潘旦光，丁民濤,陳 釩,2

(1.北京科技大學 土木工程系，北京 100083，2. 中電建路橋集團有限公司，北京 100048)

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簡支薄壁箱梁自由振動的攝動法解析解

潘旦光1，丁民濤1,陳 釩1,2

(1.北京科技大學 土木工程系，北京 100083，2. 中電建路橋集團有限公司，北京 100048)

為研究簡支薄壁箱梁中剪力滯效應對結構動力特性的影響，基于模態(tài)攝動法提出了一種求解薄壁箱梁自由振動的新方法.該方法以相同跨度等截面歐拉梁的頻率和模態(tài)為Ritz基函數(shù)，將箱梁自由振動的微分方程組轉(zhuǎn)化為一組非線性代數(shù)方程進行求解.對于簡支箱梁，可進一步將代數(shù)方程組簡化為一元二次方程，從而得到精確的特征值和特征向量.在此基礎上，利用所得箱梁振動模態(tài)的解析表達式，提出了模態(tài)剪力滯系數(shù)的概念，從而建立了箱梁固有頻率和剪力滯效應之間的關系.隨后研究了模態(tài)剪力滯系數(shù)隨跨寬比、翼板抗彎剛度和截面抗彎剛度之比的變化規(guī)律.計算結果表明：簡支梁腹板處剪力滯系數(shù)最大且大于1，為正剪力滯效應；隨著模態(tài)階數(shù)的增加、跨寬比的減小和翼板抗彎剛度和截面抗彎剛度之比的增大，剪力滯效應呈現(xiàn)增大的趨勢.關鍵詞: 箱梁；剪力滯；模態(tài)攝動法；動力特性；解析解

薄壁箱梁具有良好的抗彎和抗扭性能在現(xiàn)代橋梁中得到廣泛應用.當箱梁發(fā)生豎向位移時，由于翼板中剪力滯后的影響引起翼板縱向應力沿橫向分布不均勻，而存在剪力滯效應[1-5].

對于箱梁自由振動而言，剪力滯效應引起箱梁的動力特性發(fā)生顯著變化.對于不同的跨高比，可忽略箱梁部分影響因素而建立相應的自由振動方程.當跨高比較大時，甘亞南等[6]、吳有俊等[7]以歐拉梁為基礎，忽略了剪力滯引起縱向位移的慣性影響，分別研究了剪力滯引起的彈性勢能對梁動力特性的影響.對于跨高比小的箱梁，此時截面的剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量影響不可忽略.張永健等[8]分析了剪切變形和剪力滯效應對簡支箱梁自振頻率的影響.甘亞南等[9-10]基于Timoshenko梁理論討論了剪力滯效應對等截面箱梁自振頻率的影響.周旺保等[11]研究了剪力滯、剪切變形、轉(zhuǎn)動慣量、滑移效應對鋼-混凝土組合箱型梁動力特性的影響.

在上述箱梁自由振動的求解過程中，大部分是基于分離變量法得到箱梁自由振動的解析解.由于箱梁的自由振動控制方程是一個微分方程組，因此自振頻率超越方程及模態(tài)函數(shù)很復雜.從梁的振動方程角度看，剪力滯效應對梁振動的影響可看作是歐拉梁振動方程修正后形成的系統(tǒng)，則可以利用攝動法求解箱梁自由振動.樓夢麟[12]首先利用模態(tài)攝動法，將變系數(shù)微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組進行求解，從而簡化了特征方程的求解.隨后，樓夢麟等[13]、潘旦光等[14]將模態(tài)攝動法應用于變截面梁的振動.潘旦光等[15-16]進一步將模態(tài)攝動法推廣到變截面Timoshenko梁振動方程的求解.本文將利用模態(tài)攝動法的基本思想，研究箱梁的自振頻率和振型的簡化分析方法.在此基礎上，根據(jù)箱梁位移和彎矩的關系，推導了箱梁自由振動的模態(tài)剪力滯系數(shù)，并分析跨寬比和翼緣板的剛度占梁總剛度百分比等對梁模態(tài)剪力滯系數(shù)的影響.

