鐘萬勰

(大連理工大學運載工程與力學學部， 大連 116023)

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離散動力學數(shù)值積分應該保辛近似

鐘萬勰

(大連理工大學運載工程與力學學部， 大連 116023)

動力學離散后的數(shù)值積分應該保辛近似. 辛對稱來源于Hamilton正則方程，而其對應的變分原理是最小作用量變分原理. 離散后成為保辛近似，而不應該用保結構等不確切的概念來代替. 保辛是馮康提出的成果，應當予以重視.

離散動力學；保辛近似；最小作用量原理

筆者出身于土木結構力學，相關研究是從結構力學與最優(yōu)控制的模擬關系切入辛代數(shù)的. 筆者在文獻[1]中指出：“離散后，西方權威提出‘不可積系統(tǒng)，保辛近似算法不能使能量守恒’的誤判. 法國數(shù)學家泊松(Poisson)指出，n維位移的動力學系統(tǒng)有n個首次積分；能量守恒包含于其中. 能量，眾所關注，但也僅是其中一個首次積分. 最小作用量變分原理導出的本是n對正則方程，再沒有多余的. 最小作用量不能用一個能量守恒來代替n個首次積分本應全部守恒，問題在于分析解難以求出. 未能求出的分析解在離散時，并非不重要，只是未能分析求解. 離散時要‘保辛’是全面的近似提法；而國外學者只考慮能量保守，是不全面的，違反了最小作用量原理，也就離開了短程線的幾何化提法了，對此可質疑：這還是正宗的動力學嗎？國外學者的提法也是有誤區(qū)的. ”

錢令希先生為文獻[2]作序時指出：“力學工作者應首先虛心地汲取狀態(tài)空間法成功的經(jīng)驗，重新認識哈密頓體系理論的深刻意義，以及隨之而來的辛數(shù)學方法及其對應用力學的應用”. 表明了錢先生的高瞻遠矚，走對方向特別重要. 今天，常被提及的“精確打擊”“反導”等軍事術語表明了控制的重要性. 中國力學學會將過去的一般力學改名為動力學與控制. 動力學不是結構力學，文獻[3]給出了動力學與結構力學的模擬關系. 因此，結構力學以及動力學與控制可在同一套哈密頓(Hamilton)體系的數(shù)學下予以處理. 而哈密頓體系正是在動力學范圍內發(fā)展的.

自牛頓之后，n維動力學問題的求解是150多年研究的主題，產(chǎn)生了分析力學. 歐拉- 拉格朗日(Euler-Lagrange)給出了能量表達的拉格朗日函數(shù)及n維一類位移變量q(t)的變分原理. 然后，哈密頓引入了對偶變量q、p的體系. 提出了哈密頓正則方程

(1)

式中：n維向量q(t)、p(t)分別為位移與動量，相互對偶.

這些研究成果為相對論與量子力學奠定了數(shù)學基礎. 因量子力學有光譜分析的需要，根據(jù)對偶正則方程的對稱性，大數(shù)學家赫曼·外爾(Hermann Weyl)[4]提出了辛群對稱：“The name ‘complex group’ formerly advocated by me in allusion to line complexes, … has become more and more embarrassing through collision with the word ‘complex’ in the connotation of complex number. I therefore propose to replace it by the Greek adjective ‘symplectic’. ” 表達了：為了避免“complex”容易產(chǎn)生的混淆，特地引入了希臘形容詞“symplectic”予以頂替. 表明了“symplectic group”，辛群之意. 然而群論只能分析對稱性，不能提供數(shù)值. 故本文屬于動力學范圍.

工程師需要數(shù)據(jù). 由于動力學一般是非線性的，分析求解異常困難，故只能轉而尋求數(shù)值求解，這只能離散后再求解. 將連續(xù)的時間坐標離散，就必然出現(xiàn)時間區(qū)段(ta,tb),ta

動力學數(shù)值求解經(jīng)常拘泥于差分求解，大量的研究是差分格式的數(shù)值積分. 1985年，中國數(shù)學家馮康提出，差分格式應當“保辛”[5]. 這是針對離散近似求解的要求，從而得到了廣泛關注. Hairer等[6]也注意到該成果，并且加以修改而稱為“Geometric-Preserving”. 本文將就此修改，提出一些看法.

差分格式應“保辛”，既然講差分，那就是離散后的近似. 其實中國古代數(shù)學家祖沖之(429—500)用割圓法計算圓周率，也是離散求解的，其精度已達π=3.141 592 6…. 可推測為，將圓周劃分為內接m邊正多角形，取m=2N,N=1,2,…,15.

圖1所示為N=2→3的過渡.AB連線是N=2時的內接四邊矩形.

如所熟知，平面幾何兩點之間的連接直線，就是最短距離，即短程線. 祖沖之用正多邊形的總邊長之和逼近圓周率. 注意到，短程線的直線，沒有一點是滿足約束條件的. 取短程線是根本不管約束條件的，只有在其兩端，約束條件是嚴格滿足的. 以上相應的處理不妨稱之為祖沖之方法論.

