孫嵐

破繭成蝶，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生
——以“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”教學(xué)為例

孫嵐

用適合的方案、適當(dāng)?shù)膯栴}、適時(shí)的跟進(jìn)和適宜的題型來引導(dǎo)學(xué)生研究性地進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而把學(xué)習(xí)當(dāng)成自己的事，這才是真正的學(xué)習(xí)。本文就“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”的教學(xué)設(shè)計(jì)談?wù)剬?duì)“讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生”的理解。

等比數(shù)列前n項(xiàng)和；教學(xué)設(shè)計(jì)；高中數(shù)學(xué)

在種類繁多的蛾子中，有一種叫“帝王蛾”，它的幼蟲生長(zhǎng)在繭中，要變成蛾時(shí)它必須拼盡全力往外沖，由于洞口過于狹小，不計(jì)其數(shù)的蛾子悲壯倒下。有人不忍看到這慘烈的一幕，便將洞口剪大，讓幼蟲可以輕而易舉地鉆出那可怕的牢籠，但這些沒有經(jīng)歷過“沖殺”的蛾子，卻永遠(yuǎn)與飛翔無緣，永遠(yuǎn)也無法成為真正的帝王蛾。帝王蛾如此，學(xué)生亦然，沒有經(jīng)歷探究的過程而直接傳授結(jié)論，就不會(huì)讓能力有所提升。所以課堂上教師的作用是讓學(xué)生看到“繭外世界的美好”，激發(fā)他們“破繭”的欲望，點(diǎn)撥他們“破繭”的方法，用適合的方案、適當(dāng)?shù)膯栴}、適時(shí)的跟進(jìn)和適宜的題型來引導(dǎo)學(xué)生研究性地進(jìn)行學(xué)習(xí)，把學(xué)習(xí)當(dāng)成自己的事，這樣才能讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。筆者以“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)勅绾巫龅健白寣W(xué)習(xí)真正發(fā)生”。

一、給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)適宜學(xué)習(xí)的情境

實(shí)踐證明，學(xué)生在不平等的環(huán)境中的學(xué)習(xí)是被動(dòng)的、緊張的、不愉快的。學(xué)生也容易產(chǎn)生厭學(xué)心理。因此，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生抱以期盼和希望，讓學(xué)生在寬松和諧的學(xué)習(xí)氛圍中找到自己，自主進(jìn)行學(xué)習(xí)。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中指出：教材應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體事例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識(shí)的來龍去脈。那么什么樣的情境才能讓學(xué)生有探索新知的欲望，才能使師生處于平等的位置，讓學(xué)生主動(dòng)、輕松地學(xué)習(xí)呢？

我是這么教學(xué)的——

師：大家好，這節(jié)課我們一起來做個(gè)游戲，現(xiàn)在我來分配一下角色，你們是印度的國(guó)王，我是國(guó)際象棋的發(fā)明者。我想向您請(qǐng)求一些賞賜，賞賜的條件是，在國(guó)際象棋棋盤的第一個(gè)格子里放一粒麥子，第二個(gè)格子里放2粒麥子，第三個(gè)格子里放4粒麥子，第4個(gè)格子里放8粒麥子，以此類推，后一個(gè)格子里的麥粒數(shù)是前一個(gè)格子麥粒數(shù)的2倍。國(guó)王陛下，您能把這樣放滿整個(gè)棋盤64個(gè)格子的所有麥粒都賞賜給我嗎？

（學(xué)生在思考，沒有應(yīng)答）

師：這是一個(gè)什么數(shù)學(xué)問題？

生：等比數(shù)列。

師：哪句話體現(xiàn)了這是一個(gè)等比數(shù)列？

生：后一個(gè)格子里的麥粒數(shù)是前一個(gè)格子麥粒數(shù)的2倍。

師：那么等比數(shù)列的定義是什么？通項(xiàng)怎么表示？有幾個(gè)基本量？

角色扮演式的課堂引入，讓學(xué)生體驗(yàn)到新鮮感，在一定程度上體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)上的主體地位。此外，問題設(shè)計(jì)的起點(diǎn)較低，每個(gè)學(xué)生都能做出對(duì)應(yīng)的回答，增強(qiáng)了他們后續(xù)學(xué)習(xí)的信心。學(xué)生具備了探索的欲望，何愁他們會(huì)不認(rèn)真學(xué)習(xí)呢？

