劉 戀，郭立強(qiáng)

(1.淮陰師范學(xué)院物理與電子電氣工程學(xué)院，江蘇淮安 223300；

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彩色圖像矩不變量理論研究進(jìn)展

劉 戀1，郭立強(qiáng)2

(1.淮陰師范學(xué)院物理與電子電氣工程學(xué)院，江蘇淮安 223300；

2.淮陰師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇淮安 223300)

圖像的矩不變量理論是模式識(shí)別領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。有關(guān)圖像的矩不變量理論多是針對(duì)灰度圖像，針對(duì)彩色圖像的相關(guān)研究是一個(gè)值得關(guān)注的方向。為了得到更多模式識(shí)別領(lǐng)域的研究科研人員對(duì)彩色圖像矩不變量理論進(jìn)行探索和討論，本文對(duì)彩色圖像矩不變量理論的最新進(jìn)展進(jìn)行綜述，討論該理論需要解決的主要問(wèn)題以及對(duì)未來(lái)工作的一些展望，以期對(duì)從事圖像矩不變量理論及其應(yīng)用研究的科研人員有所幫助。

彩色圖像；矩；矩不變量

圖像矩函數(shù)的定義及其不變性是圖像處理、計(jì)算機(jī)視覺(jué)與模式識(shí)別領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.矩不變量集合與其它特征描述不同，它能夠描述圖像的全局特征，并將某一幅圖像與其它圖像的不同之處以其特有的幾何信息表達(dá)出來(lái).以仿生學(xué)視角來(lái)看，圖像的矩不變量表征了在某些變換下人類視覺(jué)信息具有不變性，即不同模式之間具有本質(zhì)差別.從數(shù)學(xué)理論來(lái)講，矩不變量的實(shí)質(zhì)是一類代數(shù)不變量.目前，越來(lái)越多的科研人員將目光聚焦于圖像矩不變量的這種特征描述能力，并將其廣泛地應(yīng)用在目標(biāo)匹配和模式識(shí)別中.

1962年，Hu首次提出了有關(guān)矩不變量的概念[1]，并開(kāi)創(chuàng)性地推進(jìn)了相關(guān)工作的開(kāi)展，他以代數(shù)不變量為理論基礎(chǔ)推導(dǎo)出7個(gè)相似矩不變量并將其應(yīng)用于目標(biāo)識(shí)別中.近幾年，在國(guó)內(nèi)外權(quán)威期刊發(fā)表的有關(guān)矩不變量理論的研究文章達(dá)百余篇之多，對(duì)相關(guān)文章進(jìn)行簡(jiǎn)要梳理，無(wú)外乎進(jìn)行如下兩方面的研究：一方面是矩函數(shù)的定義，也就是選取或者構(gòu)造合適的核函數(shù)來(lái)定義圖像的矩函數(shù)；另一方面是矩不變量的構(gòu)造，如相似不變量、仿射不變量或者其它變換下的不變量，如彈性變換.盡管越來(lái)越多的科研人員致力于矩不變量理論的研究，并發(fā)表了大量相關(guān)論文，但多數(shù)都是以灰度圖像為研究對(duì)象而非彩色圖像.究其原因在于矢量信號(hào)處理理論尚有待健全，目前處理彩色圖像的算法都是采用分通道的形式來(lái)處理顏色信息，其缺點(diǎn)在于割裂了圖像顏色信息的完整性，導(dǎo)致了各顏色通道間相關(guān)信息的丟失.

本文旨在向讀者介紹彩色圖像矩不變量理論的基本原理及其發(fā)展動(dòng)態(tài)，希望引起更多科研人員的關(guān)注并進(jìn)行討論，為相關(guān)理論在計(jì)算機(jī)視覺(jué)與模式識(shí)別領(lǐng)域的應(yīng)用研究提供一個(gè)新的方法.首先，我們對(duì)矩不變量理論的基本原理進(jìn)行闡述；其次，對(duì)國(guó)內(nèi)外有關(guān)彩色圖像矩不變量理論的研究進(jìn)展以及相應(yīng)的成果進(jìn)行介紹；最后，提出該理論需要解決的主要問(wèn)題以及對(duì)未來(lái)工作的一些展望.

