廣東省佛山市南海區(qū)里水鎮(zhèn)和順第一初級(jí)中學(xué)(528241)麥穗明

從“做”數(shù)學(xué)到再創(chuàng)造—初三復(fù)習(xí)中如何有效發(fā)展數(shù)學(xué)的基本思想

廣東省佛山市南海區(qū)里水鎮(zhèn)和順第一初級(jí)中學(xué)(528241)麥穗明

很多學(xué)生說(shuō),數(shù)學(xué)是“聰明的學(xué)生學(xué)的”,那么使這些學(xué)生聰明的秘密武器是什么?是數(shù)學(xué)思想.布魯諾說(shuō),“數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂”.我們把溝通數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法之間的聯(lián)系,產(chǎn)生解題思路的方法稱之為數(shù)學(xué)思想.掌握基本數(shù)學(xué)思想能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶,能將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力,領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想是通向遷移大道的“創(chuàng)造之路”.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》在課程基本理念部分指出,“課程內(nèi)容…….它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果,也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.”而在總目標(biāo)部分指出,“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”凸顯了數(shù)學(xué)思想在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中的重要地位.掌握數(shù)學(xué)思想,就是掌握數(shù)學(xué)的精髓,數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí),它直接支配著數(shù)學(xué)活動(dòng).淡化數(shù)學(xué)思想的教學(xué)不利于學(xué)生從縱橫兩個(gè)維度上把握數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu),同時(shí)也將影響學(xué)生能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.因此,至始至終把數(shù)學(xué)思想放在數(shù)學(xué)教學(xué)的第一位,它是學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中思維活動(dòng)的導(dǎo)航器.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思想的體驗(yàn)、揭示和提煉,這是培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ).所以,在初三復(fù)習(xí)階段,切實(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的教學(xué),應(yīng)有計(jì)劃、有層次地滲透、適時(shí)歸納概括、反復(fù)運(yùn)用,及時(shí)總結(jié)形成系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)識(shí)上質(zhì)的飛躍.

一、挖掘知識(shí),適時(shí)滲透,體驗(yàn)思想,訓(xùn)練思維

數(shù)學(xué)思想融合在數(shù)學(xué)知識(shí)的每一個(gè)角落.每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,其實(shí)就是數(shù)學(xué)思想發(fā)生的過(guò)程,數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想的載體,數(shù)學(xué)思想通過(guò)知識(shí)來(lái)體現(xiàn).在知識(shí)的發(fā)生過(guò)程中,讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想,是訓(xùn)練學(xué)生思維的的極好機(jī)會(huì).所以不失時(shí)機(jī)地、有意識(shí)地、有目的地結(jié)合復(fù)習(xí)內(nèi)容,一點(diǎn)一滴地滲透數(shù)學(xué)思想.例如在復(fù)習(xí)幾何內(nèi)容中“多邊形的內(nèi)角和公式”時(shí),可以這樣設(shè)計(jì):

第一步:提問(wèn)“多邊形的內(nèi)角和公式”是怎樣得到的?

第二步:引導(dǎo)學(xué)生把多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題后,然后利用三角形求出多邊形的內(nèi)角和.

表1

第三步:分析規(guī)律,揭示數(shù)學(xué)思想——化歸、歸納猜想的思想.這樣學(xué)生不僅經(jīng)歷了“多邊形的內(nèi)角和”的推導(dǎo)過(guò)程,而且體會(huì)利用歸納猜想“由特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想.

二、網(wǎng)絡(luò)教材,循序漸進(jìn),顯化思想,提升思維

數(shù)學(xué)的概念、規(guī)律、定理、性質(zhì)、公式、法則等知識(shí)都明顯地寫在教材中,是有“形”的,而數(shù)學(xué)思想?yún)s隱含在知識(shí)的背后,且不成體系地散現(xiàn)于教材中,是無(wú)“形”的,需要我們將背后的數(shù)學(xué)知識(shí)挖掘出來(lái),系統(tǒng)處理,形成一個(gè)脈絡(luò)體系,將零星的知識(shí)編織成一張有序的、主次分明的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),收到化厚為薄、綱舉目張、易懂、易記、易用的高效.為了符合中學(xué)生從具體到一般的認(rèn)知規(guī)律,使數(shù)學(xué)思想明朗化,化隱為顯,我將從數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、化歸、分類這四種思想來(lái)展示我在初三復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)思想這一內(nèi)容的設(shè)計(jì):

