陳永亮 劉德帥 劉玉坤 彭 濤

天津大學，天津，300072

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基于反演識別法的有限元模型校正

陳永亮 劉德帥 劉玉坤 彭 濤

天津大學，天津，300072

提出了一種在動態(tài)分析中對機構的結合面進行參數(shù)識別的方法。建立機械結構的有限元模型并將其關鍵結合面以彈簧-阻尼單元代替，將模態(tài)計算的結果與實驗結果相結合建立目標函數(shù)；通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合、遺傳算法參數(shù)尋優(yōu)，得出最優(yōu)結合面參數(shù)。以立式圓臺磨床為例，運用該方法，對其結合面參數(shù)進行了識別。結果表明，通過該方法進行有限元模型中結合面參數(shù)的識別是可行的。

立式磨床；模態(tài)試驗；有限元計算；神經(jīng)網(wǎng)絡；遺傳算法

0 引言

在有限元計算中，機械結構的單件靜動態(tài)分析結果較為精確，但在計算組合件時，會因為不能正確建立構件之間結合面的有限元模型而產(chǎn)生較大誤差。如何建立結合面處的有限元模型成為動態(tài)分析及優(yōu)化的關鍵[1-2]。在結合面理論建模的方法上，國內(nèi)外學者都做過深入研究。文獻[3]在

結合面的建模上，對不同形式的結合面如直線導軌、螺栓連接、軸承支撐、絲杠等以不同形式的彈簧阻尼單元等效。文獻[4]以“虛擬接觸材料”模型來考慮機械結合部的影響。當前，結合面參數(shù)的識別主要有理論計算、實驗、理論與實驗結合三種方法。文獻[5]、文獻[6]以彈簧阻尼模型代替螺栓連接的結合面，通過經(jīng)驗公式和大量實驗數(shù)據(jù)得到了各種結合面之間的剛度。文獻[7]將可動結合面等效為一個多節(jié)點的獨立單元，通過模態(tài)試驗和理論推導，得到結合面處的剛度矩陣。文獻[8]利用st.Venant的理論，通過實驗方法得到了結合面的剛度矩陣并驗證了它的準確性。文獻[9]以分形接觸理論為基礎，建立了結合面法向動態(tài)參數(shù)的理論分型模型，得到接觸剛度和阻尼受材料性能參數(shù)及法向接觸載荷的影響，并且接觸剛度和阻尼與分形參數(shù)之間表現(xiàn)出較強的非線性關系。文獻[10]分別用Baruch方法、Berman方法和Sensitivity方法對鉆床進行了有限元模型的修正，比較了各種方法的優(yōu)劣，并強調了有限元模型修正的必要性。文獻[11]將理論公式得到的螺栓剛度作為結合面剛度參數(shù)進行有限元計算，并將結果與實驗結果相比較來說明該方法可行。這些方法所得的結合面參數(shù)都建立在各種假設或理想條件下，對一些結構簡單、形狀規(guī)則的構件，可以得到相對準確的參數(shù)值，但對于像機床這種結構復雜、螺栓布置不具有普遍性的機構，得到的參數(shù)值誤差較大。

反演識別法是一種實驗與計算相結合的方法，通過修改參數(shù)，得到不同參數(shù)下的計算結果，以目標函數(shù)值為判斷標準，當目標函數(shù)值符合要求時，就可得到相對精確的參數(shù)值，可以在沒有相應理論公式計算的情況下，作為識別參數(shù)、校正模型的一種方法。文獻[12]在材料力學中應用反演識別法，識別出材料界面的力學性質。反演識別過程中，僅通過理論試算很難得到最優(yōu)參數(shù)值，這就需要進行公式擬合和優(yōu)化設計。目前，擬合和優(yōu)化方法有很多。文獻[13]將模態(tài)試驗結果和優(yōu)化算法、諧波響應分析相結合，完成了螺栓連接結合面的參數(shù)識別。文獻[14]利用神經(jīng)網(wǎng)絡和遺傳算法對凸輪軸數(shù)控磨削工藝參數(shù)進行了優(yōu)化。對于未知的非線性函數(shù)，可以利用神經(jīng)網(wǎng)絡和遺傳算法相結合的方法進行求解，利用神經(jīng)網(wǎng)絡的非線性擬合能力和遺傳算法的非線性尋優(yōu)能力尋找函數(shù)極值[15]。