1 矩不變量理論

1.1 矩函數(shù)的基本定義

前面我們提及矩不變量理論主要是圍繞圖像矩函數(shù)的定義和矩不變量的構(gòu)造來(lái)進(jìn)行研究的.首先介紹圖像矩函數(shù)的定義.在數(shù)學(xué)理論上，矩函數(shù)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)積分變換(嚴(yán)格意義上講是泛函)，將圖像f(x,y)映射到核函數(shù)φmn上，對(duì)積分結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q來(lái)構(gòu)造相應(yīng)變換下的不變量.

假設(shè)m，n為非負(fù)整數(shù)，m+n稱為矩的階數(shù)，圖像f(x,y)的m+n階矩定義如下：

M[f(x,y)](m,n)=?R2φmn(x,y)f(x,y)dxdy.

(1)

在公式(1)中，選擇不同的核函數(shù)，就會(huì)得到不同矩函數(shù)的定義.例如，當(dāng)φmn=xmyn時(shí)，我們便得到幾何矩[1]的定義；當(dāng)φmn=(x-iy)m(x-iy)n時(shí)，我們便得到復(fù)數(shù)矩[2]的定義.無(wú)論是幾何矩還是復(fù)數(shù)矩的各階核函數(shù)都不是正交的.眾所周知，在線性代數(shù)中，線性空間的正交基與其它基底相比有很好的數(shù)值性質(zhì)，如去除了數(shù)據(jù)冗余性.如果公式(1)中的各階核函數(shù)具有正交性，我們會(huì)得到正交矩的概念.例如，當(dāng)φmn為勒讓得多項(xiàng)式時(shí)，公式(1)為勒讓得矩[3]；當(dāng)φmn為切比雪夫多項(xiàng)式時(shí)，公式(1)為切比雪夫矩[4].

公式(1)是在直角坐標(biāo)系中定義的，我們也可以得到極坐標(biāo)系下矩的定義：

(2)

在公式(2)中，當(dāng)φmn=rm-1e-inθ時(shí)，我們便得到傅里葉-梅林矩[5]的定義；當(dāng)φmn為澤尼克(正交)多項(xiàng)式時(shí)，我們便得到了澤尼克矩[3].在使用極坐標(biāo)下矩函數(shù)時(shí)，首先要把圖像從直角坐標(biāo)變換到極坐標(biāo)，這會(huì)帶來(lái)一些插值誤差.但其優(yōu)點(diǎn)是很明顯的，如在極坐標(biāo)下，圖像的旋轉(zhuǎn)可以轉(zhuǎn)換為平移運(yùn)算，這一點(diǎn)有利于不變量的構(gòu)造.

1.2 矩不變量的構(gòu)造方法

通過(guò)矩函數(shù)我們把圖像在不同的核函數(shù)上進(jìn)行投影，從不同的角度對(duì)圖像進(jìn)行表達(dá).矩函數(shù)是一個(gè)積分運(yùn)算，進(jìn)一步講是內(nèi)積積分.不同階數(shù)的矩是圖像與相應(yīng)核函數(shù)的相似程度的一個(gè)度量.從目標(biāo)表達(dá)的角度來(lái)講，還需要對(duì)這個(gè)度量值進(jìn)一步處理，也就是構(gòu)造相應(yīng)變換下的矩不變量.接下來(lái)看一下不變量的定義.

設(shè)f(X)是定義在集合A，取值于集合B的圖像，G是作用在A上的變換群.?g∈G，?泛函I，使得如下等式成立：

I[f(g·X)]=Δ(g)I[f(X)].

(3)

其中，Δ(g)是只與變換g有關(guān)的量.我們稱I為相對(duì)不變量，若Δ(g)≡1，則稱I為絕對(duì)不變量.