(一)、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是“數(shù)”和“形”的關(guān)系,數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)過(guò):“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬(wàn)事休”.數(shù)形結(jié)合的思想,其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái),關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化,它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化,形數(shù)統(tǒng)一.數(shù)形結(jié)合不僅是探求思路的“慧眼”,而且是深化思維的有力“杠桿”.利用“數(shù)形結(jié)合”可使所要研究的問(wèn)題化難為易,化繁為簡(jiǎn).在初中階段,首先接觸到的是數(shù)形結(jié)合的思想,并在三年的學(xué)習(xí)中不斷應(yīng)用和深化.

1.代數(shù)部分(代數(shù)問(wèn)題幾何化):

(1)利用數(shù)軸理解“絕對(duì)值”的概念、比較有理數(shù)的大小及不等式(組)的解集.

(2)整式的乘法公式.在復(fù)習(xí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí),借助圖形推導(dǎo)單項(xiàng)式乘法、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法及多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法的運(yùn)算法則.

例1:(七年級(jí)下冊(cè))請(qǐng)用幾何圖形直觀地解釋:(3b)2=9b2.

分析:可將(3b)2看作邊長(zhǎng)為3b的正方形的面積.

圖2

∴(3b)2=9b2

(3)圖象法解決實(shí)際問(wèn)題.①確定位置.平面內(nèi)點(diǎn)的位置與直角坐標(biāo)的關(guān)系,從而引出直線與二元一次方程(即一次函數(shù))的對(duì)應(yīng)關(guān)系.②用圖象法解二元一次方程組或不等式(組)③利用圖象復(fù)習(xí)函數(shù)(一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù))的性質(zhì)及應(yīng)用.④方差與標(biāo)準(zhǔn)差(利用圖形來(lái)討論數(shù)據(jù)的離散程度).⑤繪制統(tǒng)計(jì)圖表,用這些圖表來(lái)反映數(shù)據(jù)的分布情況,發(fā)展趨勢(shì)等.

例2:已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)為(1,2),且圖象經(jīng)過(guò)(?1,0).①寫出方程ax2+bx+c=0的根.②寫出ax2+bx+c>0的解集.③寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍.

分析:如果采用先求出解析式,再解方程和不等式,這樣的方法比較麻煩.若學(xué)生先根據(jù)已知條件畫出函數(shù)的大致圖象(如下圖),再根據(jù)圖象性質(zhì)解決問(wèn)題那就容易多了.

圖3

∴由圖象得:(1)x1=?1,x2=3(2)?11

例3:小明和小兵兩人參加體育項(xiàng)目訓(xùn)練,近期的5次測(cè)試成績(jī)?nèi)绫硭?誰(shuí)的成績(jī)較為穩(wěn)定?為什么?

測(cè)試次數(shù)1 2 3 4 5小明13 14 13 12 13小兵10 13 16 14 12

分析:將兩組數(shù)據(jù)表示在數(shù)軸上(見(jiàn)下圖),學(xué)生們很直觀地會(huì)發(fā)現(xiàn):這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是13,小明的成績(jī)比較集中地在平均數(shù)13的附近波動(dòng),而小兵的成績(jī)卻比較分散,各數(shù)與平均數(shù)13的距離較遠(yuǎn),所以小明的成績(jī)比較穩(wěn)定.

圖4

2.幾何部分(幾何問(wèn)題代數(shù)化):

(1)勾股定理的證明及其應(yīng)用

勾股定理現(xiàn)約有400種證明方法,是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一.勾股定理:在一個(gè)直角三角形中,兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.a2+b2=c2(見(jiàn)右圖)

圖5

(2)點(diǎn)與圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系等化為數(shù)量關(guān)系來(lái)處理.

