周瑞雪，伍 東，賀啟亮

(貴州師范大學(xué) 物電院，貴州 貴陽 550001)

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大學(xué)物理教學(xué)中微積分知識與物理問題的銜接

周瑞雪，伍 東，賀啟亮

(貴州師范大學(xué) 物電院，貴州 貴陽 550001)

微積分在大學(xué)物理教學(xué)中應(yīng)用很多，文章主要針對微分概念和積分知識在大學(xué)物理中的應(yīng)用問題的銜接方面，從物理問題應(yīng)用的角度闡述了微分概念、定積分概念、曲邊梯形面積的計算、求和式的極限，用微積分知識計算瞬時速度、瞬時加速度、質(zhì)點運動位移時的銜接，以及用定積分知識解決其他物理問題的銜接，典型的有變力做功問題、電流激發(fā)磁場的B值計算、質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量問題等等。

微積分；物理問題；銜接

引言

在大學(xué)物理教學(xué)中，學(xué)生最先接觸到的就是微積分知識在物理中的應(yīng)用，有些學(xué)生在高中時學(xué)了一點微分的知識，但積分知識基本上沒有學(xué)。進入大學(xué)后，在高等數(shù)學(xué)這門課程的學(xué)習(xí)中會學(xué)到微積分的知識內(nèi)容，但往往學(xué)了以后也是數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的，物理是物理的，在開始大學(xué)物理這門課程的學(xué)習(xí)時不怎么會把數(shù)學(xué)知識和物理問題銜接起來，也不會很快把數(shù)學(xué)中學(xué)到的知識應(yīng)用到物理學(xué)中來，不會融會貫通，因此有必要將微積分知識與物理問題的銜接詳述如下。

1 數(shù)學(xué)中的微分概念與物理中瞬時速度瞬時加速度概念的銜接

1.1 問題的提出和解決

從上面看出，解決物理問題變成了用數(shù)學(xué)的求導(dǎo)數(shù)方法來計算，為什么？

1.2 數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處有增量Δx，與此相應(yīng)，函數(shù)y也發(fā)生一增量Δy，

叫作函數(shù)y=f(x)在x到x+Δx之間的平均變化率。

(1)

以上是數(shù)學(xué)中定義導(dǎo)數(shù)的概念

1.3 物理學(xué)中瞬時速度和瞬時加速度的定義

瞬時速度可看作在某一很短很短時間內(nèi)的平均速度，即Δt→0時的平均速度，瞬時加速度同樣也是Δt→0時的平均加速度，公式可寫成如下：

(2)

(3)

1.4 導(dǎo)數(shù)的計算與瞬時速度和瞬時加速度計算的銜接

2 數(shù)學(xué)中定積分概念與計算質(zhì)點運動位移問題的銜接

2.1 問題的提出和解決

某質(zhì)點做下列三種運動:①勻速直線運動；②勻變速直線運動；③變速直線運動；分別計算時間從t到t+Δt時刻質(zhì)點的位移Δx=？。已知初速度為v0，初始位置為x0

①質(zhì)點做勻速直線運動的位移Δx=v0Δt由勻速運動的v-t圖像(圖1)可知位移的大小可等于圖中陰影部分面積。

圖1

圖2

③ 質(zhì)點做變速直線運動的位移怎樣計算呢？

由于變速運動的速度不斷改變，我們可把它分為無數(shù)多個時間很短的運動，時間很短的情況下速度變化不大，可近似看作是勻速運動，勻速運動的位移大小等于v-t圖像下面的矩形面積。

如圖3我們可把此曲邊梯形劃分為無數(shù)多個小長條，而其中的小長條面積可看成一個時間很短近似于質(zhì)點勻速運動的位移，那么全部小長條面積加起來即是此曲邊梯形的面積，此曲邊梯形的面積的大小即是質(zhì)點做變速直線運動的位移。

圖3

2.2 數(shù)學(xué)中的定積分概念

(4)

2.3 關(guān)于曲邊梯形的面積和物體運動的位移

2.3.1 曲邊梯形的面積：如圖4

圖4

圖5

由y=f(x)的函數(shù)曲線以及直線x=a、x=b和x軸所圍成的圖形叫作曲邊梯形，

(5)

從(5)看出，和式的極限能夠精確地描述曲邊梯形的面積ΔS

2.3.2 物體運動的位移

(6)

由(6)看出，和式的極限能夠精確描述質(zhì)點的位移ΔS。

(5)、(6)都是和式的極限，定義為積分，將 (4)式與(5)、(6)式比較，可知物體運動的位移即是曲邊梯形的面積，用Δx表示質(zhì)點運動的位移、x(t)表示質(zhì)點的運動方程，x0表示質(zhì)點運動的初位置，得到：

由此得出，若已知質(zhì)點運動的速度與時間的函數(shù)關(guān)系及初始條件，可用積分的方法計算出質(zhì)點運動的位移及運動方程。

3 定積分知識解決其他物理問題的銜接

前面所述，在已知質(zhì)點作變速運動的速度函數(shù)關(guān)系和初始條件下，應(yīng)用定積分知識可計算出質(zhì)點運動的位移，定積分知識除了能解決上述問題，還能解決物理中的好多問題。

