魏先彪

(安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 合肥 230601)

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高等代數(shù)教學(xué)思考和體會點滴

魏先彪

(安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 合肥 230601)

高等代數(shù)是大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課程，該課程的內(nèi)容、思維的抽象性，傳統(tǒng)的教學(xué)方式使大學(xué)新生難以入門。本文探討抽象思維的形象化和抽象概念的具體化在高等代數(shù)課程教學(xué)模式，使其內(nèi)容直觀、生動，更易適應(yīng)大學(xué)新生的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探索的興趣，提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

高等代數(shù)；教學(xué)；形象思維；幾何直觀方法

高等代數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)科中占有重要的位置，與分析和幾何組成數(shù)學(xué)學(xué)科三門主要必修基礎(chǔ)課，也是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、信息與計算科學(xué)專業(yè)的主干基礎(chǔ)課。通過高等代數(shù)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生系統(tǒng)的掌握代數(shù)學(xué)基本理論、基本原理和基本方法，培養(yǎng)和發(fā)展抽象思維能力和邏輯推理能力, 為進一步學(xué)習(xí)后續(xù)的專業(yè)課程,打下扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

高等代數(shù)學(xué)具有高度抽象性和一般性，所研究的代數(shù)系統(tǒng)，其元素及代數(shù)運算都不是具體的對象，而是僅要求滿足一定的運算規(guī)則。這是概括了具體的客觀事物的共性，形成的一般的規(guī)律，從而有著廣泛的應(yīng)用。這種抽象思維的訓(xùn)練，不但在數(shù)學(xué)各個方向是需要的，在其它學(xué)科及實際工作中也都是很重要的，這是提高大學(xué)生整體素質(zhì)的一個重要方面。從事抽象思維訓(xùn)練，是代數(shù)學(xué)的特有的優(yōu)點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)的難點。概念高度抽象性和定理高度概括性是高等代數(shù)突出的特點。這兩個特點決定了高等代數(shù)是一門比較難學(xué)的課程, 大學(xué)新生剛接觸高等代數(shù)感到基本概念抽象, 基本方法難以掌握, 習(xí)題難做。本人系承擔(dān)多年本系信息與計算數(shù)學(xué)專業(yè)的高等代數(shù)課程教學(xué)，通過自己教學(xué)思考和教學(xué)體會, 嘗試以具體的生活事例和幾何直觀方法應(yīng)用在高等代數(shù)課程教學(xué)過程中，探索抽象思維的形象化和抽象概念的具體化在高等代數(shù)課程教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高教學(xué)質(zhì)量。

1 用生活中“脫襪規(guī)則”來類比一些矩陣的基本運算

用形象直觀的生活事例，類比高等代數(shù)[1-4]中一些抽象的運算，有助于學(xué)生對知識的掌握和理解。

1.1 “脫襪原則”

矩陣的諸多運算中，有一些有趣的現(xiàn)象，正如平常生活中“穿襪子穿鞋和脫襪子脫鞋” 情行一樣，人們稱之為“脫襪規(guī)則”。

1.2“脫襪原則”相關(guān)的運算和性質(zhì)

與矩陣逆運算一樣，矩陣轉(zhuǎn)置運算(T)和伴隨矩陣運算(*)都有“脫襪規(guī)則”這一性質(zhì)。

2 用幾何直觀來理解抽象的基本概念

有人用“空間為體，矩陣為用”高度的概括了高等代數(shù)，即高等代數(shù)的主要研究對象是向量空間，使用的重要工具是矩陣。性相關(guān)性”概念在高等代數(shù)中的地位相當(dāng)于“極限”在數(shù)學(xué)分析中的地位。向量組的秩和的線性相關(guān)性這部分內(nèi)容對于初學(xué)者比較抽象難懂，教學(xué)中可以用方程組來解釋相關(guān)概念。

2.1 秩I=1 ?方程組m個方程中本質(zhì)上只有一個?方程組有無窮多個解?直線 α1,α2,…,αm重合成一條直線。

2.2 秩I=2

?方程組m個方程中本質(zhì)上只有兩個。

1. 若直線α1,α2,…,αm相交于一點?方程組有唯一解?

m條直線α1,α2,…,αm本質(zhì)上是兩條相交直線；

2. 若直線α1,α2,…,αm沒有交一點?方程組無解?

m條直線α1,α2,…,αm本質(zhì)上是兩條平行直線。

2.3 秩I=3

?方程組m個方程中本質(zhì)上只有三個方程?方程組無解。

1. 若直線α1,α2,…,αm有兩個交點?

m條直線α1,α2,…,αm本質(zhì)上是兩條平行直線與一條直線相交；

2. 若直線α1,α2,…,αm有三個交點?