公式(3)表明，不變量I是定義在容許圖像函數(shù)空間(即發(fā)生了一系列相似、仿射或者其它變換的所有圖像集合)上的泛函，該泛函對(duì)變換群中的任意變換g具有不變性.圖像矩不變量的構(gòu)造就是尋找特定變換下的泛函I，使得I[f(g·X)]=I[f(X)].在實(shí)際應(yīng)用中，為了適應(yīng)圖像的不完美分割、噪聲以及離散化數(shù)值算法的誤差等其它因素所帶來(lái)的影響，對(duì)絕對(duì)不變量的定義進(jìn)行弱化：I[f(X)]不應(yīng)明顯地與I[f(g·X)]不同.我們可以用類間離散度和類內(nèi)離散度來(lái)對(duì)所構(gòu)造的不變量進(jìn)行評(píng)估.

接下來(lái)簡(jiǎn)要介紹構(gòu)造不變量的方法.以仿射矩不變量(AMIs)的構(gòu)造為例，這方面的理論研究最早源于19世紀(jì)的代數(shù)不變量理論.當(dāng)然也可以采用其它數(shù)學(xué)工具.如采用歸一化方法[6]來(lái)推導(dǎo)AMIs，其基本思想是把仿射變換分解成一些簡(jiǎn)單變換(一般分解為6個(gè)基本單參數(shù)變換)，對(duì)每個(gè)單一變化采用歸一化方法來(lái)構(gòu)造不變量.根據(jù)不同類型的分解和基本歸一化約束可對(duì)該方法進(jìn)一步進(jìn)行分類.如文獻(xiàn)[7-12]介紹的6種方法.還有其它方法，如張量方法、圖論方法、求解偏微分方程[13-14](Cayley-Aronhold方程)的方法.

有關(guān)矩不變量理論研究的另一條主線就是從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)域，再到四元數(shù)域，最后再上升到Clifford代數(shù)層面.矩函數(shù)在四元數(shù)及Clifford代數(shù)層面上的推廣，能夠使矩技術(shù)很自然地處理多通道圖像(彩色圖像、高光譜圖像)；另外，相關(guān)研究也完善了矩不變量理論.

2 彩色圖像矩不變量理論研究進(jìn)展

前面我們提及的矩不變量理論都針對(duì)灰度圖像，相比之下，彩色圖像的矩不變量的相關(guān)研究少之又少.對(duì)于彩色圖像，通常的做法是把它變?yōu)榛叶葓D像，然后再利用已有的矩不變量理論進(jìn)行處理.然而這種方法丟失了彩色圖像最重要的顏色信息.另一種方法就是分通道處理，即把彩色圖像的R、G和B通道看成三幅灰度圖像，分別計(jì)算每一通道的矩不變量[15].

為了研究彩色圖像各通道間的關(guān)系，Mindru等人在圖像通道上使用一定的乘積和冪運(yùn)算來(lái)計(jì)算矩，他們定義了度為d=α+β+γ的廣義彩色矩[16]：

(4)

其中，R、G和B是三個(gè)顏色通道的圖像函數(shù)，α、β和γ為非負(fù)整數(shù).使用這些矩來(lái)構(gòu)造仿射不變量，同時(shí)構(gòu)造了仿射變換和對(duì)比度線性變化下的組合不變量.然而，這些特征具有較高的冗余性.同時(shí)，矩函數(shù)的定義中出現(xiàn)了過(guò)多的冪運(yùn)算，這對(duì)于亮度值的非線性變換是比較敏感的，會(huì)導(dǎo)致誤分類.

2.1 基于四元數(shù)的彩色圖像矩不變量

為了把彩色圖像作為一個(gè)整體并區(qū)別于分通道的方法，我們?cè)谒脑獢?shù)架構(gòu)下系統(tǒng)研究了彩色圖像的矩不變量理論[17-21].南京大學(xué)的陳北京等科研人員在四元數(shù)架構(gòu)下也做了很多原創(chuàng)性的工作[22-25].首先，我們簡(jiǎn)要介紹一下四元數(shù)的概念及其表示方法.

四元數(shù)是復(fù)數(shù)的推廣形式，它具有一個(gè)實(shí)部和三個(gè)虛部.

q=qr+qi·i+qj·j+qk·k.