1 箱梁的自由振動方程

圖1所示的矩形薄壁箱型梁，若梁的豎向位移為w(x,t)，上下翼緣板的縱向位移函數(shù)為vi(x,y,t)，且假定vi(x,y,t)可表示為

(1)

式中：u(x,t)為翼緣板剪切轉(zhuǎn)角的最大差值，x、y和z分別表示順梁方向、垂直于梁方向和豎向，b為箱室凈寬的一半，hi截面形心到頂、底板的距離，i分別取頂、底板.

圖1 箱形梁截面

基于歐拉梁理論，梁的動能T為

(2)

梁的勢能V為

(3)

式中：ρ、E、G、A分別為箱梁的密度、彈性模量、剪切模量和截面面積.I為截面的轉(zhuǎn)動慣量，Is為頂板和底板的轉(zhuǎn)動慣量.根據(jù)Hamilton原理可得梁的自由振動方程為：

(4a)

(4b)

2 簡支箱梁動力特性的模態(tài)攝動解

(5a)

(5b)

忽略剪力滯效應后，具有相同跨度歐拉梁第j階模態(tài)的控制方程為

(6)

當梁為簡支梁時，與式(6)特征方程相對應的特征值和模態(tài)為

(7)

直接模態(tài)攝動法的基本思想是把式(5)考慮剪力滯效應薄壁箱梁的特征方程看成式(6)所表示的等截面歐拉梁經(jīng)過參數(shù)修改所得到的新系統(tǒng)，這個新系統(tǒng)的主模態(tài)函數(shù)以及特征值可以用等截面歐拉梁的模態(tài)特征經(jīng)過簡單的攝動分析求解.則可以假設：

(8a)

(8b)

(8c)

從理論上來說，式(6)中梁有無窮多個主模態(tài)函數(shù)，即式(8)中n應該趨向于無窮.但是在實際計算時，通常只需要考慮有限個低階模態(tài)進行近似的計算就可以滿足要求.當解出Δλj，pkj，qkj這2n個未知數(shù)，即可計算箱梁的第j階特征值及其對應的主模態(tài)函數(shù).將(8)式代入(5)式可得：

(9a)

(9b)

(10a)

(10b)

式(10)中：

式中δij為Kronecker符號.

依次取i為1, 2, …，n，重復利用式(10)可得2n個代數(shù)方程.將2n個代數(shù)方程寫成矩陣形式：

(11)

式中：C11、C12、C21、C22、D11、D22都為n階方陣，p、q、M、N為n階向量.各個方陣和向量的元素分別為：

顯然C11、C12、C21、C22、D11、D22都為對角矩陣，Mi=0，Ni=0(i≠j)，因此，p、q只有第j個元素不為零，則式(11)只剩下兩個方程.由此可得：

(12a)

(12b)

將式(12b)代入式(12a)可得

(13)

(14)

將式(14)代入式(12b)可得qjj的解為

(15)

由式(14)可知，采用直接模態(tài)攝動法計算等截面箱梁振動特性式的計算結果與式(8)中n的選取無關.當n趨近于無窮時，式(8)中代表了全模態(tài)的展開，是精確的坐標變換.所以式(14)和式(15)所得的特征值和特征向量是簡支箱梁動力特性的精確解.

