嚴(yán)惠云,師義民,蘇劍,李爽

(1.西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,710072,西安;2.西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,710049,西安;3.西安財經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計學(xué)院,710100,西安)

?

色噪聲激勵下非線性隨機經(jīng)濟周期模型及其穩(wěn)定性分析

嚴(yán)惠云1,師義民1,蘇劍2,李爽3

(1.西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,710072,西安;2.西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,710049,西安;3.西安財經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計學(xué)院,710100,西安)

針對經(jīng)濟變量之間的非線性關(guān)系和不確定因素對經(jīng)濟系統(tǒng)的隨機干擾問題,根據(jù)Goodwin消費函數(shù)和Puu函數(shù)建立了色噪聲激勵下的非線性動力學(xué)經(jīng)濟周期模型,利用統(tǒng)一色噪聲近似原理和等效非線性化方法將模型進行了簡化,由此得到了一個等效非線性白噪聲模型,以獲取判斷動力系統(tǒng)穩(wěn)定性的最大Lyapunov指數(shù)。研究結(jié)果表明,最大Lyapunov指數(shù)與噪聲的自相關(guān)時間、邊際消費率及噪聲強度有關(guān)。當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)的正、負號發(fā)生變化時,系統(tǒng)的穩(wěn)定性也隨之改變。若將突發(fā)戰(zhàn)爭、國家宏觀經(jīng)濟政策調(diào)控等經(jīng)濟系統(tǒng)的外干擾看作色噪聲,邊際消費作為模型參數(shù),則在邊際消費率較小的情況下可以通過加大對經(jīng)濟系統(tǒng)的干預(yù),如國家的經(jīng)濟政策調(diào)整等,來穩(wěn)定經(jīng)濟系統(tǒng)的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。該研究結(jié)果可為實現(xiàn)宏觀經(jīng)濟的持續(xù)增長研究提供參考。

經(jīng)濟周期模型;Gauss色噪聲;非線性動力學(xué);Lyapunov指數(shù);邊際消費

經(jīng)濟系統(tǒng)是一個復(fù)雜系統(tǒng),其復(fù)雜性表現(xiàn)為經(jīng)濟變量之間的非線性關(guān)系和不確定因素對系統(tǒng)的隨機干擾。非線性動力學(xué)方法能準(zhǔn)確刻畫復(fù)雜系統(tǒng)的非線性特性,有效分析復(fù)雜系統(tǒng)的演化過程。20世紀(jì)30年代法國的物理學(xué)家Le Corbeiller提出了利用非線性力學(xué)的振動理論來研究經(jīng)濟周期問題[1],自此研究者應(yīng)用非線性動力學(xué)方法從定性到定量對經(jīng)濟問題進行了研究,此后的20年中非線性經(jīng)濟周期模型的研究處于興盛時期,非線性經(jīng)濟周期模型[2-3]表現(xiàn)出了與線性周期模型完全不同的特征,其極限環(huán)[4-6]、Hopf分岔[7]、全局分岔及吸引子[8]、瞬態(tài)混沌[9]等復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象引起了學(xué)者的研究興趣,近些年已經(jīng)從對確定性經(jīng)濟周期模型的研究轉(zhuǎn)化為隨機經(jīng)濟周期模型的研究[10-11]。

目前的研究成果中,在對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔和混沌行為進行研究時,外部激勵局限于周期擾動或白噪聲。白噪聲的功率是無限的,事實上真實的噪聲具有有限的功率,因此作為外在干擾,白噪聲不能描述真實的外激勵情況,而具有有限功率的色噪聲則更為符合實際情況[12-15]。由于色噪聲激勵下的隨機經(jīng)濟系統(tǒng)具有非常復(fù)雜的動力學(xué)行為,因此目前還未發(fā)現(xiàn)色噪聲激勵下的隨機經(jīng)濟系統(tǒng)的研究成果,現(xiàn)有的成果大多局限于理論研究,實證研究較少,模型的假設(shè)與實際情況存在著較大的差異。

鑒于以上情況,本文擬將突發(fā)戰(zhàn)爭、國家宏觀經(jīng)濟政策調(diào)控等經(jīng)濟系統(tǒng)的外部干擾看作高斯色噪聲激勵,建立了高斯色噪聲激勵下的非線性動力學(xué)經(jīng)濟周期模型,采用部分線性化方法有效弱化了模型的非線性強度和復(fù)雜性,接著應(yīng)用最大Lyapunov指數(shù)研究了該模型的穩(wěn)定性,最后結(jié)合歷史數(shù)據(jù)對模型的穩(wěn)定性變化做了實證分析,以期能有效分析真實經(jīng)濟系統(tǒng)穩(wěn)定變化的原因,進而為國家的宏觀經(jīng)濟調(diào)控決策提供參考依據(jù)。

