李國梁,張合新,周鑫,扈曉翔,惠俊軍

(1.第二炮兵工程大學控制工程系,710025,西安;2.寶雞市150信箱11分箱,721013,陜西寶雞)

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狀態(tài)反饋事件觸發(fā)控制系統(tǒng)的分析與設計

李國梁1,張合新1,周鑫1,扈曉翔1,惠俊軍2

(1.第二炮兵工程大學控制工程系,710025,西安;2.寶雞市150信箱11分箱,721013,陜西寶雞)

針對線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋事件觸發(fā)控制在工程應用中僅使用單一動態(tài)門限或靜態(tài)門限存在Zeno現(xiàn)象的缺點,提出了動靜門限相結(jié)合的事件觸發(fā)機制。將閉環(huán)控制系統(tǒng)建模為脈沖系統(tǒng)模型,應用脈沖系統(tǒng)理論,導出了確?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定的觸發(fā)機制參數(shù)確定定理,得到了便于實現(xiàn)觸發(fā)機制門限參數(shù)設計的線性矩陣不等式條件。針對確保系統(tǒng)穩(wěn)定的觸發(fā)機制門限參數(shù)可在一個區(qū)間內(nèi)選擇的特點和靜態(tài)門限分量大小影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)區(qū)域大小的特點,進一步提出了變門限觸發(fā)機制,可使系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下自動將靜態(tài)門限分量減小,顯著減小穩(wěn)定區(qū)域,提升事件觸發(fā)控制的穩(wěn)態(tài)性能,從而可實現(xiàn)精確控制。定量仿真表明,變門限觸發(fā)機制可以在通信資源消耗量幾乎相同的情況下將穩(wěn)態(tài)范圍縮小到固定門限方法的12.3%。

數(shù)字控制系統(tǒng);狀態(tài)反饋;事件觸發(fā)控制;觸發(fā)機制;變門限

隨著網(wǎng)絡通信技術(shù)的飛速發(fā)展,基于共享通信網(wǎng)絡構(gòu)成的數(shù)字控制系統(tǒng)在工程中的應用越來越普及,如飛行器、艦船和列車[1]等的控制系統(tǒng)。在通常情況下,這類系統(tǒng)中的控制任務是周期性執(zhí)行的,這便于在系統(tǒng)的分析和設計過程中采用相對成熟的采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)理論[2]。從通信和計算資源的利用角度來看,周期抽樣存在著浪費資源的弊端,而在網(wǎng)絡控制系統(tǒng)中,網(wǎng)絡通信資源又十分珍貴,尤其在無線網(wǎng)絡控制或系統(tǒng)較為龐大時,這一弊端顯得更為突出。為了克服這一弊端,研究人員提出了事件觸發(fā)控制(event-triggered control, ETC)方法[3]。在事件觸發(fā)控制中,控制任務的執(zhí)行由精心設計的事件觸發(fā)機制決定,當觸發(fā)機制發(fā)出事件后才執(zhí)行控制任務。作為一類新的控制方法,應用中面臨的困難主要集中在觸發(fā)機制設計和系統(tǒng)分析2個方面?；跔顟B(tài)反饋的事件觸發(fā)控制由于其易于分析的特點,首先受到了研究人員的青睞[4-9]。文獻[4]采用的實質(zhì)上是一種基于狀態(tài)本身的固定門限觸發(fā)機制,這類方法的缺點是當系統(tǒng)狀態(tài)處于不穩(wěn)定區(qū)間外時,易產(chǎn)生Zeno現(xiàn)象;文獻[5-6]采用的是基于被控對象狀態(tài)當前采樣值和先前采樣值之間絕對偏差的靜態(tài)門限觸發(fā)機制,對于這一類觸發(fā)機制,當門限設計較大時,控制中的事件數(shù)目可以明顯減少,但系統(tǒng)只能夠穩(wěn)定在一個比較大的范圍內(nèi),而當門限設計較小時,事件數(shù)目增多,特別是系統(tǒng)動態(tài)變化比較劇烈時,也易產(chǎn)生Zeno現(xiàn)象;文獻[7-8]采用的是一種動態(tài)門限觸發(fā)機制,控制中動態(tài)跟隨能力比較強,但是當系統(tǒng)狀態(tài)接近原點時,門限可能變得非常小,易產(chǎn)生Zeno現(xiàn)象。對于事件觸發(fā)控制系統(tǒng)的分析,常用的方法有受擾系統(tǒng)方法、脈沖系統(tǒng)方法和PWL方法3種。從所得結(jié)論的保守性角度來講,受擾系統(tǒng)方法相對保守,另外2種方法的保守性較低。但是,以往這些研究成果均是針對單一靜態(tài)門限或動態(tài)門限觸發(fā)機制得出的,并沒有考慮如何克服狀態(tài)反饋事件觸發(fā)的Zeno現(xiàn)象問題。脈沖系統(tǒng)方法用于建模和分析事件觸發(fā)控制問題時,能夠直觀刻畫事件觸發(fā)瞬間信號突變的脈沖特性,此外,脈沖系統(tǒng)方法還具有研究成果相對完善[9-10]的優(yōu)勢。