3 模態(tài)的剪力滯系數(shù)

由式(8)和(15)可知，箱形簡支梁的模態(tài)為

(16)

則第j階模態(tài)翼板中的正應力為

(17)

式(16)模態(tài)位移下，箱梁任意截面的彎矩為

(18)

在式(18)彎矩作用下，按歐拉梁理論所得翼板的正應力為

(19)

(20)

由式(20)可知，對簡支梁而言，剪力滯系數(shù)和x無關，即縱向各截面的剪力系數(shù)相同.箱梁翼板和腹板交角處的剪力滯系數(shù)為

(21)

箱梁翼板和腹板交角處的剪力滯系數(shù)為最大剪力滯系數(shù).最大剪力滯系數(shù)用于度量箱梁剪力滯影響的大小.式(21)表明單箱單室截面翼板和腹板交角處的剪力滯系數(shù)等于歐拉梁特征值和剪力滯影響下箱梁特征值的比.這表明對于箱梁自由振動而言，最大剪力滯系數(shù)既反映了箱梁剪力滯的大小，又反映了由于剪力滯引起梁自振頻率的變化.最大剪力滯系數(shù)越大，梁的自振頻率降低越多.

4 計算精度分析

式(14)所得的特征值和特征向量是在忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量影響后所得的精確解.為驗證本文方法計算結果的精度，下面對箱型截面梁分別進行歐拉梁理論，本文方法和有限元方法的自由振動計算.其中有限元方法是采用殼單元的分析結果.箱梁截面的材料參數(shù)為：E=35 GPa，G=15 GPa.箱梁截面形式和坐標如圖(1)所示，各部位的尺寸為：t=0.25 m，b=3.55 m，h=2 m.當Is/I=0.88時，腹板寬度為tw=0.4 m；當Is/I=0.94時，腹板寬度為tw=0.2 m，同時選取梁的跨度為40、30和20 m.不同方法所得箱梁的前三階的自振頻率見表1.

由計算結果可知本文的方法由于忽略了轉(zhuǎn)動慣量、剪切變形以及翼緣板振動的影響而與有限元結果有一定差別，但是誤差并不大，可滿足工程需要.同時，本文方法所得各階模態(tài)的頻率都小于歐拉梁的頻率，且模態(tài)階數(shù)越高，兩者的頻率相差越大，這表明剪力滯對梁的自由振動有顯著影響.

表1 簡支薄壁箱梁的固有頻率

Tab.1 Natural frequencies of simply-supported thin-walled box girder

Is/Il/2b計算方法各階固有頻率/Hz一階二階三階0.885.634.232.82歐拉梁3.0112.0327.06本文方法2.9311.0222.81有限元3.1211.0422.06歐拉梁5.3421.3848.10本文方法5.1318.5537.05有限元5.3417.7933.93歐拉梁12.0348.10108.23本文方法11.0237.0570.02有限元10.9733.0259.360.945.634.232.82歐拉梁3.1012.4127.93本文方法3.0211.3123.24有限元3.1510.7220.47歐拉梁5.5222.0749.65本文方法5.2818.9637.43有限元5.3316.8430.53歐拉梁12.4149.65111.72本文方法11.3137.4369.24有限元10.6529.9551.25

5 參數(shù)分析

以跨寬比(l/2b)和翼板相對轉(zhuǎn)動慣量(Is/I)為參數(shù)討論箱梁自由振動時，模態(tài)剪力滯系數(shù)和梁自振頻率的變化規(guī)律.參數(shù)分析時箱梁截面的跨度和腹板厚度為變量，其余參數(shù)同前.

5.1 模態(tài)剪力滯系數(shù)的橫向分布

箱梁頂板的剪力滯分布沿箱梁中軸線左右對稱，因此只畫出一半的剪力滯系數(shù).取梁的跨度為40 m，前4階模態(tài)箱梁上翼板的剪力滯系數(shù)見圖2.

圖2 上翼板剪力滯系數(shù)

5.2 不同參數(shù)對最大剪力滯系數(shù)的影響

簡支梁的最大剪力滯系數(shù)隨l/2b和Is/I的變化曲線見圖3、4.

