

數(shù)學期望是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征，不但在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論上占有重要地位，在實際生活中也有廣泛的應用.因此，在授課時需要深入的剖析數(shù)學期望的內(nèi)涵，引導學生如何應用期望理論解決問題.在通常的授課過程或教材中，往往是由簡單的離散型隨機變量實例直接給出數(shù)學期望的定義.這樣的方式比較單調(diào)枯燥，容易造成學生對期望的理解是“形”上的，不夠深入.從多年的教學實踐發(fā)現(xiàn)，通過具體真實的案例出發(fā)，多次引導學生討論，能夠促使學生從討論中理解期望的內(nèi)涵.同時將教材中的例題進行設計改造，也有助于培養(yǎng)學生的建模意識與綜合素質(zhì).實踐表明，這一教學方式取得較好的教學效果，有效、全方面地培養(yǎng)了學生的數(shù)學素養(yǎng).

1 引入真實案例，激發(fā)學習興趣

一般的，真實的案例比構造的案例更具有吸引力.離散型隨機變量數(shù)學期望的教學，可以奧運會中的真實情況作為切入點.

馬修·埃蒙斯是一位美國射擊運動名將.埃蒙斯以成功的少年運動員身份起步，創(chuàng)下50 m運動步槍三姿射擊比賽少年世界紀錄，并在2002年和2004年國際射擊運動聯(lián)合會世界杯決賽中獲勝.在2002年ISSF冠軍賽和2004年雅典奧運會射擊比賽中他獲得50 m運動步槍俯臥冠軍.然而2004年雅典奧運會運動步槍三姿射擊比賽中，埃蒙斯的最后一槍脫靶，打了零環(huán)，將金牌拱手讓給了中國選手高占波.在為中國隊又添一枚金牌深感幸運之余，引導學生思考：這次比賽成績是否是馬修·埃蒙斯的真實成績的體現(xiàn)，什么才是射擊天才馬修·埃蒙斯的真實水平.

奧運史上這樣的事實，可以最大程度地激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)思考與討論.

2 推動深入研討，得出準確定義

2.1 分析案例，引出隨機變量取值有限時的數(shù)學期望

由式（1）可知，期望是隨機變量取值的一個加權平均，它是一個數(shù)值，不再是一個隨機變量.

2.2 深入探討，得到隨機變量取值可列無限時的數(shù)學期望

式（1）中對應的是隨機變量取值有限時的數(shù)學期望.隨機變量的取值除了有限個，還可以取可列無限多個.這時隨機變量的期望如何定義，是否只需要將式（1）中的n改為無窮即可，引發(fā)學生的再一次思考.

若將式（1）中的n改為無窮，則涉及到無窮級數(shù)，但無窮級數(shù)未必收斂.因此，要保證期望存在，至少需要加一個條件，即要求級數(shù)收斂.

此時，引發(fā)學生第3次思考，即僅有收斂性不能滿足期望的定義，應該如何改進.

由定義2可知，隨機變量取值可列無限時，取值如果非負，則無需考慮絕對收斂性，否則，需要討論式（2）的絕對收斂性.

通過問題的逐層剖析，可促進學生對離散型隨機變量數(shù)學期望概念的深入理解，進而能夠在離散化的基礎上理解連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望.

3 轉(zhuǎn)化常見問題，培養(yǎng)建模意識

對于常見的隨機變量的數(shù)學期望，教材中往往是直接由分布求期望例題［2-4］.在具體授課時，可以根據(jù)需要進行改造.

例1 某玩具店中每天賣出的某型玩具車的數(shù)量服從泊松分布，平均每天賣出2個.試問他們每天應準備幾個此款玩具車才可保證以98%的可能性不缺貨.

此處售出的玩具車個數(shù)服從泊松分布，如果設每次賣出的個數(shù)為X，泊松分布的參數(shù)為λ，則X服從泊松p(λ).要確定準備幾個才能保證以98%的可能性不缺貨，則需搞清楚分布情況.而要清楚分布情況，則需求出參數(shù)λ.問題轉(zhuǎn)化為求泊松p(λ)的期望E( X)，進而由方程E( X)=2求出參數(shù)λ.

