文/王友峰

第三講函數(shù)及其圖像

文/王友峰

函數(shù)及其圖像是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，是中考的重點(diǎn)，現(xiàn)以2015年中考題為例，把?？嫉闹R(shí)點(diǎn)歸納如下，供你復(fù)習(xí)時(shí)參考．

考點(diǎn)1直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)特征

例1（1）（2015年威海卷）若點(diǎn)A（a+1，b-2）在第二象限，則點(diǎn)B（-a，b+1）在（）．

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（2）（2015年南京卷）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，-3），作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，得到點(diǎn)A憶，再作點(diǎn)A憶關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，得到點(diǎn)A義，則點(diǎn)A義的坐標(biāo)是（，）．

解析：（1）由A（a+1，b-2）在第二象限，得a+1＜0，b-2＞0，即a＜-1，b＞2．

由不等式的性質(zhì)，得-a＞1，b+1＞3，∴點(diǎn)B（-a，b+1）在第一象限．選A．

（2）∵點(diǎn)A（2，-3），∴A憶（2，3），點(diǎn)A憶關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A義為（-2，3）．

溫馨小提示：解決這類問題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)所在象限（或坐標(biāo)軸）的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

考點(diǎn)2確定函數(shù)自變量的取值范圍

解得x≥-1且x≠0．

溫馨小提示：求函數(shù)自變量的取值范圍要注意：（1）分母不能為0；（2）偶次根式的被開方數(shù)必須非負(fù)；（3）零指數(shù)或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不能為0；（4）自變量的取值不能使實(shí)際問題失去意義.當(dāng)函數(shù)關(guān)系式同時(shí)有幾種形式出現(xiàn)時(shí)，先求出各代數(shù)式中的取值范圍，再取其公共部分，公共部分就是自變量的取值范圍.此外，要注意“或”與“且”的區(qū)別.

考點(diǎn)3用函數(shù)圖像描述有關(guān)信息

例3（2015年聊城卷）小亮家與姥姥家相距24km，小亮8∶00從家出發(fā)，騎自行車去姥姥家．媽媽8∶30從家出發(fā)，乘車沿相同路線去姥姥家．在同一直角坐標(biāo)系中，小亮和媽媽的行進(jìn)路程S（km）與北京時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)圖像如圖1所示．

圖1

根據(jù)圖像得到下列結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）．

A．小亮騎自行車的平均速度是12km/h

B．媽媽比小亮提前0.5小時(shí)到達(dá)姥姥家

C．媽媽在距家12km處追上小亮

D．9：30媽媽追上小亮

解析：從圖像可知，小亮去姥姥家所用時(shí)間為10-8=2小時(shí)，24÷2=12（km/h），故結(jié)論A正確；媽媽到姥姥家的時(shí)刻t=9.5，小亮到姥姥家的時(shí)刻t=10，10-9.5=0.5（小時(shí)），故結(jié)論B正確；當(dāng)t=9時(shí)，媽媽追上小亮，此時(shí)小亮離家的時(shí)間為9-8=1小時(shí)，∴小亮走的路程為1×12=12km，∴媽媽在距家12km處追上小亮，故結(jié)論C正確；當(dāng)t=9時(shí)，媽媽追上小亮，故結(jié)論D錯(cuò)誤．選D．

溫馨小提示：利用函數(shù)圖像描述實(shí)際問題，需要正確理解函數(shù)圖像橫、縱坐標(biāo)表示的意義和函數(shù)圖像的走向.解答與日常生活相關(guān)的問題，要充分利用生活經(jīng)驗(yàn)來幫助思考.

考點(diǎn)4一次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

解析：方法1（推理法）：由k-1≥0且k-1≠0，得到k＞1，∴k-1＞0，1-k＜0，

∴圖像經(jīng)過第一、三、四象限.選A．

方法2（特值法）：由k-1≥0且k-1≠0，得到k＞1，取一個(gè)滿足要求的k值代入，如取k=2，則y=x-1，作出草圖可知其圖像經(jīng)過第一、三、四象限．選A．

溫馨小提示：一次函數(shù)y越kx垣b（k≠0）中k、b的符號(hào)決定圖像的位置，當(dāng)k＞0，b＞0時(shí)，圖像經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)k＞0，b＜0時(shí)，圖像經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)k＜0，b＞0時(shí)，圖像經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)k＜0，b＜0時(shí)，圖像經(jīng)過第二、三、四象限.對(duì)于含字母的函數(shù)圖像識(shí)別問題，可以運(yùn)用推理的方法，也可以借助特殊值來確定答案.

考點(diǎn)5反比例函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

例5（2015年永州卷）已知點(diǎn)A（-1,y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函數(shù)y越（k＞0）的圖像上，則（填y1，y2，y3）.