(5)

其中，三個(gè)虛部滿足如下乘法規(guī)則：

i2=j2=k2=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j.

(6)

若四元數(shù)q的實(shí)部為零，稱q為純四元數(shù).四元數(shù)的共軛為：

(7)

四元數(shù)的范數(shù)為：

(8)

四元數(shù)的逆為：

(9)

當(dāng)純四元數(shù)q的范數(shù)為1，稱q為單位純四元數(shù).設(shè)μ為單位純四元數(shù)，其歐拉公式為：

eμθ=cosθ+μsinθ.

(10)

對(duì)于一幅彩色圖像f(x,y),把它以純四元數(shù)的形式進(jìn)行表示：

f(x,y)=fR(x,y)·i+fG(x,y)·j+fB(x,y)·k.

(11)

其中，fR(x,y)、fG(x,y)和fB(x,y)分別表示彩色圖像的R、G和B三個(gè)顏色分量.x和y分別代表像素在圖像矩陣中的行號(hào)和列號(hào).這樣，一幅彩色圖像就被表示為一個(gè)四元數(shù)矩陣.基于四元數(shù)的彩色圖像處理就是以這個(gè)四元數(shù)矩陣為研究對(duì)象，相對(duì)于傳統(tǒng)的將顏色信息分通道的處理方法，或是將彩色圖像灰度化的處理方法而言，四元數(shù)方法保留了彩色圖像信息的完整性，為實(shí)際的工程應(yīng)用提供了一個(gè)新的研究方法.

接下來(lái)給出我們所定義的四元數(shù)矩、四元數(shù)傅里葉-梅林矩和四元數(shù)徑向矩的概念.設(shè)彩色圖像f(x,y)如公式(11)所示，(m+n)階左四元數(shù)矩定義如下：

QL(m,n)=?R2(x-μy)m(x+μy)nf(x,y)dxdy.

(12)

右四元數(shù)矩定義如下：

QR(m,n)=?R2f(x,y)(x-μy)m(x+μy)ndxdy.

(13)

雙邊四元數(shù)矩定義如下：

QT(m,n)=?R2(x-μy)mf(x,y)(x+μy)ndxdy.

(14)

之所以四元數(shù)矩有三種定義形式，是因?yàn)樗脑獢?shù)的乘法不滿足交換律，但它們?cè)诿枋霾噬珗D像幾何形變的能力上是一樣的.以左四元數(shù)矩為例，我們給出了相似矩不變量：

(15)

有關(guān)仿射四元數(shù)矩不變量的構(gòu)造參見(jiàn)文獻(xiàn)[19].在極坐標(biāo)下，我們給出了左(右)四元數(shù)徑向矩的定義：

(16)

(17)

構(gòu)造了基于四元數(shù)徑向矩的相似和仿射矩不變量：

(18)

(19)

在四元數(shù)徑向矩的定義中，令k=m-1,l=-n,p=0,q=0,那么四元數(shù)徑向矩就退化為在文獻(xiàn)[17]中所定義的四元數(shù)傅里葉-梅林矩：

(20)

(21)

若令k=m+n+1,l=n-m,p=0,q=0,那么四元數(shù)徑向矩就退化為四元數(shù)矩.

國(guó)內(nèi)學(xué)者陳北京側(cè)重于極坐標(biāo)下四元數(shù)正交矩函數(shù)及其不變量的研究[22-25].他在文獻(xiàn)中給出了四元數(shù)澤尼克矩[22]的定義，構(gòu)造了該矩函數(shù)的相似不變量，并應(yīng)用于目標(biāo)識(shí)別中.四元數(shù)澤尼克矩定義如下：

(22)

其中，|m|≤n,n-|m|為偶數(shù)；Rn，m(r)為澤尼克多項(xiàng)式.由于澤尼克多項(xiàng)式比較復(fù)雜，在構(gòu)造相似矩不變量的過(guò)程中涉及一系列推導(dǎo)，相關(guān)矩不變量的構(gòu)造參見(jiàn)文獻(xiàn)[22].