圖3 最大剪力滯系數(shù)γe與跨寬比(l/2b)的關系

圖4 最大剪力滯系數(shù)γe與(Is/I)的關系(l=40 m)

由圖可知:1)l/2b越大，γe越小.因此相同截面情況下，梁跨度越大，剪力滯影響越小.對于第一階模態(tài)，當l/2b>4時，γe<1.05.因此，對于僅需考慮第一階模態(tài)振動的箱梁可忽略剪力滯效應的影響；2)Is/I反映翼緣板剛度占總剛度的百分比.Is/I顯著地影響箱梁的剪力滯后效應，由此也顯著影響箱梁自振頻率.Is/I越大，γe越大.這說明Is/I比值越大，頻率降低越多.但是，對于第一階模態(tài)而言，Is/I<0.9時，γe<1.05，此時剪力滯影響很小，可以忽略不計.但是對于2階以上模態(tài)，當Is/I>0.4時，則γe>1.05，此時，剪力滯影響不可忽略.

6 結 論

本文基于歐拉梁的特征值和模態(tài)，利用模態(tài)攝動法將箱梁的自由振動方程組轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組來求解，從而簡化計算.應用于等截面簡支梁時，可得到箱梁主頻率和模態(tài)的精確解.基于箱型梁的模態(tài)，進一步推導了模態(tài)剪力滯系數(shù).由理論分析和數(shù)值計算可得如下結論：

1)對于簡支梁而言，模態(tài)剪力滯系數(shù)沿梁軸線方向不變.且單箱單室截面翼板和腹板交角處的剪力滯系數(shù)等于歐拉梁特征值和剪力滯影響下箱梁特征值的比.

3)隨著模態(tài)階數(shù)的增加，剪力滯效應越來越大，由此導致箱梁高階模態(tài)的自振頻率顯著降低.

4)l/2b越小，Is/I越大，γe越大.當l/2b>4或Is/I<0.9時，γe<1.05.此時，對于僅需考慮第一階模態(tài)振動的箱梁可忽略剪力滯效應的影響.除此以外，剪力滯效應對結構動力反應的影響不可忽略，因此，一旦激振荷載能激起箱梁高階模態(tài)的振動，剪力滯效應將顯著地影響結構的動力反應.

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(編輯 趙麗瑩)

Analytic solution of free vibration of simply-supported thin-walled box girder by perturbation method

PAN Danguang1, DING Mintao1, CHEN Fan1,2

(1.Department of Civil Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China;2.Power China Road Bridge Group Co., Ltd., Beijing 100048, China)

To investigate the shear lag effect of thin-walled box girder on the dynamic characteristics, a new approach was developed to analyze the free vibration of box girders based on the modal perturbation method. The natural modes of vibration of the corresponding prismatic Euler beam with the same length and boundary conditions were used as Ritz base functions. Then, the new method can transform the set of partial differential equations governing the transverse vibration of the box girder into a set of nonlinear algebraic equations. For the simply-supported beams, the algebraic equations were further simplified as quadratic equation with one unknown, so that the exact eigenvalues and eigenvectors could be obtained. The analytical vibration modes of the box girder were used to propose the shear lag coefficients of modes, which illustrates the relationship between the natural frequency and shear lag effect. Numerical examples were used to analyze the shear lag coefficients of modes varying with the ratio between span and width, the second moment of area ratio between flange slab and the full section. The numerical results show that the maximum shear lag coefficients of modes located at the web of the box girder are greater than 1, which are positive shear lag effect. As the increase of modes order, the reduction of the ratio between span and width and the increase of the second moment of area ratio between flange slab and the full section, the shear lag coefficients and shear lag effect would be more remarkable.

box girder; shear lag; modal perturbation; dynamic characteristics; analytic solution

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.12.007

2015-09-12

北京市自然科學基金(8143037)

潘旦光(1974—)，男，研究員，博士生導師

潘旦光，pdg@ustb.edu.cn

TU311.3,U448.21

A

0367-6234(2016)12-0056-06