“圓來”如此簡單
——“借圓”來求銳角三角函數(shù)值
趙軍
【引例】蘇科版九年級《數(shù)學(xué)》上冊第52頁,習(xí)題2.3第3題:如圖1,在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°.經(jīng)過A、B、D三點作⊙O,檢驗點C是否在⊙O上,并說明理由.
圖1
【說明】在引例中,連接BD,取BD的中點N,連接NA、NC,在Rt△BCD中,NB=NC=ND;Rt△BAD中,NB=NA=ND,所以NA=NB=NC= ND,故A、B、C、D四點在以N為圓心,NA為半徑的圓上.由此我們可以得到這樣一個結(jié)論:有一組對角均為直角的四邊形四個頂點共圓.為敘述方便,我們把它稱為基本結(jié)論.
例1如圖2,在正方形ABCD中,點E、F分別為邊AD、CD的中點,BE,AF相交于點G,連接CG,則tan∠CGF=.
圖2
圖3
【常規(guī)思路】如圖3,延長AF、BC交于一點H,由E、F分別為邊AD、CD的中點,可證得△ABE≌△DAF,∴∠ABE=∠DAF,由正方形ABCD得:∠BAG+∠DAF=90°,∴∠BAG+∠ABE= 90°,即:∠BGH=90°.容易證得△DAF≌△CHF,所以AD=HC,∠H=∠DAF,∵AD=BC,∴BC= HC,∴在Rt△BGH中,CB=CG=CH,∴∠CGF=∠H,∴∠CGF=∠H=∠ABE.∴tan∠CGF=tan∠ABE =
【“圓來”如此】如圖4,在求得∠BGF=90°、∠BCF=90°后,由基本結(jié)論可知:B、C、F、G四點共圓,∴tan∠CGF=tan∠CBF=
圖4
例2(2013·黑龍江哈爾濱)如圖5,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,過點O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4,△AOE的面積為5,則sin∠BOE的值為.
圖5
圖6
【常規(guī)思路】如圖6,連接EC,由題意可得OE為AC的垂直平分線,
∴CE=AE,S△AOE=S△COE=5,
所以S△AEC=AE·BC=10,
∵BC=4,∴AE=5,∴CE=5,
在Rt△BCE中求得:BE=3,∴AB=8,
【“圓來”如此】如圖7,由題意可知:∠EOC= 90°,∠EBC=90°,
∴B、C、O、E四點共圓,
圖7
∴∠BOE=∠BCE,
∴在Rt△BCE中,
在求銳角三角函數(shù)值的過程中,有時我們會陷入“絕境”.事實上,求一個銳角的三角函數(shù)值,無非兩種思路,一種是原角不動,想辦法構(gòu)造直角三角形去求;另一種是對原角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,找出與它相等的角進(jìn)行替換,間接來求.在第二種方法中,我們特別要注意隱形圓的存在,找到了圓就可以考慮運用圓周角定理對角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,這就要求我們能夠準(zhǔn)確地判斷出哪四點共圓,因此要抓住課本引例中基本結(jié)論:“有一組對角均為直角的四邊形的四個頂點在同一個圓上.”這很關(guān)鍵,進(jìn)一步我們還可以將基本結(jié)論推廣為:“對角互補的四邊形四點共圓.”有興趣的同學(xué)可以做進(jìn)一步的探究,并希望同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中注意這個基本結(jié)論的靈活運用.
(作者單位:江蘇省東臺市新街鎮(zhèn)中學(xué))
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