本文介紹了基于反演識別法對有限元模型校正的方法。該方法利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合公式，利用遺傳算法進行最優(yōu)參數(shù)值的求解，并以天津市第二機床廠生產(chǎn)的單立柱式的立式圓臺磨床為例，通過該方法得到了結合面的參數(shù)值。

1 基于反演識別法的有限元模型校正方法

1.1 螺栓連接結合面理論建模

有限元計算的動力學建模過程中，如何準確識別結合面參數(shù)，從而建立結合面模型是精確建模的關鍵。處理結合面的方法很多，常用的方法是把結合面處理成3個互相垂直的彈簧阻尼單元，但這種方法誤差大，沒有考慮螺栓排列方式的影響，因此本文在每個螺栓連接處建立3個相互垂直的彈簧-阻尼單元。圖1為在結合面之間建立彈簧-阻尼單元的示意圖。工程上，大多數(shù)的振動系統(tǒng)都屬于小阻尼(阻尼比小于0.2)系統(tǒng)。對于小阻尼系統(tǒng)，阻尼對其固有頻率的影響可以忽略[16]，所以阻尼對本文所提到的機床系統(tǒng)的影響可以忽略。這樣求解結合面的參數(shù)就轉變成了求解3個方向的彈簧剛度的問題。

圖1 彈簧阻尼單元結合面模型

1.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合過程

求解3個方向的彈簧剛度這種非線性問題，難以用準確的數(shù)學公式表達。在這種情況下，可以通過神經(jīng)網(wǎng)絡來表達這類非線性系統(tǒng)。該方法把未知系統(tǒng)看成是一個黑箱，首先用系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)訓練神經(jīng)網(wǎng)絡，使網(wǎng)絡能夠表達該未知函數(shù)，然后用訓練好的神經(jīng)網(wǎng)絡預測系統(tǒng)輸出。神經(jīng)網(wǎng)絡的基本單元稱為神經(jīng)元，它是對生物神經(jīng)元的簡化與模擬。一個典型的神經(jīng)元模型由輸入、網(wǎng)絡權值和閾值、激發(fā)函數(shù)、求和單元、輸出組成。BP神經(jīng)網(wǎng)絡是一種多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡，主要特點是信號前向傳遞，誤差反向傳播。在前向傳遞過程中，輸入信號從輸入層經(jīng)隱含層逐層處理，直至輸出層[17]。BP神經(jīng)網(wǎng)絡中，每一層的神經(jīng)元狀態(tài)只影響下一層的神經(jīng)元狀態(tài)。對于本文所研究的問題，BP神經(jīng)網(wǎng)絡的算法流程如圖2所示。

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡算法流程圖

BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測前首先要訓練網(wǎng)絡，然后才能預測輸出。具體的訓練步驟如下：

(1)網(wǎng)絡初始化，確定系統(tǒng)輸入輸出。系統(tǒng)輸入為有限元分析中設定的三方向的彈簧剛度kx、ky、kz。輸出為有限元計算所得的前三階固有頻率f1、f2、f3。

(2)隱含層的輸出為

其中，Hj為隱含層j節(jié)點輸出；xi為輸入層i節(jié)點輸入，在這里x1、x2、x3分別為kx、ky、kz；l為隱含層節(jié)點數(shù)；wij為輸入層i節(jié)點與隱含層j節(jié)點間的連接權值；aj為隱含層j節(jié)點閾值；f(*)為隱含層激勵函數(shù)，該函數(shù)有多種表達形式，本文中所用函數(shù)為