實踐表明，如此將文獻［2-4］中關于泊松分布期望的例題進行改造轉(zhuǎn)化，可以有效地培養(yǎng)學生的建模意識，鍛煉學生分析問題和解決問題的數(shù)學能力.

4 運用數(shù)學軟件，培養(yǎng)綜合素質(zhì)

數(shù)學期望的求解有多種方法［5-7］，在某些涉及大量隨機變量取值的數(shù)學期望時，可以采用數(shù)學軟件輔助求解，以節(jié)約時間，提高效率.

例2 體檢時為普查某種疾病，n個人需驗血，現(xiàn)有如下驗血方案：將k個人一組進行分組，同組k個人的部分血樣混在一起化驗.

若結果為陰性，則說明k個人的血液都呈陰性，此k個人都無此疾病，這k個人只需化驗1次；若混合血樣為陽性，則說明k個人中至少一人的血樣呈陽性反應，應對k個人的剩余血樣逐個化驗，找出有病者，此時k個人的血需化驗k+1次.設該疾病的帶病率為0.1，且得此病相互獨立.試問：（1）分組驗血方案能否減少工作量；（2）如果能減少工作量，如何分組可以最大程度減少工作量.

在Maple2015數(shù)學軟件中運行命令：

此外，還可以在Maple2015數(shù)學軟件中運行命令：

得到E( X)關于變量k的函數(shù)圖形（見圖1）.由圖1可以看出，當0＜k＜10時，E( X)取得最小值，在k＞35時，，如此分組不但沒有減少工作量，反而增加了工作量.每組4人為最佳分組人數(shù).

圖1 E( X)關于k的函數(shù)圖形

根據(jù)期望的定義，結合數(shù)學軟件求解某些問題的期望，不但可以提高解決問題的效率，一定程度上也可以培養(yǎng)學生的綜合素質(zhì).

5 結語

在多年的教學實踐中，通過真正有趣的實例引入、抽絲剝繭的深入分析、恰當合理的例題改造及適當?shù)倪\用數(shù)學軟件，一方面可以擺脫傳統(tǒng)教材與教學中單調(diào)、枯燥的教學方式，另一方面可以引起學生的高度興趣，培養(yǎng)學生的抽象能力、建模能力和軟件能力，全方位培養(yǎng)學生的綜合素質(zhì)，達到較好的教學效果.

［1］ 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.4版.北京：高等教育出版社，2008：90-100

［2］ 茆詩松，周紀薌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.2版.北京：中國統(tǒng)計出版社，2000：48-94

［3］ 楊永發(fā).概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程［M］.天津：南開大學出版社，2000：130-137

［4］ 王松桂，程維虎，高旅端.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京：科學出版社，2000：100-110

［5］ 唐秋晶，蔣傳鳳.數(shù)學期望的幾種求法［J］.洛陽師范學院學報，2000，19（5）：13-14

［6］ 肖文華.數(shù)學期望的計算方法與技巧［J］.湖南工業(yè)大學學報，2008，22（3）：98-100

［7］ 覃光蓮.數(shù)學期望的計算方法探討［J］.高等理科教育，2006，69（5）：41-45

Teaching design and practice of discrete random variable mathematics expectation

TENG Xing-hu，ZHAO Ying，CHEN Gui-dong，KOU Bing-yu
（Institute of Science，PLA University of Science and Technology，Nanjing 211101，China）

By introducing a true example，the concept of the discrete random variable mathematical expectation is discussed，and it help the students to understand the concept.By transforming a traditional example and solving a problem using mathematics software，the comprehensive qualities of student are developed powerfully.Also，better teaching effect is achieved in the teaching practice.

case teaching；discrete random variable；mathematical expectation；absolute convergence

O211.9∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.022

1007-9831（2016）06-0071-04

2016-01-01

解放軍理工大學教學改革現(xiàn)實課題（JW1514）

滕興虎（1975-），男，江蘇邳州人，講師，碩士，從事數(shù)學教育與非線性動力學研究.E-mail：liuqian@xidian.edu.cn