林冰生，衡太驊

（1. 華南理工大學 數(shù)學學院，廣東 廣州 510641；2. 安徽大學 物理與材料科學學院，安徽 合肥 230601）

利用Mathematica計算算符的編序和對易關(guān)系

林冰生1，衡太驊2

（1. 華南理工大學 數(shù)學學院，廣東 廣州 510641；2. 安徽大學 物理與材料科學學院，安徽 合肥 230601）

借助Mathematica軟件以及形變量子化中的Moyal星乘積的數(shù)學性質(zhì)，實現(xiàn)了用計算機來計算量子力學中一些常見的算符的編序以及對易子的方法．這個方法可以用來快速計算量子力學中常用的一些算符的數(shù)學關(guān)系．

對易關(guān)系；算符編序；Mathematica；Moyal星乘積

1 引言及預備知識

在量子力學的學習和教學中，所接觸到的大部分算符的乘積是非對易的，如位置動量算符和，產(chǎn)生湮滅算符+和-等.因此，經(jīng)常需要考慮算符之間的編序，即不同算符乘積的排列順序，如Weyl編序、標準編序和反標準編序等［1］.算符的不同編序?qū)挠嬎憬Y(jié)果是不同的，有時也需要考慮算符在不同編序下的轉(zhuǎn)換.如在位置表象下，動量算符表示為偏微分算子，因此涉及到位置動量算符的數(shù)學表達式，在實際計算時一般都會把動量算符放在右邊，這實際上就是標準編序的形式.在計算產(chǎn)生湮滅算符的函數(shù)的期望值時，可以考慮將其展開為反標準編序的形式，這樣在真空態(tài)中的期望值就是唯一的常數(shù)項.

另外，也經(jīng)常需要計算各種算符之間的對易子，如計算某些可觀測量的不確定度.一般的算法是利用基本算符之間的對易關(guān)系以及對易子的運算性質(zhì)，把原來較為復雜的算符的對易子分解為一系列相對簡單的對易子來計算.對于簡單的算符，它們之間的對易子是比較容易計算的，或者有現(xiàn)成的公式可以化簡.而對于結(jié)構(gòu)稍微復雜的算符，這個計算量通常還是比較大的.

Mathematica等數(shù)學軟件的優(yōu)點正是可以代替人類做這種大量的簡單重復性運算.利用Mathematica計算常見函數(shù)的求導積分或者矩陣運算是我們比較熟悉的，而對于量子力學中常見的非對易算符的相關(guān)數(shù)學計算，在Mathematica并沒有直接的函數(shù)可以利用.本文結(jié)合Moyal星乘積的性質(zhì)，實現(xiàn)用Mathematica計算量子力學中常見的算符的編序和對易關(guān)系.

Moyal星乘積也稱為Weyl-Groenewold乘積，最初是20世紀40年代Groenewold［2］和Moyal［3］等人在研究量子力學基礎理論時得到的，近年來被廣泛應用于形變量子化和非對易空間等領域的研究［4-6］.如考慮最簡單的二維相空間，記坐標為x，動量為p，則函數(shù)f和g之間的Moyal星乘積（以下簡稱為星乘積）可以定義為［7］

2 利用Mathematica計算算符的編序和對易關(guān)系

本文利用Mathematica數(shù)學軟件進行一些函數(shù)的星乘積計算，從而得到相應的算符的編序和對易子.采用關(guān)于偏導算子的指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式，當然實際計算中很多時候只需要保留有限項就可以計算出精確的結(jié)果.雖然理論上Weyl編序是最為對稱的表達形式，但是實際計算時，總是把算符和各自集中寫在一起，把算符+和-各自合并一下，最終結(jié)果一般不會寫成完全對稱的形式.當然不同的表達形式在考慮正則對易關(guān)系之后，其取值是相同的.所以將把最終的結(jié)果用標準編序或者反標準編序的形式寫出來.

在定義星乘積的求和式中，根據(jù)具體的函數(shù)次數(shù)，可以調(diào)整求導的次數(shù)，這里上限都是取20次，當然實際計算用不了這么多.在最后的輸出形式中，因為Mathematica里面的輸出結(jié)果是按照字母排序的，并不對應具體的算符順序，所以在寫成算符表達式時需要手動調(diào)整一下.如Out［3］給出的是標準編序的結(jié)果，所以在算符表達式中默認在左邊在右邊；Out［4］給出的是反標準編序的結(jié)果，所以在算符表達式中默認在左邊在右邊.可以看到，Mathematica給出的結(jié)果和手算的結(jié)果（5）是完全一致的.當然對于更復雜的更高次冪的算符，用Mathematica計算要方便很多，其計算速度和準確度也不是手算可以比擬的.

