李自強(qiáng)，紀(jì)志堅(jiān)，晁永翠，董潔

(青島大學(xué) 自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266071)

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多信號(hào)輸入下多智能體系統(tǒng)的圖可控性分類

李自強(qiáng)，紀(jì)志堅(jiān)，晁永翠，董潔

(青島大學(xué) 自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266071)

在多信號(hào)輸入情形下，對(duì)多智能體系統(tǒng)的圖可控性分類進(jìn)行了分析，構(gòu)建了新的基于多信號(hào)輸入下的系統(tǒng)模型。進(jìn)而利用秩判據(jù)和PBH判據(jù)，在新的模型下得到系統(tǒng)與可控性的關(guān)系，新的模型更方便地表現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的一般性。此外，在拉普拉斯矩陣下，對(duì)多智能體系統(tǒng)與可控性的關(guān)系做了詳細(xì)的分析與研究，特別是在拉普拉斯矩陣的特征值與系統(tǒng)能控性的關(guān)系方面進(jìn)行了分析。解決了多信號(hào)輸入下可控性分類的問(wèn)題，并提高了研究可控性的準(zhǔn)確性。而且，在已有結(jié)論的基礎(chǔ)上對(duì)多智能體系統(tǒng)可控性的內(nèi)容進(jìn)行了完善。

多信號(hào)輸入系統(tǒng)；圖可控性分類；秩判據(jù)和PBH判據(jù)；拉普拉斯矩陣；可控性

近幾年來(lái)學(xué)術(shù)界對(duì)多智能體系統(tǒng)已經(jīng)有了廣泛的研究和關(guān)注[1-14]，并且已經(jīng)應(yīng)用在多個(gè)領(lǐng)域中，如無(wú)人機(jī)的編隊(duì)控制、機(jī)器人的編隊(duì)控制，甚至在軍事上也有廣泛的應(yīng)用[15-17]。多智能體系統(tǒng)的核心問(wèn)題是關(guān)于可控性的問(wèn)題，可控性能夠使每個(gè)智能體的狀態(tài)達(dá)到人們所期望的結(jié)果，并且使多智能體系統(tǒng)發(fā)揮最大的作用。所以，多智能體系統(tǒng)的可控性研究具有重要的意義。

在多智能體系統(tǒng)中，對(duì)具有領(lǐng)導(dǎo)者—跟隨者結(jié)構(gòu)的圖可控性研究大都是基于單信號(hào)輸入下或者是更為簡(jiǎn)單的模型下[13,18]，在多智能體中，模型的建立對(duì)系統(tǒng)的可控性有著重要的影響。在所建立的模型下，充分認(rèn)識(shí)系統(tǒng)與可控性的關(guān)系，并理解系統(tǒng)對(duì)可控性的影響，這些無(wú)疑對(duì)解決多智能體系統(tǒng)的可控性問(wèn)題提供了很好的方法和幫助。所以研究特定模型下系統(tǒng)的可控性成為一個(gè)熱點(diǎn)。

Tanner是最早通過(guò)系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系來(lái)研究可控性的[19]。他通過(guò)鄰居信息，提出了其中一個(gè)節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)系統(tǒng)可控的充分必要條件，并得到了無(wú)向圖下的能控性定理。這對(duì)后續(xù)有關(guān)可控性的研究給予了很大的幫助。早在Aguilar的文章中[18]，Aguilar就整個(gè)圖的可控性進(jìn)行分類，根據(jù)圖選取不同的領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)圖是否可控，來(lái)定義了3種圖可控性，并就3種分類進(jìn)行了詳細(xì)的分析，但是Aguilar的文章內(nèi)容是在單信號(hào)輸入的特殊模型下進(jìn)行研究的，即每個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)受到同一個(gè)信號(hào)的輸入，而本文是在更一般的多信號(hào)輸入模型下進(jìn)行研究，每個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)可能受到不同的多個(gè)信號(hào)的輸入，這種多信號(hào)輸入的模型更能準(zhǔn)確地表現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的一般性，而且本文糾正了Aguilar文章[18]中關(guān)于齊次向量的條件可控圖問(wèn)題。