1 經(jīng)濟周期模型及其等效非線性化

1.1 經(jīng)濟周期模型

根據(jù)Goodwin的消費函數(shù)[4]和Puu的投資函數(shù)[16],在參考文獻[10]的基礎(chǔ)上建立了如下無量綱的經(jīng)濟周期模型

(1)

式中:Q(t)為高斯色噪聲,滿足

色噪聲激勵下的模型(1)不是一個馬爾可夫過程[17],因此本文利用統(tǒng)一色噪聲近似原理[18]將模型(1)簡化成一個便于討論的高斯白噪聲激勵下的非線性模型。

1.2 模型(1)的噪聲白化

根據(jù)統(tǒng)一色噪聲近似原理,模型(1)可以由白噪聲激勵下的方程組來近似,即

(2)

式中:Γ(t)為高斯白噪聲,滿足〈Γ(t)〉=0及〈Γ(t)·Γ(t′)〉=2Dδ(t-t′)。

(3)

對式(3)中的第3個等式的兩邊關(guān)于t進行求導(dǎo),再將求導(dǎo)后的結(jié)果帶入式(3)的第2個等式中可得模型

(4)

式中:c(y)=-vy3-uy-(1-α)x。

(5)

將式(5)帶入式(1)就可得到模型(1)在高斯白噪聲激勵下的近似經(jīng)濟周期模型

(6)

可以看出,由于γ(y,τ)是y的非線性函數(shù),且出現(xiàn)在模型(6)的分母上,因此模型(6)是一個關(guān)于y的強非線性模型,沒有辦法直接對其計算最大Lyapunov指數(shù)。本文考慮將模型(6)部分線性化,得到相應(yīng)的一個等效非線性模型,從而降低模型(6)的非線性強度和復(fù)雜性。

1.3 模型(6)的等效非線性近似

(7)

(8)

為了檢驗?zāi)Ｐ?8)的近似精度,在取不同參數(shù)值的情況下,計算了模型(6)和模型(8)的數(shù)值解,結(jié)果如圖1～圖3所示。

圖1 τ=0.25、L=0.2時模型(6)和模型(8)的數(shù)值解

圖2 τ=0.9、L=0.2時模型(6)和模型(8)的數(shù)值解

圖3 τ=0.5、L=0.9時模型(6)和模型(8)的數(shù)值解

由圖1～圖3可以看出,平衡點(0,0)附近,模型(8)對模型(6)的近似比較理想。因此,下面就以模型(8)來討論模型(1)在平衡點(0,0)處的穩(wěn)定性隨噪聲及參數(shù)的變化情況。

2 最大Lyapunov指數(shù)的計算

最大Lyapunov指數(shù)因為計算簡單,通常被用于判斷動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性[19]。本文利用擬非可積哈密頓系統(tǒng)的隨機平均法[20]計算了模型(8)的最大Lyapunov指數(shù)。

(9)

模型(9)的Wong-Zakai修正項為

修正后的模型(9)為

(10)

(11)

則有

因為

所以

由此,可以得到模型(8)的最大Lyapunov指數(shù)

(12)

3 經(jīng)濟周期模型穩(wěn)定變化的實證分析

根據(jù)遍歷性定理[21],模型(8)表示的經(jīng)濟系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是最大Lyapunov指數(shù)λ<0。從式(12)可以看出,λ是邊際消費率α、噪聲的自相關(guān)時間長度τ及噪聲強度L的三元函數(shù)。由于λ<0的解析解無法得到,因此將λ的正負號隨τ、α及L的變化用蒙特卡洛圖表示,如圖4～圖7所示。

圖4 L=0.001時不同τ下λ隨著α的變化

圖5 當(dāng)L=0.01時不同τ下λ隨著α的變化

圖6 當(dāng)L=0.1時不同τ下λ隨著α的變化

圖7 當(dāng)L=0.5時不同τ下λ隨著α的變化

由圖4可以得知如下結(jié)論。

(1)當(dāng)經(jīng)濟系統(tǒng)的外激勵強度、外激勵的自相關(guān)時間長度及邊際消費率發(fā)生變化時,系統(tǒng)的穩(wěn)定性會隨之發(fā)生改變。

(2)當(dāng)L=0.001、α<0.5時,無論τ取何值,λ均大于0。由此可知:當(dāng)α<0.5時,在外部激勵影響很小的情況下,模型(8)定義的經(jīng)濟系統(tǒng)將處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

