廣東省佛山市南海區(qū)里水中學(528244)楊俊榮

初中分階段實施分類討論思想教學的實踐與思考*

廣東省佛山市南海區(qū)里水中學(528244)楊俊榮

所謂分類討論,就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時,就需要對研究對象按某個標準分類,然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.實質(zhì)上,分類討論是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的數(shù)學策略.應(yīng)用分類討論,往往能使復(fù)雜的問題簡單化.分類的過程,可培養(yǎng)學生思考的周密性,條理性,而分類討論,又可促進形成學生研究問題、探索規(guī)律的能力.初中數(shù)學教材內(nèi)容里面的一個概念,甚至是概念中的一句話、一個詞都隱含著分類討論的思想,無論在代數(shù)還是幾何中都能找到.分類思想已滲透到數(shù)學的各個方面,某些問題若不分類討論,就會無從著手或顧此失彼,導致錯誤的發(fā)生.近年來中考考題中涉及分類討論的試題也逐漸增多.但初中學生常常分類討論的意識不強,不知道哪些問題需要分類及如何合理的分類.這就需要教師在教學中結(jié)合教材,創(chuàng)設(shè)情景,予于強化,需要區(qū)分種種情況進行討論的問題,啟發(fā)誘導,揭示分類討論思想的本質(zhì),從而培養(yǎng)學生自覺應(yīng)用分類討論的意識.

新課標根據(jù)學生發(fā)展的生理和心理特征,將九年義務(wù)教育數(shù)學課程的學習時間劃分為三個學段.同時新課標在“實施建議”中也指出:“學生在積極參與教學活動的過程中,通過獨立思考、合作交流,逐步感悟數(shù)學思想”.以前我們在教學過程中,不是忽視提煉數(shù)學思想方法就是太急進,效果都不好.為了改變這種狀況,結(jié)合本人主持承擔的省級課題的子課題《如何在初中滲透分類討論思想的有效教學策略研究》,我們課題組在7–9年級的初中學段中進行了分階段實施“分類討論數(shù)學思想方法”教學的實踐研究,并取得了較好的效果.

一、實施前調(diào)查分析學生現(xiàn)狀

我們課題組分別從三個年級中抽取了A、B、C三個層次各100名學生進行了抽樣調(diào)查,通過問卷調(diào)查、訪談、測試、個案追蹤等方法進行調(diào)查研究,最后,大概總結(jié)出了如下幾點:

①A層學生存在“內(nèi)隱學習”.不管我們進不進行“數(shù)學思想方法的滲透和提煉”,他們都會自覺領(lǐng)悟.

②C層學生,進行“數(shù)學思想方法”的提煉也難以提高問題解決的能力.他們或者是知識還不過關(guān)、或者是雖知識過關(guān)但停留在機械學習的層次上.

③B層學生(50%左右的學生都屬于這一層),進不進行“數(shù)學思想方法的滲透和提煉”差異顯著.調(diào)查表明,他們有過關(guān)的知識基礎(chǔ),教師加以組織、給予啟引,對思想方法進行提煉很快就能產(chǎn)生理解.若沒有數(shù)學思想方法的提煉這一環(huán)節(jié),大批B層學生的認識就停留解該題的操作層面,面臨新情景表現(xiàn)出來的問題解決能力就不一樣.這說明,對多數(shù)學生而言,領(lǐng)悟“數(shù)學思想方法”不能單靠“內(nèi)隱學習”,教師提供“從內(nèi)隱到外顯”的機會、設(shè)計“從內(nèi)隱到外顯”的邏輯通道很重要.

④學生對數(shù)學思想方法的認識、感知、運用有個接受過程,與他們的知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗有關(guān),與他們的思維發(fā)展程度有關(guān),教學中想讓學生“一口吃成胖子”,往往過猶不及.

二、分階段實施分類討論思想教學的實踐

北師大版教材在實施新課標過程中根據(jù)初中學生各階段思維水平的不同對分類討論思想的滲透教學的程度呈現(xiàn)也不同.

基于上述調(diào)查分析的學生現(xiàn)狀,我們課題組從七年級開始對本屆四個班級學生進行實驗,跟蹤了六個學期,并與上一屆進行對比分析.在考慮實施分類討論思想的教學時主要可分為五個階段進行,下面是我們的一些嘗試和體會:

(一)第一階段:初步滲透分類的數(shù)學思想方法.

這一階段的教學主要在七年級上冊的教學中進行.七年級學生,雖然具備了一定的知識和經(jīng)驗基礎(chǔ),但直接經(jīng)驗少,理解能力差,思維形式正處在由具體形象思維而逐步向抽象邏輯思維過渡的階段,仍屬于經(jīng)驗性邏輯思維,很大程度上需要依賴具體形象的經(jīng)驗材料來理解抽象知識和概念.故教材讓學生在模仿與嘗試中初步感受分類的思想方法.對隱藏在具體內(nèi)容中的數(shù)學思想方法,抽象又陌生,學生是新手,往往缺乏方向感和有序性而思緒紊亂.這需要我們分析學生在獲得數(shù)學思想時有怎樣的偏頗和障礙,把握學生的心理規(guī)律,并設(shè)計適當?shù)母行院屠硇曰顒?進行有針對性的啟發(fā)和引導,設(shè)計能幫助學生真正獲得數(shù)學思想的執(zhí)行序列,因為成熟的數(shù)學思考過程是有序的,自然合理的,簡單的.