一些研究者[19-22]近幾年對(duì)基于拉普拉斯矩陣下的可控性作了很多的研究，本文也是在拉普拉斯矩陣下，結(jié)合矩陣論的知識(shí)[23-25]，對(duì)系統(tǒng)的可控性與拉普拉斯矩陣的關(guān)系進(jìn)行了研究，特別是在拉普拉斯矩陣的特征值和特征向量等對(duì)系統(tǒng)可控性的影響方面進(jìn)行了深入的研究，另外，本文主要在多輸入信號(hào)情況下，對(duì)多智能體系統(tǒng)中的圖可控性進(jìn)行分類，具體分為多信號(hào)輸入下本質(zhì)可控圖，多信號(hào)輸入下完全不可控圖以及多信號(hào)輸入下條件可控圖，并就這3種分類的特殊性進(jìn)行了描述，而且對(duì)它們的性質(zhì)進(jìn)行了相應(yīng)的闡述。

1 預(yù)備知識(shí)

在圖G中，對(duì)于點(diǎn)集合的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j，定義節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的距離為dG(i,j)，表示為節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間最短的通道。當(dāng)圖中任意一對(duì)節(jié)點(diǎn)之間存在一條通道時(shí)，我們說(shuō)圖G是連通的。拉普拉斯矩陣是半正定且實(shí)對(duì)稱的，因此L的特征值可以給定順序?yàn)棣?≤λ2≤…≤λn，其中特征值λ1=0對(duì)應(yīng)的特征向量為[1 1 … 1]T。如果圖G是連通的，則λ1=0是L的非重特征根，此時(shí)有λ2>0，本文中圖G的特征值或特征向量即為圖拉普拉斯矩陣L的特征值或特征向量。

本文主要分析G=(V,E)上的可控性問(wèn)題，其中xi(t)∈R代表了節(jié)點(diǎn)i∈V在時(shí)刻t時(shí)的狀態(tài)，節(jié)點(diǎn)間的相互關(guān)系由邊集E來(lái)表示。在時(shí)刻t時(shí)，一個(gè)外部控制向量通過(guò)一狀態(tài)向量bm∈Rq施加在節(jié)點(diǎn)i上。單個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)方程可以表示為

另外，在時(shí)刻t，輸出方程y(t)∈Rp由輸出矩陣C∈Rn×p表示。所以對(duì)于連通圖G=(V,E)，整個(gè)系統(tǒng)方程表示為

式中B=[b1b2…bn]T∈Rn×q。

定義1 如果所有領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)都受到同一個(gè)信號(hào)的輸入，那稱這樣的系統(tǒng)為單信號(hào)輸入系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)受到多個(gè)信號(hào)輸入時(shí)，稱這樣的系統(tǒng)為多信號(hào)輸入系統(tǒng)。

另一種情況是在n個(gè)點(diǎn)的圖中，定義輸入節(jié)點(diǎn)集合S，每個(gè)點(diǎn)可能收到多個(gè)信號(hào)的輸入，相應(yīng)的輸入矩陣為

2 主要結(jié)論

首先討論單信號(hào)輸入下系統(tǒng)可控性與多信號(hào)輸入下系統(tǒng)可控性的區(qū)別和聯(lián)系。

多信號(hào)輸入下系統(tǒng)可控性與單信號(hào)輸入下系統(tǒng)可控性是有很大區(qū)別的，在選取的領(lǐng)導(dǎo)者下，有些圖在單信號(hào)輸入系統(tǒng)下是不可控的，但在多信號(hào)輸入系統(tǒng)下卻不一定不可控。

圖1 具有4個(gè)節(jié)點(diǎn)的圖

當(dāng)任意選取領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)時(shí)，有些圖在單信號(hào)輸入系統(tǒng)下是完全不可控的，但在多信號(hào)輸入系統(tǒng)下并非完全不可控的。

圖2 具有6個(gè)節(jié)點(diǎn)的圖

通過(guò)上文，可以看出多信號(hào)輸入下可控性與單信號(hào)輸入下可控性有很大的區(qū)別，那么就有必要討論基于拉普拉斯矩陣下的多信號(hào)輸入系統(tǒng)與系統(tǒng)可控性的關(guān)系，本文通過(guò)下面的定理給出。

