楊亞輝

摘 要 本文闡述了在只測(cè)量魚的體長(zhǎng)或腰圍等參數(shù)的情況下，根據(jù)魚的幾何相似性快速確定魚的重量的數(shù)學(xué)模型。該方法的特點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，結(jié)果也比較準(zhǔn)確，在現(xiàn)實(shí)生活及生產(chǎn)實(shí)際中用途比泛。

【關(guān)鍵詞】幾何相似性 體長(zhǎng) 腰圍 魚 重量 測(cè)量 數(shù)學(xué)模型

1 問題背景

某釣魚俱樂部計(jì)劃舉辦一場(chǎng)釣魚比賽。出于保護(hù)的目的，俱樂部會(huì)鼓勵(lì)會(huì)員在釣到魚后會(huì)馬上將其放生。同時(shí)俱樂部也必須對(duì)比賽中會(huì)員釣到的魚的重量進(jìn)行測(cè)量以便進(jìn)行排名和獎(jiǎng)勵(lì)。如果每人都帶一個(gè)稱，不但攜帶不方便，而且對(duì)特別小的魚稱的并不準(zhǔn)確。所以，俱樂部必須找到一種簡(jiǎn)單快捷的測(cè)量魚的重量的方法。

為了獲得有用的原始數(shù)據(jù)，俱樂部提前在釣魚比賽的水域釣了8條魚，并將這些魚的長(zhǎng)度L（cm）、腰圍G（cm）、重量W（g）的測(cè)量值記錄在表1。

2 問題分析和假設(shè)

魚的重量與它的體積和密度有關(guān)。如果嚴(yán)格按照公式“質(zhì)量=體積*密度”來建立測(cè)量魚的重量的模型是非常不現(xiàn)實(shí)的：

（1）魚的身體不是一個(gè)規(guī)則的幾何體。

（2）不同種類的魚及魚的不同部位的密度也是不一樣的。

因此，我們必須對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。

我們假設(shè)：

（1）所有的魚都是同一種類的，那么魚的身體之間會(huì)呈現(xiàn)出明顯的幾何相似性。

（2）魚的密度是一個(gè)常數(shù)，且不隨季節(jié)、性別及身邊部位的不同而改變。因此體積比較大的魚就會(huì)比較重。于是我們可以不考慮密度的問題，直接建立體積和重量的關(guān)系。

（3）魚的重量的主要部分來自魚的中部，頭部和尾部的占總重量的比重比較小。這一建設(shè)可以讓我們將魚想象成一個(gè)圓柱，用魚的體長(zhǎng)和腰圍來估計(jì)魚的體積。

在這些合理的假設(shè)下，問題得到了簡(jiǎn)化。

3 模型建立與求解

3.1 建立模型

由于前面的分析，我們可以將魚的體積視為一個(gè)圓柱，用魚的有效長(zhǎng)度Long和平均橫截面積S分別表示表示這個(gè)圓柱的長(zhǎng)度和橫截面積，則魚的體積

V= Long×S

由于幾何相似性，魚的有效長(zhǎng)度Long和魚的長(zhǎng)度L成正比，魚的平均橫截面積和魚的腰圍G的平方成正比，即

Long∝L

S∝G2

于是，可得

V∝ L×G2

又由于

W∝V

所以

W∝L×G2

引入正比例系數(shù)k，得出模型

W=k×L×G2

3.2 求解模型

求出k即可建立由長(zhǎng)度和腰圍測(cè)量重量的模型了。易知，K=W/ （L×G2），為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，我們就將W，L，G的平均值帶入上式求解，用W°，L°，G°分別表示W(wǎng)，L，G的平均值，則

W°=[800+500+1200+700+500+1400+700+500]/8=787

L°=[36.8+31.8+43.8+36.8+32.1+45.1+35.9+21.6]/8=35.4

G°=[24.8+21.3+27.9+24.8+21.6+31.8+22.9+32.1]/8= 25.9

所以

K= W°/ （L°×G°2）=787/（35.4×25.92）=0.0331

則最終的模型為

W=0.0331×L×G2

4 模型的檢驗(yàn)

將已知數(shù)據(jù)L和G代入模型中，可以計(jì)算出模型的預(yù)測(cè)值，并將這個(gè)值和實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)模型的準(zhǔn)確度較高，平均誤差為-7.5g，即按模型估計(jì)的值比實(shí)際值少了7.5g，這在釣魚比賽中是完全夠用的。如果改進(jìn)k的求法，模型將更準(zhǔn)確。具體結(jié)果見表2。

5 模型的應(yīng)用及推廣

由模型W=0.0331×L×G2可以制作一個(gè)速查表，只要知道魚的長(zhǎng)度和腰圍，便可直接差出魚的重量，限于篇幅，速查表略。模型W=k×L×G2可廣泛用于各種動(dòng)物體重量的快速測(cè)量上。

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作者單位

海南軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院 海南省瓊海市 571400