例如:圓和圓的位置關(guān)系的探究——根據(jù)所畫的兩圓的位置關(guān)系,得到兩圓的半徑(R、r)和圓心距(d)之間的數(shù)量關(guān)系.

兩圓的位置關(guān)系

圖6

(3)利用三角函數(shù)解決三角形中求角度和邊長(zhǎng)的問(wèn)題.

(4)利用方程解決三角形中求角度的問(wèn)題.

例如:已知△ABC中,AB=AC, AD=BD=BC,求∠A的度數(shù).

圖7

分析:以形思數(shù),由幾何圖形及圖形的邊之間的關(guān)系,想到代數(shù)中的方程,本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,設(shè)∠A=x℃,則∠ABD=x℃,∠BDC=∠C=∠ABC=(2x)℃,利用三角形的內(nèi)角和定理,得x+2x+2x=180,易求∠A的度數(shù).

(二)歸納猜想的思想

數(shù)學(xué)中許多定理、公式、法則的發(fā)現(xiàn)、證明或推導(dǎo)的過(guò)程都要經(jīng)歷一個(gè)歸納猜想的過(guò)程.歸納是通過(guò)對(duì)個(gè)別的、特殊的情況加以觀察、分析,從而導(dǎo)出一個(gè)一般性結(jié)論的方法.是一種從特殊到一般的推理方法.猜想具有兩個(gè)顯著的特征:(1)具有一定的科學(xué)性;(2)具有一定的推測(cè)性,即結(jié)論可能正確也可能錯(cuò)誤.歸納猜想法在初中數(shù)學(xué)中多數(shù)用于探索規(guī)律.歸納猜想是科學(xué)研究中最常用的方法,可以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng),增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,它具有很大的創(chuàng)造性,它是發(fā)明創(chuàng)造,推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步的一種重要的思維形式.初中數(shù)學(xué)教材體現(xiàn)歸納猜想的思想的內(nèi)容主要有以下幾方面:(見(jiàn)數(shù)狀圖)

圖8

例:(七年級(jí)下冊(cè))問(wèn)題解決

(1)觀察:

你發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律了嗎?你能用代數(shù)式表示這一規(guī)律嗎?

(2)利用(1)中的規(guī)律計(jì)算124×126.

(3)你還能找到類似的規(guī)律嗎?

分析:容易發(fā)現(xiàn)積的末兩位數(shù)字都是24,是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字的乘積,經(jīng)過(guò)進(jìn)一步觀察可以得到:2=1×2, 6=2×3,12=3×4,···

也就是說(shuō)積的百位以上的數(shù)字組成的數(shù)等于原來(lái)的十位數(shù)與此數(shù)加一的積.

于是我們可以猜想:如果兩個(gè)數(shù)是10a+4與10a+6,則它們的積的末兩位數(shù)字都是4×6=24,百位以上的數(shù)字組成的數(shù)等于a(a+1).

同時(shí)我們觀察到兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字的和是10,進(jìn)一步猜想是否兩個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字的和對(duì)于10,十位以上的數(shù)字相同,都有類似的規(guī)律呢?

自己舉兩個(gè)特例繼續(xù)觀察:

(1)

于是我們可以進(jìn)一步猜想:如果兩個(gè)數(shù)是10a+b與10a+(10?b),則它們的積的末兩位數(shù)字都是b(10?b),百位以上的數(shù)字組成的數(shù)等于a(a+1).

(三)、化歸(轉(zhuǎn)化)的思想

化歸(轉(zhuǎn)化)的思想不僅是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最核心的重要思想,也是一種最基本的思維策略,更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式.化歸的思想是通過(guò)數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)變化,在轉(zhuǎn)變中實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)范化,即將待解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問(wèn)題,從而使原問(wèn)題得到解決的方法.也就是說(shuō)要把要研究的新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已學(xué)習(xí)的老問(wèn)題;不熟悉的問(wèn)題化歸為比較熟悉的問(wèn)題或者將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題;又或者將復(fù)雜圖形化歸為基本圖形等等,這需要學(xué)生充分調(diào)動(dòng)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)用以解決問(wèn)題.化歸的基本功能是:生疏化成熟悉,復(fù)雜化成簡(jiǎn)單,抽象化成直觀,含糊化成明朗.