動力學在狀態(tài)空間q、p下的微分方程是正則方程式(1)，并且是可與兩類變量的變分原理

(2)

互通的. 式中：S為區(qū)段(ta,tb),ta

祖沖之算法要在節(jié)點處滿足約束條件；動力學位移約束條件，通常稱為完整約束. 而通常的動力學沒有約束條件，但并不妨礙短程線. 最小作用量原理給出的就是全部哈密頓正則方程. 而哈密頓正則方程正是赫曼·外爾提出辛群(symplectic group)的根據(jù)，表明最小作用量原理已經(jīng)“保辛”了. 國外學者提出的“保結構”[6]對動力學來說，其概念模糊，在具體執(zhí)行時片面地變成為保能量. 能量守恒本來只是n個首次積分之中的一個，一個首次積分無法代替最小作用量原理的全部n個首次積分，所以違反了最小作用量原理，就此質疑：不符合動力學的最小作用量原理，那還能說是正宗的動力學嗎？

結論是，“保辛”才是動力學離散積分的全面提法，它代表最小作用量原理的短程線.

保辛是對于離散體系而言的，連續(xù)系統(tǒng)的解當然是本來就處處保辛. 然而因難以數(shù)值求解，只能尋求離散近似數(shù)值解. 近似解總得放棄些性質，而關鍵的性質不可放棄. 保辛的要求表明，離散時哈密頓體系的辛群對稱性質是不可放棄的. 這是中國計算數(shù)學家馮康提出的在這個領域新的成果. 泊松提出，n維動力學系統(tǒng)有n個首次積分，問題是分析求解全部首次積分一般難以達到，不過也有若干個首次積分是可以分析求解的，例如能量守恒等. 那么離散數(shù)值積分時是否可以使能分析求解的首次積分也達到守恒呢？

國外名者[6]將“保辛”修改為“保結構”. 辛是專門名詞，而結構代表什么還沒講清楚，是模糊概念. 因此，國內的科學家在動力學數(shù)值積分對于保辛的提法應引起足夠的注意. 不要講保結構等等的模糊概念，從而將馮康提出的正確概念和錯誤的提法相混淆，對于正確的概念我們是要繼承的.

要首次積分達到守恒，只能在離散后的格點處. 因不在格點時，一般用簡單的函數(shù)進行插值，難以同時使首次積分守恒. 首次積分一般是在狀態(tài)空間表達的，將首次積分守恒作為約束條件，則成為非完整的約束. 非完整等式約束在數(shù)值積分時也是可讓它保持守恒[7]，但計算量自然會增加.

通常，在數(shù)值積分時追求簡單，因此常常采用最簡單的例如時間有限元法. 即使如此，大量的數(shù)值例題表明，能量的偏離也很小，而且偏離了往往又能返回.

[1] 鐘萬勰. 主編寄語——中國應用數(shù)學的發(fā)展思路[J]. 應用數(shù)學與力學, 2016(3). ZHONG W X. Chief editor’s note—the development of Chinese applied mathematics [J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2016(3). (in Chinese)

[2] 鐘萬勰, 歐陽華江, 鄧子辰. 計算結構力學與最優(yōu)控制[M]. 大連: 大連理工大學出版社, 1993.

[3] 鐘萬勰. 應用力學的辛數(shù)學方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

[4] WEYL H. The classical groups: their invariants and representations [M]. Princeton: University Press, 1939.

[5] 馮康, 秦孟兆. Hamilton體系的辛計算格式[M]. 杭州: 浙江科技出版社, 2004.

[6] HAIRER E, LUBICH C, WANNER G. Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations[M]. 2nd ed. Berlin: Springer, 2006: 479.

[7] 高強, 鐘萬勰. 非完整約束動力系統(tǒng)的離散積分方法[J]. 動力學與控制學報, 2012, 10(3): 193-198. GAO Q, ZHONG W X. Numerical algorithms for dynamic system with non-holonomic constrains [J]. Journal of Dynamics and Control, 2012, 10(3): 193-198. (in Chinese)

(責任編輯 楊開英)

Symplectic Conservative Approximation for Discrete Dynamics Integration

ZHONG Wanxie

(Faculty of Vehicle Engineering and Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China)

Symplectic conservation should be confirmed after discrete integration for dynamics. Symplectic symmetry is from Hamilton canonical equation and its variational principle is the minimum action variational principle. Symplectic conservative approximation is confirmed after discrete, and it should not be replaced by inaccurate concept such as structure-preserving. Symplectic conservation was proposed by Kang Feng, which should be taken seriously.

discretized dynamic system; symplectic conservation; minimum action variational principle

2016- 06- 30

鐘萬勰(1934—)，男，中國科學院院士，主要從事計算力學理論與應用方面的研究，E-mail: wxzhong@dlut.edu.cn

O 313

A

0254-0037(2016)12-1772-03

10.11936/bjutxb2016060088