(3)輸出層的輸出為

式中，wjk為隱含層j節(jié)點與輸出層節(jié)點k間的連接權值；bk為輸出層k節(jié)點的閾值；Ok為輸出層k節(jié)點的輸出。

(4)輸出節(jié)點k處的誤差為

ek=fk-Okk=1,2,3

(5)權值更新公式分別為

式中，η為學習效率。

(6)閾值更新公式分別為

(7)判斷算法迭代是否結束，若未結束，返回步驟2。

1.3 遺傳算法尋優(yōu)過程

遺傳算法是一種模擬自然界遺傳機制和生物進化論而形成的一種并行隨機搜索最優(yōu)化的方法。把自然界“優(yōu)勝劣汰，適者生存”的生物進化原理引入優(yōu)化參數(shù)形成的編碼串聯(lián)群體中，將選擇的適應度函數(shù)作為優(yōu)劣判斷標準，通過遺傳中的選擇、交叉和變異對個體進行篩選，使適應度好的個體保留，適應度差的個體淘汰。新群體既繼承了上一代的信息，又優(yōu)于上一代，這樣反復循環(huán)，直至滿足條件[15]。用遺傳算法對神經(jīng)網(wǎng)絡尋優(yōu)，就是要把訓練后的神經(jīng)網(wǎng)絡預測結果作為個體適應度值，通過選擇、交叉、變異尋找函數(shù)最優(yōu)值及對應輸入值，具體的算法流程如圖3所示?；静襟E如下：

(1)種群初始化，對個體進行編碼，設定種群規(guī)模，進化次數(shù)，交叉、變異概率等。

(2)建立目標函數(shù)

式中，aj(j=1，2，3)為第j階固有頻率的加權系數(shù)，a1=0.5，a2=0.35，a3=0.15；fjcal、fjtest分別為第j階固有頻率的軟件計算值和實驗所得值。

設計變量為

約束條件為

kxmin

kzmin

(3)將目標函數(shù)值作為適應度，計算適應度值。因為目標函數(shù)值越小，理論計算值與實驗值越接近，所以，適應度越小，所求彈簧剛度越符合實際。

(4)選擇、交叉、變異操作。

(5)判斷進化是否結束，若否，則返回步驟3。

圖3 遺傳算法極值尋優(yōu)流程圖

1.4 反演識別法校正有限元模型的流程

反演識別技術對于建立準確的有限元模型、計算準確的動態(tài)特性十分有效。本文基于豐富的試驗(模態(tài)試驗)測試信息、反演識別技術和現(xiàn)代的計算手段(ANSYS軟件計算)，提出一種基于模態(tài)試驗的反演識別一體化方法，來快速建立并修正有限元模型。圖4為基于模態(tài)試驗的反演識別方法修正有限元模型的流程圖。具體步驟如下:

(1)進行模態(tài)試驗，通過模態(tài)試驗測出低階固有頻率和振型。

(2)結合面彈簧-阻尼單元個數(shù)及位置分布的確立。根據(jù)螺栓連接的個數(shù)及分布狀況，確立彈簧-阻尼單元的個數(shù)及位置分布，給定初始彈簧剛度。

(3)在ANSYS中建立有限元模型，設定結合面參數(shù)，進行有限元分析，計算出固有頻率和振型。改變參數(shù)后，多次試算，得出一系列不同參數(shù)下的固有頻率。

(4)用前三階固有頻率與結合面參數(shù)進行擬合，得到輸入(結合面參數(shù))與輸出(感興趣的頻率范圍內(nèi)的模態(tài)頻率)之間的關系。

(5)構建目標函數(shù)，根據(jù)各階固有頻率的權重，建立相應目標函數(shù)。

(6)根據(jù)輸入輸出之間的函數(shù)關系和目標函數(shù)值，進行最優(yōu)結合面參數(shù)的求解。

(7)將最優(yōu)結合面參數(shù)代入有限元模型進行模態(tài)計算，并將計算所得的模型的前三階固有頻率代入目標函數(shù)公式。若目標函數(shù)值在理想誤差范圍內(nèi)，則求解所得的結合面參數(shù)可作為動力學分析建模的結合面參數(shù)。

圖4 基于模態(tài)試驗的反演識別方法修正有限元模型流程

下面以有限元分析計算中的立式圓臺磨床的動力學建模為例，詳細介紹如何利用反演識別法對立式圓臺磨床的動力學有限元模型進行校正。

2 模態(tài)試驗

2.1 試驗對象與測試平臺

試驗樣機是由天津市第二機床廠生產(chǎn)的單立柱式的立式圓臺磨床。模態(tài)試驗是在虛擬儀器平臺上實現(xiàn)的。該平臺的硬件包括PC機、數(shù)據(jù)采集卡、加密卡、力錘、加速度傳感器、電荷放大器、電纜等，使用的軟件為LMS Test. Lab。