化歸方法包含三個(gè)基本要素:1、化歸對(duì)象,即把什么東西進(jìn)行化歸.2、化歸目標(biāo),即化歸到何處去.3、化歸途徑,即如何進(jìn)行化歸.

(1)復(fù)習(xí)初中代數(shù)知識(shí),利用化歸方法,將有理數(shù)大小的比較轉(zhuǎn)化為算術(shù)數(shù)大小的比較,有理數(shù)的運(yùn)算化歸為算術(shù)數(shù)的運(yùn)算,可將整式運(yùn)算通過(guò)同類項(xiàng)的概念等化歸為有理數(shù)的運(yùn)算,分式可化為整式運(yùn)算,分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程等等.現(xiàn)把有關(guān)數(shù)、式、方程的化歸過(guò)程整理成如下的結(jié)構(gòu)圖:

圖9

(2)初中幾何復(fù)習(xí),主要有以下幾種化歸的類型題目:

①將多邊形內(nèi)角和化歸為三角形內(nèi)角和;②將梯形化歸為三角形和平行四邊形;③將特殊四邊形問(wèn)題化歸為全等三角形;④將相似三角形問(wèn)題化歸為對(duì)應(yīng)線段成比例;⑤將四邊形四邊中點(diǎn)問(wèn)題化歸為三角形中位線.

例:(九年級(jí)上冊(cè))證明等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等.

已知:如圖,等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC.求證:∠B=∠C,∠A=∠D.

圖10

分析:我們前面已經(jīng)證明過(guò)“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”,如果能將∠B與∠C轉(zhuǎn)化成等腰三角形的兩個(gè)底角,就容易證明了,所以可以將AB平移到DE的位置,即過(guò)點(diǎn)D作DE//AB,將等腰梯形ABCD的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了平行四邊形ABED和等腰三角形DEC的問(wèn)題,利用平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)和判定,問(wèn)題就可以解決了.

(四)、分類的思想

分類是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn),將數(shù)學(xué)對(duì)象按不同情況進(jìn)行分類,然后逐一研究解決的思想方法.分類思想的核心是如何進(jìn)行正確的分類,而進(jìn)行正確劃分的關(guān)鍵是討論的對(duì)象.首先要確定被劃分對(duì)象以及所被劃分對(duì)象的全體的范圍;其次確定分類標(biāo)準(zhǔn),正確進(jìn)行合理分類,分類的對(duì)象是確定的,標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的,不重不漏,科學(xué)地劃分,分清主次,不越級(jí)討論.再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論,分級(jí)進(jìn)行,獲取階段性結(jié)果;最后進(jìn)行歸納小結(jié),綜合得出結(jié)論.它在初中數(shù)學(xué)知識(shí)的整理、概念的學(xué)習(xí)、證明中十分重要,它可以使大量繁雜的材料條理化、系統(tǒng)化,為人們進(jìn)行分門別類的深入研究創(chuàng)造條件.

分類的思想隨處可見(jiàn),初中階段主要有下面幾類:

(1)概念的分類:如實(shí)數(shù)、有理數(shù)、絕對(duì)值、點(diǎn)(直線、圓)與圓的位置關(guān)系和兩圓相切等概念的分類;

(2)解題方法上的分類:如代數(shù)式中含有字母系數(shù)的方程、絕對(duì)值方程、不等式、化簡(jiǎn)帶絕對(duì)值或根號(hào)的式子的求值問(wèn)題;

(3)幾何中圖形位置關(guān)系不確定的分類:等腰三角形的頂角頂點(diǎn)不確定、相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定等.

例1:如圖,線段OD的一個(gè)端點(diǎn)O在直線a上,以O(shè)D為一邊畫等腰三角形,并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在直線a上,這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)?