七年級上冊教材安排主要是讓學生初步了解如何把已知的幾何圖形按一定的標準分類.此學段只是讓學生在模仿與嘗試中初步感受分類的思想方法,并未涉及到分類討論的層面.

例1:(七年級上冊P2數(shù)學理解第3題)將下列幾何體分類,并說明理由.

圖1

解:(1)若按柱體、錐體、球體來劃分,1、2、4、6、7是一類,為柱體;5是錐體,3是球體;

(2)若按組成面的平或曲劃分,3、4、5是一類,組成它們的面中至少有一個是曲的,1、2、6、7是一類,組成它們的面都是平的;

(3)若按有無頂點來劃分,1、2、5、6、7是一類,它們都有頂點,3、4是一類,它們沒有頂點.

分析:“分類”的方法小學都有部分涉及,本題讓學生初步了解分類思想,使學生知道分類就是選取適當?shù)臉藴?根據(jù)對象的屬性,不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類,而后對每一子類的問題加以解答,不同的分類標準有不同的分類結(jié)果.這只是在小學時對“分類”的感性認識的進一步發(fā)展.北師大版教材的編排將知識內(nèi)容以螺旋形式上升呈現(xiàn),而初中教學與小學肯定要有區(qū)別,但這不等于我們可以任意拔高,無視違背剛上初中的七年級學生的認知規(guī)律.所以我們更要認真研讀《課標》要求,準確目標定位.針對這些目標,我們可以設(shè)計讓學生去觀察、實驗、探究、提問、討論、猜想、驗證等活動,在這些活動中滲透分類討論數(shù)學思想方法,并將它們顯化,這有助于學生加快認識數(shù)學思想和方法,但是不宜進行不切實際的拓展和挖掘.

(二)第二階段:初步接觸分類討論,意識和領(lǐng)悟階段.

這一階段的教學主要在七年級下冊的教學中進行.在七上的基礎(chǔ)上繼續(xù)探討三角形的分類.讓學生進一步理解按不同的分類,標準將有不同的結(jié)論,如:例2、例3.同時初步接觸分類討論的思想方法.對學生的分類討論思想有了進一步的發(fā)展.

例2:七年級下冊P63議一議

(1)下面的圖(1)、圖(2)、圖(3)中的三角形被遮住的兩個內(nèi)角是什么角?試著說明理由.

(2)將圖(3)的結(jié)果與圖(1)、圖(2)的結(jié)果進行比較,可以將三角形如何按角分類?

圖2

我們可以按三角形內(nèi)角的大小把三角形分為三類:

圖3

分析:學生從游戲中歸納出根據(jù)三角形內(nèi)角的大小能把三角形分成三類.然后讓學生任意說出三角形的兩個內(nèi)角的度數(shù),請其他同學說出是什么三角形.通過對三角形分類的學習,使學生了解數(shù)學分類的基本思想.

例3:七年級下冊P66引例

三角形按邊分類:

按邊分:

圖4

分析:學生能夠根據(jù)上節(jié)課的內(nèi)容,將所給的三角形按角進行分類,類比想到第二問,體會如何按邊來分類,教學過程中滲透分類的數(shù)學思想.

通過對等腰三角形的認識,引出等腰三角形的定義以及三角形按邊分類,進一步體現(xiàn)數(shù)學分類的思想.

(三)第三階段:挖掘、顯化分類討論思想方法,讓學生形成用分類討論思想解決問題的主動性.

這一階段的教學主要在八年級的教學中進行.八年級的學生已經(jīng)具備了一定的學習能力,抽象思維能力已基本形成,具備了一定的知識儲備和學習經(jīng)驗,雖然看問題仍不全面,易片面,但學習的獨立性,自覺性增強,抽象邏輯思維能力初步形成.這個時期可以通過具體的教學內(nèi)容,在教學活動過程中盡可能地挖掘和體驗數(shù)學思想方法,讓學生在獨立探索與合作交流中更好地理解分類討論的思想方法.逐步形成和提高學生的邏輯思維、發(fā)散思維等能力.因此,結(jié)合學生實際,深入剖析教材,從數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程中挖掘數(shù)學思想方法,融數(shù)學知識學習、思想方法學習于一體,能切實提升學生有效的數(shù)學學習力.

1.八年級上冊

在七上,七下的基礎(chǔ)上,進一步探究幾何圖形的不確定造成的分類討論,但圖形分類后融入了計算和對比,讓學生在實際問題中感受分類討論的必要性,使學生養(yǎng)成用分類討論思想解決問題的主動性.