文獻(xiàn)[23]給出了(左)四元數(shù)貝塞爾-傅里葉矩的定義：

(23)

陳北京等人在文獻(xiàn)[24]中對(duì)幾種四元數(shù)架構(gòu)下的正交矩給出了統(tǒng)一的定義形式：

(24)

其中，由于φn,m(r)取值不同就得到了不同類型的矩函數(shù)定義，作者對(duì)比分析了四元數(shù)旋轉(zhuǎn)矩、四元數(shù)徑向矩、四元數(shù)傅里葉-梅林矩、四元數(shù)正交傅里葉-梅林矩、四元數(shù)澤尼克矩、四元數(shù)偽澤尼克矩，給出相應(yīng)矩函數(shù)的相似不變量，并對(duì)這幾種矩函數(shù)在圖像重建、圖像配準(zhǔn)以及人臉識(shí)別方面的應(yīng)用進(jìn)行對(duì)比分析.文獻(xiàn)[24]是對(duì)四元數(shù)正交矩的一個(gè)很好總結(jié).

此外，黃宇等人把四元數(shù)矩應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)領(lǐng)域[26].王向陽(yáng)等人提出了四元數(shù)徑向調(diào)和傅里葉矩[27]的概念并應(yīng)用于彩色圖像檢索，他們還定義了局部四元數(shù)指數(shù)矩[28]并應(yīng)用于彩色圖像數(shù)字水印.希臘學(xué)者Tsougenis等人分別把四元數(shù)徑向切比雪夫矩和四元數(shù)徑向矩應(yīng)用于彩色圖像數(shù)字水印方面[29-30].

矩函數(shù)的離散化算法也是很重要的研究方向.Karakasis等人針對(duì)正交多項(xiàng)式的特點(diǎn)，在四元數(shù)層面上系統(tǒng)研究了切比雪夫矩、Krawtchouk矩、對(duì)偶哈恩矩、勒讓得矩、正交傅里葉-梅林矩、澤尼克和偽澤尼克矩，分析了這些矩函數(shù)的離散化算法，給出了相似不變量[31].應(yīng)用相應(yīng)的矩函數(shù)，他們實(shí)現(xiàn)了彩色圖像重建、彩色目標(biāo)分類和模版匹配.

2.2 基于Clifford代數(shù)的彩色圖像矩不變量

作為四元數(shù)的推廣——Clifford代數(shù)已逐漸進(jìn)入科研人員的視線中，它不僅僅是數(shù)學(xué)家的研究對(duì)象，而逐步在數(shù)字信號(hào)處理、高光譜圖像處理、模式識(shí)別等領(lǐng)域嶄露頭角[32].

1878年，W.K.Clifford提出Clifford代數(shù)，又名幾何代數(shù).Clifford代數(shù)結(jié)合了內(nèi)積和外積兩種運(yùn)算，是復(fù)數(shù)、Hamilton的四元數(shù)和Grassmann的擴(kuò)張代數(shù)的推廣，能夠進(jìn)行高維的幾何計(jì)算，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)上有著廣泛的應(yīng)用.近年來(lái)，Clifford代數(shù)已逐漸被工程技術(shù)領(lǐng)域的科研人員所重視，在圖像處理、計(jì)算機(jī)視覺(jué)與模式識(shí)別等領(lǐng)域得到了初步應(yīng)用.

對(duì)于整數(shù)n,[n]={1,2,…,n}，[n]的冪集記為2[n].Clifford代數(shù)定義如下：

對(duì)于n≥1的整數(shù)，2n維代數(shù)Clp,q,(p+q=n)定義為由{ei|i=1,2,…,n}生成的結(jié)合代數(shù).其中，e0=eφ=1∈R，ei滿足如下乘法規(guī)則：

eiej=-ejei,i≠j.

(25)

(26)

Clifford代數(shù)的乘法是由2[n]的子集按字典順序形成：

(27)

(28)

上述定義中，由集合{1,e1e2,e1e3,e2e3}生成的空間同構(gòu)于四元數(shù)空間，也就是說(shuō)，Clifford代數(shù)本身是四元數(shù)的高維推廣，四元數(shù)是一類特殊的Clifford代數(shù)[32].

f(x,y)=fR(x,y)·e1+fG(x,y)·e2+fB(x,y)·e3+0·e4.