圖11

分析:因?yàn)榈妊切蔚捻斀琼旤c(diǎn)不確定,所以要進(jìn)行分類討論,三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都有可能為頂角頂點(diǎn),所以應(yīng)該分三類:

①當(dāng)點(diǎn)D為頂角頂點(diǎn)時(shí),以點(diǎn)D為圓心,DO為半徑作圓,與直線a有一個(gè)交點(diǎn),所以等腰三角形只能畫1個(gè);

圖12

②當(dāng)點(diǎn)O為頂角頂點(diǎn)時(shí),以點(diǎn)O為圓心,OD為半徑作圓,與直線a有兩個(gè)交點(diǎn),所以等腰三角形能畫2個(gè);

③當(dāng)另一個(gè)頂點(diǎn)A為頂角頂點(diǎn)時(shí),作線段OD的中垂線,與直線a只有一個(gè)交點(diǎn),所以等腰三角形只能畫1個(gè);

∴綜合①②③可知滿足條件的等腰三角形能畫4個(gè).

例2:在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A出發(fā)向B以2cm秒的速度移動(dòng);點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向A以1cm/秒的速度移動(dòng).如果P、Q同時(shí)出發(fā),用t秒表示移動(dòng)的時(shí)間(0

分析:題目沒(méi)有說(shuō)明要求△QAP的哪個(gè)點(diǎn)與△ABC的哪個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng),既相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定,所以要進(jìn)行分類討論,因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)B都是直角的頂點(diǎn),點(diǎn)A與點(diǎn)B肯定對(duì)應(yīng),所以應(yīng)分兩類:

三、特例分析,提煉內(nèi)涵,凸顯思想,優(yōu)化思維

從近三年的佛山數(shù)學(xué)中考題來(lái)看,似乎有這樣的一個(gè)導(dǎo)向性的趨勢(shì)——數(shù)學(xué)思想.而這種導(dǎo)向性正是給“應(yīng)試教育”一個(gè)沉重的打擊,給教學(xué)注入了一針“清醒劑”.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂.概念的形成過(guò)程、結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程、方法的思考過(guò)程、問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、規(guī)律被揭示的過(guò)程等都需要運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)解決.如化歸、數(shù)學(xué)模型、類比、分類、歸納猜想等思想方法是一種導(dǎo)向型思想,在學(xué)生解題思路分析過(guò)程中必不可少的.學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成和運(yùn)用取決于教師的長(zhǎng)期訓(xùn)練.因此,在復(fù)習(xí)時(shí),選擇最具有新特點(diǎn)的題型,引導(dǎo)學(xué)生從題目的縱橫向思考,從數(shù)學(xué)思想方法的角度去分析探索,促使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想.經(jīng)過(guò)反復(fù)提煉和概括,使學(xué)生理解方法的本質(zhì),進(jìn)而上升到理解數(shù)學(xué)思想的高度.

例1.(2010年佛山中考)新知識(shí)一般有兩類:第一類是一般不依賴其他知識(shí)的新知識(shí),如“數(shù)”,“字母表示數(shù)”這樣的初始性知識(shí),第二類是在某些舊知識(shí)的基礎(chǔ)上聯(lián)系,拓廣等方式產(chǎn)生的知識(shí),大多數(shù)知識(shí)是這樣一類.

(1)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則,是第幾類知識(shí)?

(2)在多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式之前,我們學(xué)習(xí)了哪些有關(guān)知識(shí)?(寫出三條即可)

(3)請(qǐng)用你已有的有關(guān)知識(shí),通過(guò)數(shù)和形兩個(gè)方面說(shuō)明多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則如何獲得的?(用來(lái)說(shuō)明)

反思:數(shù)形結(jié)合思想明朗地顯于題目中,根據(jù)公式特點(diǎn)以及圖形特征,把問(wèn)題直觀化、形象化,利用圖形的直觀性和乘法分配律來(lái)驗(yàn)證.