3.1 變力做功問題

如圖6 若質(zhì)點在一隨時間變化的變力F(t)作用下沿曲線運動而不是直線運動，需要計算此變力從A到B對質(zhì)點做功的表達式。

圖6

圖7

3.2 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量問題

3.3 電荷連續(xù)分布的帶電體的電場強度和電勢

圖8

整個帶電體在P點激發(fā)的電場強度和電勢即是每個電荷元激發(fā)的電場強度和電勢的疊加，那問題又歸結(jié)為求和式的極限，即數(shù)學(xué)中的定積分計算。

3.4 電流激發(fā)磁場的B值計算

導(dǎo)線通以電流時，在其周圍要產(chǎn)生磁場，把一載流導(dǎo)線看成是由許多個電流元連接而成，這樣，載流導(dǎo)線在磁場中某點所激發(fā)的磁感強度B就是由這導(dǎo)線的所有電流元在該點產(chǎn)生磁場dB的疊加，這就又歸結(jié)為求和式的極限，即數(shù)學(xué)中的定積分計算,如圖9。

圖9

3.5 載流導(dǎo)線在磁場中所受安培力的計算

對于一長直載流導(dǎo)線放在如圖10所示的磁場中時，其所受安培力大小為 F=BIL，前提條件是場是均勻磁場且方向與電流方向垂直，F(xiàn)的方向垂直于磁場方向與電流方向組成的平面。但如果磁場不是均勻場，載流導(dǎo)線不是直導(dǎo)線，則彎曲導(dǎo)線所受的安培力該怎樣計算？

圖10

圖11

如圖11，可將彎曲的載流導(dǎo)線分成無數(shù)多個小段，每一小段載流導(dǎo)線受到的安培力疊加起來即是整個彎曲導(dǎo)線受到的力，問題又歸結(jié)為求和式的極限，即數(shù)學(xué)中的定積分計算。

除了上面所述問題，物理學(xué)中還有很多用定積分知識解決的問題，如變力產(chǎn)生的沖量的計算問題、導(dǎo)線在磁場中切割磁力線產(chǎn)生感生電動勢問題計算、全電流安培環(huán)路定理、剛體力學(xué)中力矩作功問題、熱學(xué)中熱溫比的積分等于熵增加問題，等等，這里不再一一贅述。微積分知識在物理學(xué)中應(yīng)用很廣，知識銜接很重要。銜接好了，對物理問題的解決就會融會貫通，達到事半功倍的效果，在大學(xué)物理的教學(xué)中對于學(xué)生的知識理解有很大的幫助。

[1]東南大學(xué).物理學(xué)(上冊)第五版[M]. 北京:高等教育出版社,2006.

[2]F.W.sears . 大學(xué)物理學(xué)(第一冊)[M].郭泰運，譯.北京：人民教育出版社，1979.

[3]漆安慎，杜嬋英.力學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2005:281-297.

[4]徐德，劉聚成，袁貞豐.大學(xué)物理學(xué)習(xí)題解答[M]. 北京：人民教育出版社，1989.

[5]周衍柏.理論力學(xué). [M]. 北京：人民教育出版社，1982.

[6]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)第三版[M]. 北京:高等教育出版社.

The Connection between Calculus Knowledge and Physical Problems in College Physics Teaching

ZHOU Rui-xue,WU Dong,HE Qi-liang

(School of Physics and Electronics,Guizhou Normal University,Guiyang,Guizhou 550001 China)

Calculus is widely applied in college physics teaching, In this paper, we mainly aimed at the connection of the differential concept and the application of the integral knowledge in college physics, and mainly elaborated the concept of the differential concept and the definite integral, the calculation of curved edge trapezoid area, and the limit of the sum, using calculus knowledge to calculate instantaneous velocity and instantaneous acceleration, particle motion displacement connecting, and solving other physics problem connecting by definite integral knowledge, such as variable force-work problem, B value calculation of current induced magnetic field, moment of inertia of continuous mass distribution of rigid body, etc.

Calculus; Physical Problems; Connection

2016-04-25

國家自然科學(xué)基金：“環(huán)境噪音下腔QED的量子關(guān)聯(lián)”(項目編號：11364006)；貴州省科學(xué)技術(shù)基金：“基礎(chǔ)物理學(xué)問題專題研究” (項目編號：黔科合J字LKS[2013]12號)。

周瑞雪(1963-)，女，貴州畢節(jié)人，副教授。主要研究方向：基礎(chǔ)物理學(xué)、量子物理學(xué)。 伍 東(1957-)，男，四川成都人，高級工程師。主要研究方向：電子物理及通信工程。 賀啟亮(1982-)，男，貴州遵義人，副教授、博士。主要研究方向：量子關(guān)聯(lián)和量子信息研究。

G64

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1673-6125(2016)03-0064-05