(29)

假設(shè)B是一個(gè)雙向量，那么f(x,y)在B上的投影為：

f=f·B·B-1=(f·B+f∧B)·B-1Δf‖B+f⊥B.

(30)

(31)

其中，B是單位雙向量，在該矩函數(shù)的基礎(chǔ)上定義了相似矩不變量.

3 未來(lái)工作展望及結(jié)論

本文給出了矩不變量的基本原理，對(duì)現(xiàn)有彩色圖像矩不變量理論進(jìn)行了簡(jiǎn)要綜述.目前這方面的相關(guān)研究仍然比較活躍，有許多值得研究的方向.

第一，由四元數(shù)正交矩所構(gòu)造的不變量都是相似不變量，而仿射不變量的構(gòu)造比較困難.目前還沒(méi)有相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道，這主要是由于一些正交多項(xiàng)式比較復(fù)雜造成的.如何構(gòu)造簡(jiǎn)單的正交多項(xiàng)式并以此來(lái)實(shí)現(xiàn)仿射不變量的構(gòu)造是一個(gè)值得研究的課題.同時(shí)，需要注意的是，許多正交多項(xiàng)式的正交性是連續(xù)意義上的正交，在離散情況下并不正交，而我們編程必須要對(duì)連續(xù)的正交多項(xiàng)式進(jìn)行離散化處理.因此，離散條件下的正交多項(xiàng)式對(duì)于不變量的穩(wěn)定性及算法的有效性無(wú)疑是個(gè)重要的研究課題.

第二，在Clifford代數(shù)層面上矩不變量理論仍需進(jìn)一步完善.此外，相關(guān)理論在圖形、圖像處理中的應(yīng)用研究仍有許多可挖掘的地方.

第三，無(wú)論是四元數(shù)還是Clifford代數(shù)都不滿足乘法交換律，這一點(diǎn)不利于程序的編寫(xiě).可以考慮在乘法具有可交換性質(zhì)的代數(shù)系統(tǒng)上推廣矩不變量理論，比如縮減雙四元數(shù)[34]就是一類可交換的四元數(shù).在可交換代數(shù)系統(tǒng)上矩函數(shù)的定義及其不變量的構(gòu)造值得深入研究.

第四，一些特殊的圖像形變，如彈性變換(印刷在瓶子上的文字在圖像平面上顯示所表現(xiàn)出來(lái)的形變),彈性形變?cè)谀繕?biāo)識(shí)別中有著很大的實(shí)用性，在彈性形變下彩色圖像矩不變量的構(gòu)造如何是需要進(jìn)一步探討的問(wèn)題.

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Research Progress on Moment Invariants for Color Image

LIU Lian1, GUO Li-qiang2

(1.School of Physics and Electronic Electrical Engineering,Huaiyin Normal University, Huai’an Jiangsu 223300,China; 2. School of Computer Sciences and Technology, Huaiyin Normal University, Huai’an Jiangsu 223300,China)

The theory of moment invariants for color image is a new research area in pattern recognition. However, most of the existing theory was related to gray image, only a little paper addressed the color image. In order to draw more attention from research community about pattern recognition, and to push forward the research frontier of color image moment invariants, we give a general progress overview. A discussion about the main problems that should be solved in color image moment invariants and the future work in this area are given. This paper should provide some help for the research community on image moment invariants and its applications.

color image; moments; moment invariants

2016-09-04

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“基于可交換Clifford代數(shù)的彩色圖像矩不變量研究”(61203242)；江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目“可交換Clifford代數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用”(BK20141253)。

劉 戀(1986- )，女，助理實(shí)驗(yàn)師，碩士，從事圖像處理、目標(biāo)識(shí)別與跟蹤研究。

郭立強(qiáng)(1982- )，男，副教授，博士，從事圖像處理、計(jì)算機(jī)視覺(jué)與模式識(shí)別研究。

TP391.4

A

2095-7602(2016)12-0017-07