例2.(2010年佛山中考)一般來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn).將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫“分類”的思想.將事物分類,然后對(duì)劃分的每一類進(jìn)行研究和求解的方法叫做:“分類討論”的方法.請(qǐng)依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決下列問(wèn)題:

如圖,在△ABC中,∠ACB≥∠ABC

(1)若∠BAC是銳角,請(qǐng)?zhí)剿髟谥本€AB上有多少個(gè)點(diǎn)D,能保證△ACD～△ABC(不包括全等)

圖13

(2)請(qǐng)對(duì)∠BAC進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?直接寫出每一類在直線AB上能保證△ACD～△ABC(不包括全等)的點(diǎn)D的個(gè)數(shù).

反思:本題涉及到的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想,第一分類標(biāo)準(zhǔn)是D點(diǎn)的位置,根據(jù)圖形D點(diǎn)位置分為三種情況:①在線段AB上,②在線段AB的延長(zhǎng)線上③在線段AB的反向延長(zhǎng)線上;第二分類標(biāo)準(zhǔn)是角的分類,根據(jù)角的分類把∠BAC分為銳角、直角、鈍角三種.關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)特點(diǎn),確定劃分標(biāo)準(zhǔn).

例3.(2012年佛山中考)24、規(guī)律是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一.

初中數(shù)學(xué)中研究的規(guī)律主要有一些特定的規(guī)則、符號(hào)(數(shù))及其運(yùn)算規(guī)律、圖形的數(shù)值特征和位置關(guān)系特征等方面.

請(qǐng)你解決以下與數(shù)的表示和運(yùn)算相關(guān)的問(wèn)題:

(1)寫出奇數(shù)a用整數(shù)n表示的式子;

(2)寫出有理數(shù)b用整數(shù)m和整數(shù)n表示的式子;

(3)函數(shù)的研究中,應(yīng)關(guān)注y隨x變化而變化的數(shù)值規(guī)律(課本里研究函數(shù)圖象的特征實(shí)際上也是為了說(shuō)明函數(shù)的數(shù)值規(guī)律).

下面對(duì)函數(shù)y=x2的某種數(shù)值變化規(guī)律進(jìn)行初步研究:

xi0 1 2 3 4 5 ··· yi0 1 4 9 16 25 ··· yi+1?yi1 3 5 7 9 11 ···

由表看出,當(dāng)x的取值從0開(kāi)始每增加1個(gè)單位時(shí),y的值依次增加1,3,5...

請(qǐng)回答:

反思:根據(jù)題目的特點(diǎn),可以判斷為歸納猜想的思想.在解題時(shí),一般可以適當(dāng)增加一些數(shù)值,以便于猜想、歸納,減小難度.

反思:學(xué)生已學(xué)會(huì)解二元一次方程組,分式方程,一元二次方程.解這樣的方程組不在于知識(shí),而在于能力,在學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法中,重點(diǎn)在于強(qiáng)調(diào)消元思想,在于通過(guò)代人獲加減法消去一個(gè)未知數(shù),達(dá)到化二元為一元的目的,能否利用化歸思想解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵所在.利用圖象法解答也可以,先畫出函數(shù)y=4x和的圖象,找出兩圖象的交點(diǎn),目的在于引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決這一問(wèn)題,解題后,引導(dǎo)學(xué)生從題目的橫向思考,找出其他解法,歸納出同一問(wèn)題中隱含著多種數(shù)學(xué)思想;從題目的縱向思考同思路的習(xí)題,概括出同一思想方法在不同問(wèn)題中的應(yīng)用,促使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想,達(dá)到培養(yǎng)能力,變得“聰明”的目的.

數(shù)學(xué)教學(xué)不能滿足于單純的知識(shí)灌輸,就題論題,應(yīng)在基礎(chǔ)與能力之間架設(shè)橋梁,使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的東西——數(shù)學(xué)思想.在初中數(shù)學(xué)中,有效發(fā)展數(shù)學(xué)思想,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著極大的幫助,讓學(xué)生學(xué)到真正的數(shù)學(xué).

[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》北京師范大學(xué)出版社

[2]李鐵安《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)案例式解讀初中數(shù)學(xué)》教育科學(xué)出版社

[3]朱成杰《數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究導(dǎo)論》文匯出版社