解析：∵點(diǎn)A(原1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)在y越上，

∴y1=-k，y2=k，y3=，∵k＞0，

溫馨小提示：比較反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小問題，要分同一象限和不同象限內(nèi)的點(diǎn)分別比較，同一象限內(nèi)的點(diǎn)可根據(jù)增減性比較大小，不同象限的點(diǎn)可根據(jù)縱坐標(biāo)的正負(fù)性進(jìn)行比較.

考點(diǎn)6反比例函數(shù)k的幾何意義

例6（2015年日照卷）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ODEF和四邊形ABCD都是正方形，點(diǎn)云在x軸的正半軸上，點(diǎn)悅在邊DE上，反比例函數(shù)y越（k≠0，x＞0）的圖像過點(diǎn)B、E，若AB越2，則k的值為

解析：設(shè)耘（a，a），

∵四邊形ODEF和四邊形ABCD都是正方形，AB越2，

∴B（2，a+2），

圖2

圖3

溫馨小提示：如圖3，S矩形PMON=渣k渣；S△OEF=EF·OF=這是雙曲線的兩個(gè)重要性質(zhì)，它可巧解與雙曲線上的點(diǎn)有關(guān)的面積問題.

考點(diǎn)7二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

圖4

例7（2015年濰坊卷）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的圖像如圖4所示，頂點(diǎn)為（-1，0），下列結(jié)論：①abc＜0；②b2-4ac=0；③a＞2；④4a-2b+c＞0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.4

解析：∵拋物線開口向上，∴a＞0，

∵對(duì)稱軸在y軸左邊，亦b＞0，

∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在（0，2）的上方，

∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴結(jié)論①不正確；

∵拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ=0，即b2-4a（c+2）=0，b2-4ac-8a=0，

∴b2-4ac＞0，∴結(jié)論②不正確；

∴4a2-8a＞0，即a＞2，結(jié)論③正確；

∵對(duì)稱軸是x=-1，而且當(dāng)x=0時(shí)，y＞2，∴當(dāng)x=-2時(shí)，y＞2，

∴4a-2b+c+2＞2，∴4a-2b+c＞0．∴結(jié)論④正確．選B．

考點(diǎn)8求函數(shù)解析式

故兩個(gè)函數(shù)分別為y=

溫馨小提示：用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是最常用的方法，根據(jù)已知條件靈活選擇解析式是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)9圖像的平移

例9（2015年荊州卷）將拋物線y=x2-2x+3向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線的解析式為（）．

A.y=（x-1）2+4B.y=（x-4）2+4C.y=（x+2）2+6D.y=（x-4）2+6

解析：∵y越x2-2x垣3越（x原1）2+2，

∴平移后的解析式是y越（x原1-3）2+2+2=（x-4）2+4．選B.

溫馨小提示：二次函數(shù)圖像的平移，實(shí)質(zhì)上是頂點(diǎn)坐標(biāo)的平移，只要確定平移前后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，就可以寫出平移后拋物線的解析式.平移具有如下規(guī)律：左、右平移是橫坐標(biāo)變化，左移加，右移減；上、下平移是縱坐標(biāo)變化，上移加，下移減.

考點(diǎn)10函數(shù)的應(yīng)用

例10（2015年襄陽卷）為滿足市場(chǎng)需求，某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕，購進(jìn)一種品牌粽子，每盒進(jìn)價(jià)是40元，超市規(guī)定每盒售價(jià)不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí)，每天可賣出700盒，每盒售價(jià)每提高1元，每天要少賣出20盒.

（1）試求出每天的銷售量y(盒)與每盒售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售的利潤P(元)最大？最大利潤是多少？

（3）為穩(wěn)定物價(jià)，有關(guān)管理部門限定：這種粽子的每盒售價(jià)不得高于58元.

如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么每天至少銷售粽子多少盒？

解析：（1）y=700-20（x-45）=-20x+1600；

（2）P=（x-40）（-20x+1600）=-20x2+2400x-64000=-20（x-60）2+8000，

∵x≥45，a=-20＜0，∴當(dāng)x=60時(shí)，P有最大值，最大值為8000元.

即當(dāng)每盒售價(jià)定為60元時(shí)，每天銷售的利潤最大，最大利潤為8000元.

（3）由題意，得-20（x-60）2+8000=6000，解這個(gè)方程得x1=50，x2=70.

∵拋物線P=-20（x-60）2+8000的開口向下，

∴當(dāng)50≤x≤70時(shí)，每天銷售粽子的利潤不低于6000元.

又∵x≤58，∴50≤x≤58.

在y=-20x+1600中，k=-20＜0，

∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=58時(shí)，y有最小值，

最小值y=-20×58+1600=440.即超市每天至少銷售粽子440盒.

溫馨小提示：由“利潤=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×售量”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的增減性以及一元二次方程求解.利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題時(shí)，常常需要利用方程（組）或不等式等知識(shí).解決這類最值問題時(shí)，要建立相關(guān)的函數(shù)解析式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)得到答案.

責(zé)任編輯：王二喜