二、讓學(xué)生找到通往新知的階梯

美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：“知識(shí)的獲得是一個(gè)主動(dòng)的過程，學(xué)習(xí)者不應(yīng)是信息的被動(dòng)接受者，而應(yīng)是知識(shí)獲得過程中的主動(dòng)參與者?！彼^“授人以魚，不如授人以漁”，優(yōu)良學(xué)習(xí)方法、思維方法的習(xí)得，會(huì)讓學(xué)生的學(xué)習(xí)變得更有效、更深入。本節(jié)課的難點(diǎn)是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，在教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，并使之內(nèi)化為學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一部分，而不僅僅是生搬硬套的結(jié)論。繼續(xù)上面的游戲——

師：“國(guó)王陛下，您能把這樣放滿整個(gè)棋盤64個(gè)格子的所有麥粒都賞賜給我嗎？”這又是一個(gè)什么數(shù)學(xué)問題？

生：等比數(shù)列前n項(xiàng)和。

師：能算出來是多少嗎？

生：項(xiàng)數(shù)太多了，死算算不出來。

師：那么你們之前有遇到過類似的問題嗎？

生：等差數(shù)列前n項(xiàng)和。

師：當(dāng)時(shí)我們是采用什么方法解決？

生：倒序相加。

類比等差數(shù)列前n項(xiàng)和，對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和我們能否找到一個(gè)有效的手段來消項(xiàng)？

生：也用倒序相加。

師：試試看，是否可行。

學(xué)生（嘗試1分鐘后）：不可以，不能進(jìn)行消項(xiàng)。

師：那怎么辦呢？等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的聯(lián)系到底在哪里呢？

生：后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值是一個(gè)定值。

師：很好，請(qǐng)大家圍繞等比數(shù)列的這一定義，目標(biāo)是消項(xiàng)，尋求基本量的最簡(jiǎn)形式，探求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，我給大家3分鐘的時(shí)間，可以嘗試不同方法。

師追問：怎么想到乘以q，乘q之后有何好處？

生1：考慮到等比數(shù)列的定義，后一項(xiàng)等于前一項(xiàng)乘以公比q，乘q之后產(chǎn)生了很多公共的項(xiàng)，作差就達(dá)到了“消項(xiàng)”的目的。

師：很好，你來具體說說。

上面式子的第2項(xiàng)和下面式子的第1項(xiàng)相同，上面式子的第3項(xiàng)和下面式子的第2項(xiàng)相同……，上面式子的最后一項(xiàng)和下面式子的倒數(shù)第二項(xiàng)相同。作差得，(1-q)Sn=a1-anq，即

師：q=1時(shí)呢？

生1：每一項(xiàng)都相同，等于a1，所以Sn=na1。

師：能不能總結(jié)一下求解的基本步驟？

生1：乘以公比，錯(cuò)位，相減，化簡(jiǎn)。

師：總結(jié)的非常到位，所以我們可以給它命名為？

生：錯(cuò)位相減法。

知識(shí)的習(xí)得是一個(gè)螺旋上升的過程，很多新舊知識(shí)之間存在一種“溫故而知新”的關(guān)系，教師不是急于給出結(jié)果，而是起到一個(gè)穿針引線，搭建一條連接新舊知識(shí)階梯的作用。通過與等差數(shù)列求和方法的類比，把求和的計(jì)算轉(zhuǎn)化到如何進(jìn)行“消項(xiàng)”。學(xué)生在自己的自主探究與教師的引導(dǎo)中，感悟更加清晰，思維更加深刻。這也有力地說明了教學(xué)活動(dòng)不能直接灌輸，而應(yīng)該在學(xué)生的活動(dòng)與思考后加以點(diǎn)撥，這樣的設(shè)計(jì)使學(xué)生在理解和接受數(shù)學(xué)思想方法層面上是科學(xué)和自然的，給學(xué)生一種水到渠成之感。

三、為學(xué)生搭建思維共鳴的舞臺(tái)