鑒于以上分析,本文針對線性時不變(LTI)被控對象,受文獻[11]的啟發(fā),采用了一種結(jié)合動態(tài)門限和靜態(tài)門限的事件觸發(fā)機制來克服控制可能產(chǎn)生Zeno現(xiàn)象的問題,然后利用脈沖系統(tǒng)理論研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和觸發(fā)機制門限參數(shù)的選取問題,在此基礎上提出了能夠自適應調(diào)整靜態(tài)門限參數(shù)的變門限觸發(fā)機制來提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)控制性能。

1 問題描述

1.1 事件觸發(fā)控制系統(tǒng)描述

考慮如下線性時不變(LTI)被控對象

(1)

式中:A和B分別是系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣;x∈Rn為被控對象的狀態(tài)向量;u∈Rn為控制輸入向量。如果采用如下連續(xù)狀態(tài)反饋控制器

u=Kx

(2)

則閉環(huán)系統(tǒng)會漸近穩(wěn)定,也就是A+BK為Hurwitz矩陣,其中K為狀態(tài)反饋矩陣。

采用事件觸發(fā)控制方法,輸入控制器的狀態(tài)只有事件發(fā)生時刻的采樣值,這樣系統(tǒng)的實際控制輸入為

(3)

(4)

有緊密關(guān)系。

靜態(tài)門限觸發(fā)機制[5]是

(5)

動態(tài)門限觸發(fā)機制[7]是

(6)

通過前面的分析可知,式(5)、式(6)2種觸發(fā)機制在實際應用中均存在缺點。本文采用的動靜相結(jié)合的觸發(fā)機制形式為

(7)

式中:σ和ε是觸發(fā)機制的動態(tài)門限參數(shù)和靜態(tài)門限參數(shù),均為正實數(shù)。本文把σ‖x(t)‖稱為動態(tài)門限分量,ε也可稱為靜態(tài)門限分量?？梢钥闯?式(7)的觸發(fā)機制實際上是式(5)、式(6)2種形式的結(jié)合,當σ取0時式(7)就退化為式(5)的形式,而當ε取0時式(7)就退化為式(6)的形式。直觀地看,式(7)的觸發(fā)機制在系統(tǒng)狀態(tài)變化比較劇烈時有動態(tài)分量可以避免Zeno現(xiàn)象,而在系統(tǒng)狀態(tài)接近平衡點時有靜態(tài)分量可以克服Zeno現(xiàn)象。

1.2 相關(guān)知識

脈沖系統(tǒng)數(shù)學模型[9]如下

(8)

式中:x∈RX?Rn為脈沖系統(tǒng)狀態(tài)向量;RF∈Rn為流集;RD?Rn為脈沖跳躍集;系統(tǒng)的整個狀態(tài)集RX=RF∪RD。

本文的目的是解決如下2個問題。

問題1:針對式(1)、式(3)和式(7)所描述的事件觸發(fā)控制系統(tǒng),如何建模為式(6)的脈沖系統(tǒng)形式,如何選取保證系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)σ和ε?