2.2 測試方案及試驗建模

立式圓臺磨床結構復雜，模態(tài)分布較密集，從結構動力學特性分析原則考慮，應該用單輸入/多輸出的激振方式，即在一點進行錘擊、在不同方向拾取機床各個測點的信號。試驗的技術路線如圖5所示。

圖5 模態(tài)試驗技術路線

試驗所得的前三階的固有頻率和相應振型如表1、圖6所示。

(a)一階 (b)二階 (c)三階

3 有限元軟件試算

如果建立的有限元模型能為少數(shù)低階模態(tài)提供精確的計算結果，那么以它來模擬實際結構進行模態(tài)分析和動態(tài)設計就更為準確。由試驗結果可以看出，前三階模態(tài)主要受立柱與床身之間的結合面參數(shù)影響，故對此結合面進行精確建?？梢暂^為精確地模擬實際情況。所以，根據(jù)前面的結合面建模方法，在結合面每個螺栓所在位置處以x、y、z方向的3個彈簧代替，通過改變彈簧剛度，得到多組試驗數(shù)據(jù)，進而發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律。

3.1 有限元模型的建立

在有限元模型中，床身與立柱之間不設接觸，以彈簧單元連接。該機床立柱和床身之間共有12個螺栓，所以建立36個彈簧單元。其余結合面由于對前三階固有頻率影響較小，所以全部設為綁定。該模型的邊界條件為床身底面螺栓處作固定約束。

3.2 第一次有限元軟件試算

第一次有限元軟件試算的目的主要是確定各彈簧的剛度變化范圍和剛度對各階頻率的影響。試算過程中，3個剛度中的2個剛度不變，另外1個剛度以遞增方式變化，這樣可以看出該彈簧剛度對固有頻率的影響。

(a)x方向的彈簧剛度對前三階頻率影響

(b)y方向的彈簧剛度對前三階頻率影響

(c)z方向的彈簧剛度對前三階頻率影響

試算結果如圖7所示。由圖7可知，第一階固有頻率主要與z方向的彈簧剛度相關，第二階固有頻率主要與x、z方向的彈簧剛度相關，第三階固有頻率主要與x、y方向的彈簧剛度相關。由試驗結果和有限元試算結果可知，當有限元計算得到的三階固有頻率在試驗所得三階固有頻率附近時，可以確定x、y、z方向的彈簧剛度的變化范圍：

3.3 第二次有限元軟件試算

第二次軟件試算的目的是為下一步的神經(jīng)網(wǎng)絡擬合提供數(shù)據(jù)。根據(jù)第一次試算的結果，分別在相應變化范圍內(nèi)取4個彈簧剛度數(shù)據(jù)，即kx=10 MN/m，15 MN/m，20 MN/m，25 MN/m；ky，kz=100 MN/m，200 MN/m，300 MN/m，400 MN/m。對kx、ky、kz做全面試算，共得到64組數(shù)據(jù)，如表2所示。表2中，自左向右用分號分隔的數(shù)據(jù)依次為1～3階的固有頻率。

4 神經(jīng)網(wǎng)絡遺傳算法函數(shù)極值尋優(yōu)

4.1 算法模型的建立

神經(jīng)網(wǎng)絡遺傳算法函數(shù)極值尋優(yōu)主要分為BP神經(jīng)網(wǎng)絡訓練擬合和遺傳算法極值尋優(yōu)兩步。遺傳算法極值尋優(yōu)把訓練后的BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測結果代入目標函數(shù)公式中作為個體適應度值，通過選擇、交叉和變異操作尋找函數(shù)的全局最優(yōu)值及對應輸入值。在此算法中，輸入變量為x、y、z方向的彈簧剛度，變量的變化范圍是第一次軟件試算中所得到的剛度變化范圍。目標函數(shù)公式中的加權值a1=0.5，a2=0.35，a3=0.15。