顯然上述計算結(jié)果通過手算是不容易得到的.利用類似的表達式，也可以計算關(guān)于算符和的函數(shù)的對易子.星乘積在高維相空間中也有類似的表達式，所以計算方法可以很容易地推廣到高維的情形.

3 結(jié)論

本文利用Mathematica數(shù)學軟件和形變量子化中Moyal星乘積的數(shù)學性質(zhì)，實現(xiàn)了用計算機計算簡單的算符編序以及算符之間的對易子.從本文的例子可以看到，利用Mathematica實現(xiàn)這些計算相比手工計算在速度和準確度上都有極大的提高.本文方法可以幫助學生和研究人員在學習和研究量子力學相關(guān)問題時利用計算機輔助來提高計算效率，并且對于Moyal星乘積和形變量子化的學習也有利于學生更深入地理解經(jīng)典力學和量子力學的過渡以及量子力學的本質(zhì).

本文方法基本上只是對于算符的對易子為常數(shù)的情況適用，對于對易子仍然為算符的情況就不適用了.另外，因為采取的是偏導算子的指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式，只保留其前面的有限項，因此對于復雜的函數(shù)只能得到有限項展開的近似結(jié)果，如算符的指數(shù)函數(shù).當然對于指數(shù)函數(shù)形式的對易關(guān)系，很多時候是可以使用現(xiàn)成的數(shù)學公式來化簡的［8］.事實上，這里也可以考慮使用星乘積的積分表達式，但是積分形式在Mathematica等數(shù)學軟件里面表現(xiàn)不太理想，主要是積分的收斂性容易判斷錯誤，這些問題有待進一步的研究解決.

目前已經(jīng)有專門計算非交換代數(shù)相關(guān)數(shù)學公式的Mathematica軟件包，如NCAlgebra［9］.但開發(fā)這個軟件包更多的是為純數(shù)學上的非交換代數(shù)相關(guān)計算推導服務的，并且這個軟件包里面定義的函數(shù)比較多，物理專業(yè)的學生要熟練掌握是不容易的.而對于本文討論的這類常見于量子力學中的計算，顯然本文的計算方法更簡單實用，尤其對于計算與算符編序相關(guān)的問題，使用Moyal星乘積的優(yōu)勢更為明顯.

［1］ 范洪義，樓森岳，張鵬飛.量子力學坐標-動量算符冪次排序互換的簡捷公式與新推導方法［J］.物理學報，2015，64：160302

［2］ Groenewold H J.On the principles of elementary quantum mechanics［J］.Physica，1946，12：405-460

［3］ Moyal J E，Bartlett M S.Quantum mechanics as a statistical theory［J］.Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society，1949，45：99-124

［4］ Zachos C.Deformation quantization：quantum mechanics lives and works in phase-space［J］.Int J Mod Phys A，2002，17：297-316

［5］ Seiberg N，Witten E.String theory and noncommutative geometry［J］.J High Energy Phys，1999（9）：32

［6］ Kupriyanov V G.Dirac equation on coordinate dependent noncommutative space-time［J］.Phys Lett B，2014（732）：385-390

［7］ Hirshfeld A C，Henselder P.Deformation quantization in the teaching of quantum mechanics ［J］.Am J Phys，2002（70）： 537-547

［8］ 喀興林.不對易算符的代數(shù)運算［J］.大學物理，1992，11（1）：6-10

［9］ Helton B，Miller R L，Stankus M，et al.NCAlgebra ［EB/OL］.（2015-10-10）［2016-03-22］.http：//www.math.ucsd.edu/～ncalg/

Using Mathematica to calculate the orderings and commutation relations of operators

LIN Bing-sheng1，HENG Tai-hua2
（1. School of Mathematics，South China University of Technology，Guangzhou 510641，China；2. School of Physics and Material Science，Anhui University，Hefei 230601，China）

By virtue of Mathematica software and the mathematical properties of Moyal star product in deformation quantization， a method of using the computers to calculate the orderings and commutators of some common operators in quantum mechanics is implemented.This method can be used to quickly calculate the mathematical relations of some common operators in quantum mechanics.

commutation relation；operator ordering；Mathemtica；Moyal star product

O411.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.005

1007-9831（2016）06-0017-04

2016-03-10

國家自然科學基金資助項目（11405060，11571119）

林冰生（1982-），男，廣東揭陽人，講師，博士，從事數(shù)學物理研究.E-mail：sclbs@scut.edu.cn