問題2:ε的取值對系統(tǒng)的最終穩(wěn)定區(qū)域有明顯影響,如何改進?

2 系統(tǒng)建模

依據(jù)式(3)可知:當‖e(t)‖2≤σ‖x(t)‖2+ε成立時,系統(tǒng)工作在連續(xù)時間狀態(tài),對應的狀態(tài)屬于流集;當‖e(t)‖2=σ‖x(t)‖2+ε時事件發(fā)生,即此時狀態(tài)要發(fā)生跳變,對應的狀態(tài)屬于跳變集。因此,可以定義如下的流集和跳變集

(9)

當系統(tǒng)觸發(fā)條件不滿足,即系統(tǒng)狀態(tài)屬于流集RF時,系統(tǒng)狀態(tài)的演化規(guī)律如下

(10)

(tk,tk+1]

(11)

而在事件觸發(fā)時刻要發(fā)生狀態(tài)更新,系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生跳變,此時狀態(tài)演化規(guī)則為

(12)

(13)

合并以上4式,形成如下事件觸發(fā)脈沖系統(tǒng)模型

(14)

3 系統(tǒng)穩(wěn)定結(jié)論

定理1 事件觸發(fā)脈沖系統(tǒng)式(14)對所有的初始條件x0∈RF∪RD全局漸近穩(wěn)定的條件是:存在連續(xù)可微函數(shù)V(x):R2n→R,且滿足V(0)=0,存在正值函數(shù)s1(x)和s2(x),存在函數(shù)s3(x),對所有的x∈R2n{0}滿足

(15)

(16)

(17)

定理2 事件觸發(fā)脈沖系統(tǒng)式(14)對所有的初始條件x0∈RF∪RD全局漸近穩(wěn)定的條件是:存在正定矩陣P、標量v1≥0、v2≥0和v3,滿足

(18)

(19)

(20)

證明 定義V(x)=xTPx,s1(x)=v1≥0,s2(x)=v2≥0,s3(x)=v3,則可由定理1中式(15)～式(17)的形式得到定理2中式(18)～式(20)的形式。證畢。

注:通過不斷調(diào)整σ和ε的取值,考察定理2中線性矩陣不等式的可行解問題,即可得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的事件觸發(fā)機制門限參數(shù)。

（1）地方建設主管行政部門，作為對工程建設招投標活動的行政管理部門，本應嚴格執(zhí)法，按規(guī)定程序辦事。但由于種種原因，有些地方大搞地方和部門保護主義，設置各種障礙。有些部門仍然習慣于行政審批，對項目招投標活動的監(jiān)管、指導和服務明顯不夠，害了建設單位的招標自主權(quán)。有些部門和地方行政領導通過打招呼、遞條子等方式，嚴重干擾了正常的招投標活動。

推論1 如果存在正定矩陣P=P0,且標量v1≥0、v2≥0、v3、σ=σ0>0和ε=ε0>0滿足式(18)～式(20),則在0<ε≤ε0、0<σ≤σ0的情況下,事件觸發(fā)控制系統(tǒng)式(14)對所有的初始條件x0∈RF∪RD全局漸近穩(wěn)定。

證明 因為0<σ≤σ0,則有

又因0<ε≤ε0,則有

FTP+PF-v2(Γ-εI)≤FTP+PF-

此外,又因ε>0,則必然存在標量v4滿足v4(Γ-εI)≤v3(Γ0-ε0I),因此有

GTPG-P+v4(Γ-εI)≤GTPG-P+

依據(jù)定理2可得系統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論。證畢。

4 改進的觸發(fā)機制

依據(jù)推論1,當選定能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定的觸發(fā)機制參數(shù)σ=σ0>0和ε=ε0>0后,ε在(0,ε0]范圍內(nèi)任意取值時均能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定。由前文分析可知,ε的取值直接影響最終穩(wěn)定區(qū)域的大小。在實際控制中期望系統(tǒng)的最終穩(wěn)定區(qū)域越小越好,因為這意味著控制越精準,因此要求ε的取值越小越好,但這可能會導致事件的頻繁觸發(fā)和Zeno現(xiàn)象的發(fā)生。為了科學合理地實現(xiàn)精準控制而又同時避免事件的頻繁觸發(fā),提出如下變門限觸發(fā)機制。