表2 不同彈簧剛度下1～3階的固有頻率 Hz

該非線性函數(shù)有3個輸入?yún)?shù)、1個輸出參數(shù)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡結構為3-5-1結構，即輸入層有3個節(jié)點，隱含層有5個節(jié)點，輸出層有1個節(jié)點。取64組數(shù)據(jù)中的任意56組數(shù)據(jù)訓練網(wǎng)絡，使用其余8組數(shù)據(jù)測試網(wǎng)絡性能。遺傳算法中，種群規(guī)模為50，進化次數(shù)為200，交叉概率為0.4，變異概率為0.2。

根據(jù)遺傳算法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡理論，在MATLAB中編程實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡遺傳算法非線性函數(shù)尋優(yōu)。

4.2 結果分析

4.2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡結果分析

BP網(wǎng)絡預測輸出值與實際計算值如圖8所示，神經(jīng)網(wǎng)絡預測誤差如圖9所示。由圖9可知，訓練所得的網(wǎng)絡得出的預測值誤差很小，不超過0.3 Hz,所以由該網(wǎng)絡得到的預測值可信度較強，可以作為輸入輸出的擬合網(wǎng)絡。

圖8 網(wǎng)絡預測輸出與計算值對比圖

圖9 網(wǎng)絡預測偏差

4.2.2 遺傳算法尋優(yōu)結果分析

遺傳算法迭代過程中的收斂曲線如圖10所示，適應度值即目標函數(shù)值為0.0376，接近于0。此時，x方向的彈簧剛度為10.1 MN/m，y方向的彈簧剛度為394 MN/m，z方向的彈簧剛度為285 MN/m。

圖10 遺傳算法迭代曲線

4.3 結果驗證

將遺傳算法尋優(yōu)所得的彈簧剛度設為Workbench中所建立彈簧的剛度，經(jīng)有限元軟件計算得到機床的前三階固有頻率，如表3所示，相對應的前三階振型如圖11所示。將計算所得前三階固有頻率代入目標函數(shù)值計算公式，得到的結果為0.039。這與遺傳算法所得的適應度值0.0376相差很小，說明神經(jīng)網(wǎng)絡遺傳算法函數(shù)極值尋優(yōu)所得結果具有較高可信度。

表3 有限元計算與試驗分析頻率

(a)第一階

(b)第二階

(c)第三階

5 結論

(1)根據(jù)模態(tài)試驗的結果，利用反演識別的方法對立式圓臺磨床的有限元模型進行校正，可以得到較高精度的有限元模型。

(2)利用神經(jīng)網(wǎng)絡訓練擬合所得的網(wǎng)絡能夠很好地反映輸入與輸出之間的函數(shù)關系，可以利用該網(wǎng)絡進行極值求解。

(3)在沒有具體函數(shù)表達式的情況下，利用遺傳算法的非線性極值尋優(yōu)能力，可以找到比較準確的優(yōu)化結果。

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(編輯 張 洋)

Finite Element Model Updating Based on Inversion Method of Identification

Chen Yongliang Liu Deshuai Liu Yukun Peng Tao

Tianjin University,Tianjin,300072

In dynamic analysis, a method to identify parameters of contact surfaces was put forward. The finite element model of mechanical structure was set up, and its key contact surface was replaced by spring-damper elements. Then the modality calculation was carried out. The objective function was built by combining the calculation results with the experimental results. Finally, the optimal parameters were obtained by the fitting of BP neural network and parameter optimization of genetic algorithm. The method was applied to the vertical grinder to obtain the parameters of contact surface. The results show that the method of identifying the parameters of contact surfaces is feasible.

vertical grinding machine; modal test; finite element calculation; neural network; genetic algorithm

2015-12-23

國家自然科學基金資助項目(51275347)；天津市重大科技專項(12ZCDZGX45000)；天津市自然科學基金重點資助項目(13JCZDJC35000)

TH113.1

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.21.019

陳永亮，男，1972年生。天津大學機械工程學院副教授、博士后研究人員。主要研究方向為CAD/CAE/CAM、模塊化設計。發(fā)表論文30余篇。劉德帥，男，1991年生。天津大學機械工程學院碩士研究生。劉玉坤，男，1990年生。天津大學機械工程學院碩士研究生。彭 濤，男，1992年生。天津大學機械工程學院碩士研究生。