m條直線α1,α2,…,αm本質(zhì)上是兩兩相交于不同交點的三條相交直線；

這種直觀形象的思維方式對向量組(矩陣)的秩、向量組的線性相關(guān)性和向量組的極大線性無關(guān)組等這些抽象概念的理解、對用矩陣階梯形方法求向量組(矩陣)的秩的理解以及對線性方程組的解的理解都有很好的幫助。

3 用老問題的新解法來鞏固掌握基本理論

線性變換理論是高等代數(shù)的核心內(nèi)容之一，包括特征多項式、特征值、特征向量和矩陣對角化等基本知識。學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的基本理論、基本概念感到枯燥乏味，甚至對特征值和特征向量等概念的出現(xiàn)感到突然。通過有矩陣對角化知識解決高中學(xué)習(xí)求數(shù)列通項的問題，有助學(xué)生對矩陣對角化理論知識的鞏固和理解，激發(fā)學(xué)生積極探索的興趣。

例1 求數(shù)列：x1=1， x2=2，

x3=4，

xn=2xn-1-xn-3，通項公式。

解 由xn=2xn-1-xn-3，得

得An-3=PΛn-3P-1

=

(式中的*是一些待求的數(shù)值，考慮到計算中不需要這些數(shù)值，故沒有給出)

即，

4 用設(shè)計密碼算法來培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維

加密算法的設(shè)計是密碼學(xué)體系的核心。利用矩陣乘法和矩陣逆運算，設(shè)計簡單的密碼體系模型，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，拓寬學(xué)生的知識視野，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維。加密和解密算法設(shè)計如下。

算法步驟1 把26個英文字母從a到z分別用1到26的數(shù)字與之對應(yīng)?？崭瘛癬”用數(shù)字0對應(yīng)。

算法步驟2 規(guī)定加法和乘法運算都是mod(29)的運算。

算法步驟4：加密和解密算法設(shè)計。

加密算法：

甲發(fā)信息X給乙，先把明文X中的字母分按算法步驟1的對應(yīng)法則寫成明文數(shù)字串，再按每行n個數(shù)字的先后順序?qū)懗梢粋€m×n的明文數(shù)字矩陣A(末尾一行不足n個數(shù)字，以0補齊)。計算B=AP，再把m×n矩陣B的m行排成一列，得到密文M，把M發(fā)給乙。

解密算法：

乙收到甲發(fā)來的密文M后，按每行n個數(shù)字的先后順序得到m×n矩陣B，再計算

BP-1=APP-1=A，用再把矩陣A按行的先后順序排成一列，即可得到明文X。

注2 密碼算法中，若乙用私鑰P-1對明文加密發(fā)給甲，甲接收到乙的密文后，用私鑰P解密，乙也同樣可以發(fā)給甲加密的信息。

例2 甲要發(fā)一條明文為“This is a interesting book”的加密信息給乙。

第2步 甲把明文替換成明文數(shù)字串，“20 8 9 19 0 9 19 0 1 0 9 14 20 5 18 5 19 20 9 14 7 0 2 15 15 11 0”。每行3個數(shù)字(最后一行只有兩個數(shù)字，補上數(shù)字0)，按先后順序把數(shù)字串寫成m×3明文數(shù)字矩陣A，再用私鑰P對A進行加密運算，得到密文數(shù)字矩陣B。

第3步 甲按行的先后順序，把矩陣B排成一行，得出密文M=19 28 8 8 16 26 16 8 18 3 23 14 18 4 28 4 20 15 16 10 1 16 17 17 26 12 26，并把M發(fā)給乙。這樣，即使其他人截獲M，在不知道解密密鑰P-1的情況下，也不知道M的明文內(nèi)容X。

第4步 乙收到甲發(fā)來的密文M，把M每行3個數(shù)字，按先后順序?qū)懗蒻×3矩陣，可得到密文數(shù)字矩陣B。

第5步 乙再用私鑰P-1進行解密運算

得到明文數(shù)字矩陣A，把A的每行按先后順序排成一列，得到明文數(shù)字串“20 8 9 19 0 9 19 0 1 0 9 14 20 5 18 5 19 20 9 14 7 0 2 15 15 11 0”。

第6步：再置換成字母，得明文X 為“This is a interesting book ”。

[1] 張禾瑞, 郝炳新.高等代數(shù)[M]. 第5版.北京:高等教育出版社, 2007.

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].第2版.北京:高等教育出版社, 1988.

[3] 王萼芳. 高等代數(shù)[M]. 北京:高等教育出版社, 2009.

[4] 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等代數(shù)與解析幾何[M]. 北京:高等教育出版社, 2005.

[5] 丘維聲. 高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2005.

[6] 張奠宙, 唐瑞芬, 劉鴻坤. 數(shù)學(xué)教育學(xué)[M]. 南昌:江西教育出版社, 2003.

2016-07-19

魏先彪(1972-)，男，安徽舒城人，副教授，博士，主要研究方向是代數(shù)學(xué)、群論。

G642.2

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1674-2273(2016)06-0061-04