除t0=0時刻外,其他事件觸發(fā)時刻的觸發(fā)條件描述如下:

當觸發(fā)條件式(7)滿足并且觸發(fā)時間間隔Tact滿足Tmin≤Tact

(21)

門限變化的規(guī)則是:如果有連續(xù)N次Tact=Tminand ‖e(t)‖≥σ‖x(t)‖+ε,則靜態(tài)門限ε增大,但ε最大取值為ε0,具體方法可以采用增量遞增方法(ε=ε+hε)或者倍增方法(ε=2ε);如果有連續(xù)N次Tact=Tmaxandε>0,則靜態(tài)門限減小,但ε的最小取值要大于0,具體可以采用增量遞減方法(ε=ε-hε)或者倍減方法(ε=ε/2)。其中:hε為門限變化增量;Tmin為系統(tǒng)所允許的最小觸發(fā)時間間隔,取值受到控制系統(tǒng)通信網(wǎng)絡傳輸能力(如網(wǎng)絡幀頻率)的限制;Tmax是設置的最大觸發(fā)時間間隔,目的一是輔助實現(xiàn)靜態(tài)門限的自適應減小,二是避免長時間無事件發(fā)生,致使通信網(wǎng)絡過分閑置,從而產(chǎn)生通信疲勞、失去同步等現(xiàn)象。

依據(jù)推論1,顯然觸發(fā)機制式(21)能夠確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5 示例仿真

考慮形如式(1)和式(2)的線性系統(tǒng),其中的相關(guān)矩陣取值如下

仿真1 仿真目的是驗證定理2的正確性以及觸發(fā)條件式(7)的有效性。

仿真結(jié)果:依據(jù)定理2可得表1所示的5組能夠保證采用觸發(fā)條件式(7)使得系統(tǒng)穩(wěn)定的觸發(fā)條件參數(shù)。從表中可以看出,在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)選擇結(jié)果中,參數(shù)σ和ε之間存在某種權(quán)衡關(guān)系,即在σ取值較大時ε取值相應較小,這樣才能確保系統(tǒng)穩(wěn)定,反之亦然。

表1 確保系統(tǒng)穩(wěn)定的觸發(fā)條件參數(shù)σ和ε的取值

將σ=0.110 1和ε=0.005代入觸發(fā)機制式(7),令初始狀態(tài)x0=[3-3],所得的狀態(tài)演化曲線如圖1所示。顯然,圖中的狀態(tài)曲線是收斂的,也就是說系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,這證實了定理2的正確性。

圖1 事件觸發(fā)控制狀態(tài)演化曲線

仿真2 仿真目的是分析變門限觸發(fā)機制的有效性。仿真中初始狀態(tài)設為x0=[3 -3],相關(guān)仿真參數(shù)為:σ=0.110 1,ε0=0.005,Tmin=0.1,Tmax=1。

仿真所得變門限事件觸發(fā)控制狀態(tài)演化曲線如圖2所示,觸發(fā)機制的靜態(tài)門限參數(shù)ε的變化如圖3所示?？梢钥闯?隨著系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài),靜態(tài)門限參數(shù)在逐漸變小。對比圖2和圖1可以看出,變門限觸發(fā)控制的穩(wěn)態(tài)波動明顯小于固定門限方法的波動。

從表2中可以看出,固定門限方法對于各組觸發(fā)機制門限參數(shù)所得的平均采樣間隔hmean和最小采樣間隔hmin基本相差無幾,也就是說參數(shù)σ和ε之間的權(quán)衡關(guān)系能夠反映在控制系統(tǒng)采樣間隔方面,但是每種觸發(fā)機制所得的穩(wěn)態(tài)性能指標J卻明顯不同,顯然J和觸發(fā)機制的靜態(tài)分量ε存在正向?qū)P(guān)系,這也驗證了前文的分析結(jié)論。