著名數(shù)學(xué)家斯托伊亞爾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)（思維過程）的教學(xué)，而不是數(shù)學(xué)結(jié)果（數(shù)學(xué)知識(shí)）的教學(xué)?！笨梢?，思維過程是教學(xué)的核心，數(shù)學(xué)教育應(yīng)著眼于培養(yǎng)學(xué)生終身發(fā)展的能力，我們的課堂應(yīng)著力于提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，因此，不講思路和過程，忽視思想和方法，將結(jié)論硬塞給學(xué)生，無疑會(huì)抑制學(xué)生的探索、創(chuàng)新能力，阻礙學(xué)生的思維發(fā)展。那么如何才能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生得到終身發(fā)展呢？這就要求教師在課堂上不能以 “教”代“學(xué)”，而是要讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、收集、理解這一學(xué)習(xí)的過程。

等比數(shù)列公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，如何想到錯(cuò)位相減這一方法也是本節(jié)課要突破的關(guān)鍵點(diǎn)，要突破這些教學(xué)難點(diǎn)不是一問一答就能完全解決的，而是要通過幾個(gè)環(huán)節(jié)的跟進(jìn)，讓更多的學(xué)生思考得更充分、更深入。通過學(xué)生思維的交流捕捉學(xué)生想法中的閃光點(diǎn)和值得商榷的地方。在類比等差數(shù)列求和方法的時(shí)候，學(xué)生在交流時(shí)發(fā)現(xiàn)求和的關(guān)鍵是消項(xiàng)，于是提出了也用倒序相加的方法對(duì)等比數(shù)列進(jìn)行消項(xiàng)，教師并沒有急于否定，而是讓學(xué)生自己嘗試，在探究中發(fā)現(xiàn)消項(xiàng)的關(guān)鍵是觀察項(xiàng)與項(xiàng)之間的聯(lián)系，在矛盾沖突中讓學(xué)生的思維不斷碰撞，得出項(xiàng)與項(xiàng)的聯(lián)系就在于后一項(xiàng)等于前一項(xiàng)乘以公比，從而讓學(xué)生自己找出等比數(shù)列的求和方法，比如，有學(xué)生指出可以根據(jù)定義：a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，…，an=an-1q。累加得：Sn-a1=q（Sn-an）化簡(jiǎn)得：當(dāng)q≠1時(shí)

這樣教師把問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生自己思考，在亦退亦進(jìn)間，讓學(xué)生經(jīng)歷了思維的沖擊，開闊了視野，享受了學(xué)習(xí)的過程。讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，教師的作用就在于構(gòu)建一個(gè)讓學(xué)生學(xué)習(xí)、經(jīng)歷的“有意義”的過程，使他們?cè)谶^程體驗(yàn)中理解和把握知識(shí)，從而形成自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，更重要的是形成自己的“思想”，最終從認(rèn)識(shí)走向求知，從有形走向無形，從單一走向立體。

如果說“授人以魚，不如授人以漁”，那么我覺得，授人以漁，必先授人以欲。課堂教學(xué)中，我們要做的不是為學(xué)生“剪開洞口”，而是通過對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行組織和調(diào)整來激發(fā)學(xué)生的欲望，鍛煉他們的技能，讓他們形成“破繭”的能力。讓他們通過自己的思考、交流、探索生成屬于自己的知識(shí)，進(jìn)而培養(yǎng)他們的習(xí)慣、提升他們的能力、從而內(nèi)化成自身的素質(zhì)。我們要培養(yǎng)的不是被抱出洞口的孱弱的“蟲子”，而是蛻變出強(qiáng)有力翅膀的“帝王蛾”。

［1］謝麗麗，楊光偉.激活思維，“生動(dòng)”課堂——“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”教學(xué)研探［J］.中學(xué)教研，2014（06）.

［2］王斌.展示思維過程提高思辨能力［J］.寧德師專學(xué)報(bào)：自然科學(xué)，2007（03）.

［3］張金平.建構(gòu)“有意義”的學(xué)習(xí)經(jīng)歷［J］.江蘇教育：小學(xué)教學(xué)，2016（01）.

G633.6

A

1005-6009（2016）54-0032-02

孫嵐，江蘇省沙溪高級(jí)中學(xué)（江蘇太倉(cāng)，215421）教師，一級(jí)教師。