定理 1假定可對(duì)角化矩陣L無(wú)重特征值，矩陣U是由L的線性無(wú)關(guān)的單位特征向量構(gòu)成的矩陣，那么〈L;B〉的維數(shù)等于W=U-1B中非零列向量的個(gè)數(shù)。特別地，系統(tǒng)(L,B)是可控的充要條件是W矩陣中無(wú)零列向量。當(dāng)L有重特征值，且wi≠0q時(shí)，系統(tǒng)(L,B)是不可控的，當(dāng)且僅當(dāng)重特征值λi所對(duì)應(yīng)的向量組wi中，存在線性相關(guān)的向量，其中i=1,2，…,n。

由于U是非奇異矩陣，所以它不影響式(3)右邊矩陣的秩，右邊的矩陣展開(kāi)后即為

對(duì)上式進(jìn)行列變換得

(4)

當(dāng)特征值不同時(shí)，式(4)后面的矩陣是滿秩的，只需考慮式(4)前面1×q矩陣，其中每個(gè)元素為n×n的對(duì)角矩陣，則此矩陣實(shí)際上是具有n行，n×q列的矩陣:

當(dāng)L有重特征值情況時(shí)，根據(jù)無(wú)重特征值的情況，證明如下：

通過(guò)下面情況的論述都能夠驗(yàn)證定理1中無(wú)重特征值時(shí)的情況。對(duì)于具有個(gè)n個(gè)節(jié)點(diǎn)的圖，節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)4為領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)W=U-1B=

在L無(wú)重特征值下，僅當(dāng)存在wi2=wi4=0時(shí)，〈L;B〉的維數(shù)小于n，〈L;B〉的維數(shù)等于wi中非零向量的個(gè)數(shù)。而且當(dāng)且僅當(dāng)wi≠0時(shí)，dim(〈L;B〉)=n，即此時(shí)系統(tǒng)可控。

由于U是非奇異矩陣，所以它不影響式(5)右邊矩陣的秩，對(duì)式(5)右邊矩陣進(jìn)行列變換得

在λ1≠λ2下，上式后面的矩陣是滿秩的，根據(jù)前面的矩陣，只有當(dāng)w11=w12=0或w21=w22=0時(shí)，〈L;B〉的維數(shù)小于2，而且當(dāng)且僅當(dāng)wi≠0時(shí)，dim(〈L;B〉)=2，即此時(shí)系統(tǒng)可控。

令En為n×q維的矩陣，并且矩陣中的每個(gè)元素為1;0n為n×q維的矩陣，并且矩陣中的每個(gè)元素為0;1n為n維列向量，且每個(gè)元素都為1;0q為q維列向量，且每個(gè)元素都為0。下面推論由定理1的證明可得。

注釋單信號(hào)輸入系統(tǒng)下，對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣如果存在重特征值，則系統(tǒng)不可控；但是在多信號(hào)輸入系統(tǒng)下，并不能單純依靠存在重特征值來(lái)判斷系統(tǒng)的不可控性。

證明同理定理1證明為

即

通過(guò)上文的闡述，可以給出多信號(hào)輸入下圖可控性分類的定義。

定義2在連通圖G中，對(duì)于系統(tǒng)(1)

1)如果除去圖中每個(gè)點(diǎn)都是輸入節(jié)點(diǎn)以及每個(gè)點(diǎn)都不是輸入節(jié)點(diǎn)的2種情況后，任意選取圖中的點(diǎn)為輸入節(jié)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)(L,B)是可控的，則圖關(guān)于B是多信號(hào)輸入下本質(zhì)可控圖；

2)如果在圖中選取任意點(diǎn)為輸入節(jié)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)(L,B)都是不可控的，則圖關(guān)于B是多信號(hào)輸入下完全不可控圖；

3)如果圖關(guān)于B即不是多信號(hào)輸入下本質(zhì)可控圖也不是多信號(hào)輸入下完全不可控圖，則圖關(guān)于B是多信號(hào)輸入下條件可控圖。