變門限方法對于各組觸發(fā)機制門限參數(shù)所得的平均采樣間隔hmean與固定門限方法相比改善并不明顯,但對穩(wěn)態(tài)性能指標J的改善非常顯著,特別是在靜態(tài)門限參數(shù)取值比較大的時候。這說明,變門限方法可以在通信資源消耗量基本相同的情況下獲得更好的穩(wěn)態(tài)性能。本算例中變門限方法在最佳情況下可以將穩(wěn)態(tài)范圍縮小到固定門限方法的12.3%。

圖2 變門限事件觸發(fā)控制狀態(tài)演化曲線

圖3 事件觸發(fā)門限參數(shù)ε的變化曲線

σε·ε-10固定門限方法hmeanhminJ變門限方法hmeanJdJ/%0.11560.00010.37970.07570.07810.39470.070089.60.11460.00100.56600.07600.25980.44780.056921.90.11010.00500.51720.07750.57760.46150.079113.70.10450.01000.50850.07900.76570.47620.127316.60.05990.05000.50000.08791.56970.49180.193112.3

6 總 結(jié)

線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋事件觸發(fā)控制中僅采用單一靜態(tài)門限或動態(tài)門限容易產(chǎn)生Zeno現(xiàn)象,而采用動靜混合門限觸發(fā)機制能夠有效克服這一現(xiàn)象。將系統(tǒng)建模為一個脈沖系統(tǒng)模型,利用脈沖系統(tǒng)理論可以實現(xiàn)系統(tǒng)分析和觸發(fā)機制的設計。進一步分析發(fā)現(xiàn),確保系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)可在一個區(qū)間內(nèi)選擇,靜態(tài)門限分量對控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)區(qū)域的大小影響非常顯著,采用本文提出的變門限的觸發(fā)機制,可使系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下自動將靜態(tài)門限分量減小,從而使系統(tǒng)穩(wěn)定在更小的穩(wěn)態(tài)區(qū)域,實現(xiàn)更為精確的控制。本文方法對設計通信資源緊缺情況下的精確數(shù)字控制系統(tǒng)具有一定的參考價值。下一步的研究工作將主要集中于具體應用,如在飛行器控制中的應用。

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(編輯 葛趙青)

Stability Analysis and Design of a State-Feedback Event-Triggered Control System

LI Guoliang1,ZHANG Hexin1,ZHOU Xin1,HU Xiaoxiang1,HUI Junjun2

(1. Department of Control Engineering, Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China; 2. Mail Box 150 Extension 11, Baoji, Shaanxi 721013, China)

In practical engineering systems, event-triggered control only using dynamic or static threshold may cause Zeno behavior. In order to avoid the Zeno behavior, an event-triggering mechanism composed of static and dynamic threshold is proposed. The event-triggered control system is modelled in the form of impulsive system. Impulsive system theory is employed to deduce the stability theorem, which can be used to determine the parameters of event-triggering mechanism, and also a useful linear matrix inequality (LMI) form is given. Based on the characteristics of the event-triggering mechanism and relationship between the static threshold and steady state performance, a variable threshold event-triggering mechanism is proposed. When the system works in a steady state, this mechanism can decrease the static threshold automatically to reduce the steady state region and improve the steady state performance, which means the mechanism can be used in high-accuracy control. Quantitative simulation results show that, compared with the fixed threshold event-triggering mechanism, this variable threshold event-triggering mechanism can reduce the steady state region to 12.3 percent with the same consumption of communication resources.

digital control system; state-feedback; event-triggered control; event-triggering mechanism; variable threshold

10.7652/xjtuxb201605022

2015-10-12。 作者簡介:李國梁(1981—),男,博士生;張合新(通信作者),男,教授。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(61304001,61304239)。

TP273

A

0253-987X(2016)05-0146-05