當(dāng)外激勵的噪聲強度發(fā)生變化時,邊際消費率及噪聲的自相關(guān)時間對模型穩(wěn)定性的影響也會發(fā)生變化,對比圖4～圖7可以得知如下。

(1)在L逐步增大的過程中,經(jīng)濟系統(tǒng)穩(wěn)定性的內(nèi)在條件由較大的邊際消費率變化到了較小的邊際消費率。這正說明,外激勵的強度對經(jīng)濟系統(tǒng)穩(wěn)定性的作用,即在較小的邊際消費率的情況下,可以通過加大對經(jīng)濟系統(tǒng)的干預(yù),如國家的經(jīng)濟政策調(diào)整等,來穩(wěn)定經(jīng)濟系統(tǒng)的發(fā)展。

(2)噪聲的自相關(guān)時間長度會影響經(jīng)濟系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在L不變的情況下,噪聲的自相關(guān)時間越長,系統(tǒng)穩(wěn)定時的邊際消費率就越小。如果將噪聲的自相關(guān)時間看作是經(jīng)濟干預(yù)的周期長度,那么自相關(guān)時間越短,干預(yù)就越頻繁。頻繁的經(jīng)濟干預(yù)本身就會干擾經(jīng)濟的正常發(fā)展,影響經(jīng)濟系統(tǒng)的穩(wěn)定性,因此建議在實現(xiàn)宏觀經(jīng)濟的持續(xù)增長期間,國家在對宏觀經(jīng)濟調(diào)控時應(yīng)該制定持續(xù)有效的經(jīng)濟政策,朝令夕改的經(jīng)濟政策只能讓經(jīng)濟的發(fā)展更不穩(wěn)定。

(3)文獻[22]測算出中國在1998年的邊際消費率為0.375 7(其他年份均大于0.5)。事實上,1997年發(fā)生的亞洲金融危機影響到了中國的經(jīng)濟發(fā)展,中國1998年的經(jīng)濟發(fā)展出現(xiàn)了不穩(wěn)定現(xiàn)象。為了穩(wěn)定經(jīng)濟發(fā)展,中國政府在1998年實行了積極有力的財政政策和貨幣政策,促使經(jīng)濟增長率很快得到了提升[23]。這說明本文的實證分析符合中國經(jīng)濟發(fā)展的現(xiàn)實情況,驗證了該經(jīng)濟周期模型的有效性。

4 結(jié) 論

本文采用非線性動力學(xué)方法研究了高斯色噪聲激勵下的經(jīng)濟系統(tǒng)的穩(wěn)定性,獲得的主要結(jié)論如下。

(1)在經(jīng)濟系統(tǒng)的平衡點附近,以邊際消費率為內(nèi)因,將其他干擾看作外因,得到色噪聲激勵下的隨機非線性經(jīng)濟周期模型。實證分析表明,邊際消費率、噪聲自相關(guān)時間長度及噪聲強度均會影響經(jīng)濟周期模型的穩(wěn)定性。

(2)當(dāng)邊際消費率小于0.5時,經(jīng)濟系統(tǒng)將出現(xiàn)不穩(wěn)定性現(xiàn)象,此時政府可以通過宏觀政策調(diào)控來促進經(jīng)濟的穩(wěn)定發(fā)展,同時所施行的財政政策及貨幣政策應(yīng)該比經(jīng)濟平穩(wěn)發(fā)展時期的調(diào)整力度大一些,政策調(diào)控的頻率要小,才能有效的恢復(fù)經(jīng)濟的穩(wěn)定發(fā)展。

[1] ICHIMURA S. Toward a general nonlinear macro dynamics theory of economic fluctuations [M]. New Brunswick, NJ, USA: Rutgers University Press, 1954: 192-226.

[2] KALDOR N. A model of the trade cycle [J]. Economy, 1940(50): 78-92.

[3] KALECKI M. A macro dynamic theory of business cycles [J]. Econometrics, 1935(3): 327-344.

[4] GOODWIN R M. The non-linear accelerator and persistence of business cycle [J]. Econometrics, 1951(19): 1-17.

[5] HICKS J R. A contribution to the theory of the trade cycle [M]. Oxford, UK: Oxford University Press, 1950: 56-72.

[6] HICKS J R. Harrod’s dynamic theory [J]. Econometrics, 1949(16): 106-121.

[7] SZYDLOWSKI M, KRAWIEC A. The stability problem in the Kaldor-Kalecki business cycle model Chaos [J]. Solitons and Fractals, 2005, 25(6): 299-305.