下面是分情況討論3種情況下的圖性質(zhì)。

2.1 多信號(hào)輸入下本質(zhì)可控圖

在本節(jié)中，主要給出2個(gè)多輸入下本質(zhì)可控圖的必要條件，通過(guò)下面的命題論證。

命題1多輸入下本質(zhì)可控圖是不對(duì)稱的。

證明設(shè)G是多輸入下本質(zhì)可控圖，則L必須有不同的特征值。在這用反證法，假設(shè)多輸入下本質(zhì)可控圖是對(duì)稱的，則G有一個(gè)非平凡自同構(gòu)群，設(shè)J是置換矩陣代表G的一個(gè)非恒等自同構(gòu)，那么存在2個(gè)不同的標(biāo)準(zhǔn)正交基ei和ej，使得Jei=ej和Jej=ei。則有J[ei0n…]=[ej0n…]和J[0nej…] = [0nei…]。并且有JL(G)=L(G)J，令B=[ei0n…]+[0nej…]?？梢缘玫絁B=B。設(shè)λ為矩陣L的特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為v，滿足Lv=λv。兩邊同乘以J，有JLv=Jλv，因?yàn)镴L(G)=L(G)J，則有L(Jv)=λ(Jv)，即Jv也是對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。因?yàn)長(zhǎng)有一系列正交特征向量，v-Jv也是L的特征向量。而且JB=JTB=B，則有(v-Jv)TB=vTB-vTJTB=vTB-vTB=0即B正交于L的特征向量。因此系統(tǒng)(L,B)是不可控的。這與G是多輸入下本質(zhì)可控圖相矛盾。所以多輸入下本質(zhì)可控圖是不對(duì)稱的。結(jié)論得證。

任何少于6個(gè)點(diǎn)的圖都可以改為對(duì)稱的圖。如圖3(a)中，5個(gè)點(diǎn)的情況可以改為圖3(b)中對(duì)稱的圖形。由此啟發(fā)可以得到下面的命題。

(a)改變前

(b)改變后

命題 2多輸入下本質(zhì)可控圖至少有6個(gè)點(diǎn)。

證明根據(jù)命題1，并且由任何不對(duì)稱的圖形至少有6個(gè)點(diǎn)得證。

對(duì)于系統(tǒng)(1)，不對(duì)稱的圖并不都是多輸入下本質(zhì)可控圖。通過(guò)圖(4)可以進(jìn)行驗(yàn)證。

圖4 具有6個(gè)節(jié)點(diǎn)的不對(duì)稱圖

圖4是一個(gè)在給定點(diǎn)標(biāo)記下的不對(duì)稱圖，它的拉普拉斯矩陣為

2.2 多信號(hào)輸入下完全不可控圖

相對(duì)于多信號(hào)輸入下本質(zhì)可控圖，圖對(duì)稱與否并不與多信號(hào)輸入下完全不可控圖有關(guān)聯(lián)。對(duì)于系統(tǒng)(1)，對(duì)稱的圖并不都是多輸入下完全不可控圖。如圖1為對(duì)稱圖，當(dāng)B=[e2e4]時(shí)，根據(jù)秩判據(jù)，此時(shí)系統(tǒng)可控。

給定圖G，則可以寫出圖的拉普拉斯矩陣，也可以求出圖的特征值，特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量也可以求出，由此啟發(fā)，給出下面的命題。

證明根據(jù)定理1，得證。

證明根據(jù)定理1，得證。

2.3 多信號(hào)輸入下條件可控圖

在本節(jié)中，主要提出文獻(xiàn)[18]中的錯(cuò)誤，并舉例進(jìn)行闡述。

對(duì)于文獻(xiàn)[18]中的模型(2)實(shí)際上是系統(tǒng)(1)的特殊情況，即單信號(hào)輸入系統(tǒng)，此時(shí)要在系統(tǒng)(2)下進(jìn)行分析與討論文獻(xiàn)[18]中的問(wèn)題。

對(duì)于文獻(xiàn)[18]中推論4.2：G是一個(gè)含有n個(gè)點(diǎn)的連通圖，并且n≥3時(shí)，如果G有一個(gè)(r,s)-齊次可控向量，則G是條件可控的。

如圖5，在系統(tǒng)(2)下，令b=[0 0 1 1 0 0]T，其中i∈Vb={3,4}，若i=3，則Ni={1,2}且j∈VVb={1,2,5,6}，得r=2，即領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點(diǎn)3與2個(gè)跟隨者鄰接，若j=1，則Nj={3}，得s=1，即跟隨者節(jié)點(diǎn)1與1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者鄰接。由此稱b=[0 0 1 1 0 0]T在圖G中是一個(gè)(2,1)-齊次可控向量。則根據(jù)文獻(xiàn)[18]中推論4.2得圖G是條件可控的。

圖5 具有6個(gè)節(jié)點(diǎn)的對(duì)稱圖

圖5的拉普拉斯矩陣為

可以求出它有一個(gè)兩重的特征值為3。即圖5具有重特征值，根據(jù)注釋，在單信號(hào)輸入系統(tǒng)下可以得到圖G是完全不可控的，顯然是矛盾的，所以文獻(xiàn)[18]中推論4.2是錯(cuò)誤的。在多信號(hào)輸入系統(tǒng)下，更不能通過(guò)齊次向量來(lái)判斷圖的條件可控性。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文就多信號(hào)輸入系統(tǒng)下的可控性分類問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的研究與分析，并對(duì)拉普拉斯矩陣下特征值和特征向量與可控性的關(guān)系進(jìn)行了闡述和論證，論述了單信號(hào)輸入系統(tǒng)與多信號(hào)輸入系統(tǒng)的區(qū)別和聯(lián)系，而且糾正了文獻(xiàn)[18]中關(guān)于齊次可控向量應(yīng)用在條件可控圖上的錯(cuò)誤。本文對(duì)可控性分類的研究方法和結(jié)果，為以后研究更復(fù)雜的圖可控性問(wèn)題提供了方向和幫助。

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李自強(qiáng)，男，1991年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槎嘀悄荏w系統(tǒng)。

紀(jì)志堅(jiān)，男，1973年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)槿后w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與協(xié)調(diào)控制、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、切換動(dòng)力系統(tǒng)的分析與控制、系統(tǒng)生物以及基于網(wǎng)絡(luò)的控制系統(tǒng)等。曾主持國(guó)家自然科學(xué)基金3項(xiàng)、山東省杰出青年科學(xué)基金項(xiàng)目1項(xiàng)。山東省杰出青年基金獲得者，發(fā)表學(xué)術(shù)論文70余篇，其中被SCI檢索23篇，EI 檢索50余篇。

晁永翠，女，1990年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的可控性。

Graph controllability classes of networked multi-agent systems with multi-signal inputs

LI Ziqiang， JI Zhijian， CHAO Yongcui， DONG Jie

(School of Automation Engineering，Qingdao University, Qingdao 266071，China)

In this paper, we analyze graph controllability classes in networked multi-agent systems with multisignal inputs and construct a new system model. To determine the relationship between controllability and networked multi-agent systems, we used a controllability rank criterion and the Popov-Belevitch-Hautus criterion in our proposed model, which is more convenient and more general in its application. In addition, we analyzed in detail the relationship between networked multi-agent systems and controllability, especially, between Laplacian eigenvalue and controllability. Based on our results, we conclude that we have solved the controllable classification problem associated with multisignal input, improved research accuracy with respect to controllability, and improved the controllability of networked multi-agent systems.

multi-signal input systems; graph controllability classes; rank criterion and PBH criterion; Laplacian matrix; controllability

2016-01-08.

日期：2016-09-13.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61374062)；山東省杰出青年科學(xué)基金項(xiàng)目(JQ201419).

紀(jì)志堅(jiān).E-mail：jizhijian@pku.org.cn.

TP273

A

1673-4785(2016)05-0680-08

10.11992/tis.201601017

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20160913.0838.002.html

李自強(qiáng)，紀(jì)志堅(jiān)，晁永翠，等.多信號(hào)輸入下多智能體系統(tǒng)的圖可控性分類[J]. 智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)， 2016, 11(5):680-687.

英文引用格式：LI Ziqiang，JI Zhijian，CHAO Yongcui，et al.Graph controllability classes of networked multi-agent systems with multi-signal inputs[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2016,11(5):680-687.