[8] AGLIARI A, GARDINI L, PUU T. Some global bifurcations related to the appearance of closed invariant curves [J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2005, 68(3), 201-219.

[9] LI Shuang, LI Qian, LI Jiaorui, et al. Chaos prediction and control of Goodwin’s nonlinear accelerator model [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2011, 12(4): 1950-1960

[10]沈菲. 經(jīng)濟系統(tǒng)中的隨機分岔與混沌現(xiàn)象研究 [D]. 天津: 天津大學(xué), 2005: 38-78.

[11]李偉, 徐偉, 趙俊峰. 一個經(jīng)濟周期模型的穩(wěn)定性及其近似計算 [J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認識, 2008, 38(12): 120-124.

LI Wei, XU Wei, ZHAO Junfeng. The stability and approximate solution of a business cycle model [J]. Mathematics in Practice and Theory, 2008, 38(12): 120-124.

[12]WANG Nan, SONG Aiguo. Set-reset latch logical operation induced by colored noise [J]. Physics Letters: A, 2014, 378(22/23): 1588-1592.

[13]NAKANISHI T, TSURUHA K. Simulation study of beam extraction from a synchrotron using colored noise with digital filter [J]. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section: A Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, 2009, 608(1): 37-41.

[14]KANG Yanmei, JIANG Yaolin. A semi-analytic method for computing the long-time order parameter dynamics in mean-field coupled overdamped oscillators with colored noises [J]. Physics Letters: A, 2008, 372(46): 6826-6832.

[15]HU D L, HUANG Y, LIU X B. Moment Lyapunov exponent and stochastic stability of binary airfoil driven by non-Gaussian colored noise [J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 70(3): 1847-1859.

[16]PUU T, SUSHKO I. A business cycle model with cubic nonlinearity [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2004, 19(3): 597-612.

[17]HUANG Yong, TAO Gang. A feedback control strategy for the airfoil system under non-Gaussian colored noise excitation [J]. An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2014, 24(3): 03311.

[18]JUNG P, HANGGI P. Dynamical systems: a unified colored-noise approximation [J]. Physical Review, 1987, 35(1): 4464-4466.

[19]胡崗. 隨機力與非線性系統(tǒng) [M]. 上海: 上?？萍冀逃霭嫔? 1994: 197-198.

[20]朱位秋. 非線性隨機動力學(xué)與控制: Hamiltonian理論體系框架 [M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2003: 286-295.

[21]OSELEDEC V I. A multiplicative ergodic theorem: Lyapunov characteristic number for dynamical systems [J]. Transaction of Moscow Mathematical Society, 1968, 19(19): 197-231.

[22]YAN Huiyun, SHI Yimin. Nonlinear dynamical analysis and demonstration on Chinese business cycle [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 218(5): 1547-1552.

[23]王灝. 中國財政貨幣政策協(xié)調(diào)研究 [D]. 天津: 南開大學(xué), 2009: 120-149.

(編輯 苗凌)

Stability of Business Cycle Model with a Gauss Colored Noise Excitation

YAN Huiyun1,SHI Yimin1,SU Jian2,LI Shuang3

(1. School of Science, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;2. School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;3. School of Statistics, Xi’an University of Finance and Economics, Xi’an 710100, China)

For nonlinear relationships between economic variables and uncertainties to the economic system of random interference problem, a nonlinear dynamical business cycle model with Gauss colored noise is established via Goodwin consumption function and Puu investment function, and the model is simplified with a uniform colored noise approximation theory and equivalent nonlinear method. Furthermore, an equivalent nonlinear white noise model is obtained, then the largest Lyapunov exponents of the determined stability of the economic system is sought out. The approach shows that the largest Lyapunov exponent is related to the correlation time of noise, marginal consumption and noise intensity. The stability of the economic system varies with the change design of Lyapunov exponents. Choosing the sudden war, national macroeconomic policies and economic system interference as Gauss colored noise, and taking the marginal consumption as a model parameter, for the small marginal consumption rate, the economic system development can be stabilized by increasing interventions in the economic system, such as adjustment of national economic policies.

business cycle model; Gauss colored noise; nonlinear stochastic dynamics; Lyapunov exponent; marginal consumption

10.7652/xjtuxb201603022

2015-07-07。 作者簡介:嚴(yán)惠云(1977—),女,講師。 基金項目:全國統(tǒng)計科學(xué)研究計劃資助項目(2013LY067);陜西省教育廳基金資助項目(2014JK1276);陜西省統(tǒng)計研究中心基金資助項目(14DJ04)。

時間:2015-12-10

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20151210.1127.002.html

O322

:A

:0253-987X(2016)03-0141-06