例5:八年級上冊P29解決問題第12題

如圖,長方體的長為15,寬為10,高為20,點B離點C的距離是5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是多少?

圖5

分析:此題在分析如何求螞蟻的最短距離時,要考慮三種展開圖中去分別計算和比較,這體現(xiàn)了分類討論思想.教學中可讓學生自主學習、合作交流,充分體驗分類討論思想的的運用.

2.八年級下冊

在八上的基礎(chǔ)上繼續(xù)鞏固和提高在幾何圖形中進行分類討論并計算的能力.此時的分類有一定的隱蔽性,要求學生有嚴密的思維和用分類討論思想解決問題的主動性.如:等腰三角形、直角三角形的分類討論問題等.(例6)

同時新涉及到了代數(shù)范圍的分類討論,對字母的取值范圍分類進行討論,此時對學生的抽象思維能力有了一定的要求.如:不等式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用.(例7)

例6:1.等腰三角形中一個內(nèi)角為50℃,那么它的底角是____;

2.等腰三角形一邊長為4,一邊長為9,它的周長是___;

分析:已知等腰三角形一個內(nèi)角的度數(shù)求另外兩個角的度數(shù),或已知等腰三角形一條邊長求另外兩條邊的長,一般都要分類討論.

例7:P41:不等式的基本性質(zhì)2、3用式子可表述為:

1.若a>b,

分析:在教學中滲透分類思想時,應(yīng)讓學生了解,所謂分類就是選取適當?shù)臉藴?根據(jù)對象的屬性,不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類,而后對每一類的情況加以分析解答.

此階段是在學生對數(shù)學思想方法有了初步的了解和認識之后,我們盡可能在設(shè)計問題和設(shè)計教學時挖掘、顯化數(shù)學思想方法,讓思想方法在學生大腦中“著床”,積累更多經(jīng)驗,逐漸養(yǎng)成思維能力.與以前的教學相比,學生的思維和能力有了質(zhì)的飛躍.

(四)第四階段:深化與發(fā)展階段.

這一階段的教學主要在九年級的教學中進行,主要是以三角函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、圓的有關(guān)知識為載體展開.對于九年級的學生,已經(jīng)具備了相當?shù)闹R水平,對數(shù)學思想方法有了一定的理解,并在解決問題過程中形成了一定的運用思想方法的意識.因此教學中教師應(yīng)重點引導學生從變化多端的問題情境中抓住問題的實質(zhì),尋求不同問題解決中的共同的內(nèi)涵,讓學生主動領(lǐng)悟隱含于數(shù)學問題背后的思想方法,并主動運用分類討論思想方法解決共性的問題.

1.九年級上冊

在八年級的基礎(chǔ)上對學生的抽象思維能力有了更進一步的要求,在分類討論問題時往往融入了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,要求能夠分類畫出不同情況的圖形然后進行討論計算.

例8:(九年級上冊P86問題解決第4題)

如圖,在△ABC中,AB=8cm, BC=16cm,動點P從點A開始沿AB邊運動,速度為2cm/s;動點Q從點B開始沿BC邊運動,速度為4 cm/s.如果P、Q兩動點同時運動,那么何時△PBQ與△ABC相似?

圖6

分析:相似三角形的分類討論主要由三角形對應(yīng)頂點或?qū)?yīng)邊的不同情況引起的.分兩種情況討論:當△BPQ～=△BAC時,有;當△BPQ～=△BCA時,有

(二)九年級下冊

在九年級上冊的基礎(chǔ)上對學生的形象思維和抽象思維能力有了更高的要求,在分類討論問題時融入了數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想,要求學生能夠分類畫出不同情況的圖形然后進行證明,而在證明過程中往往同時滲透著化歸的數(shù)學思想.在此學段往往出現(xiàn)一些綜合運用數(shù)學思想方法的題型,對學生要求達到了較高層次.

例9:(P79頁圓周角定理的證明):

圓周角定理:“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”

解:情況1:如圖7,當圓心O在的一邊BC上時

情況2:當圓心O在的內(nèi)部時

如圖8,連接BO并延長交圓O于點D

情況3:當圓心O在的外部時,

如圖9,連接BO并延長交圓O于點D

圖7

圖8

圖9

分析:學生需要分類畫出三種不同位置的圖形,這對學生來說難度教大,大部分學生只會畫出其中一種或兩種.教學過程中要有意識地向?qū)W生滲透解決問題的策略以及轉(zhuǎn)化、分類、歸納等數(shù)學思想方法.

(五)第五階段:感悟數(shù)學思想方法,衍生思維.

這一階段是數(shù)學思想方法的內(nèi)化過程,它是獲得能力的自身性增長與實質(zhì)性提高、具有形成新認知結(jié)構(gòu)功能的過程,也會是一個漫長的過程,需要學生對學習過程和知識內(nèi)容進行自覺的反思,使理解進入到深層結(jié)構(gòu),通過已知學未知、通過分析“怎樣學習”而領(lǐng)悟“怎樣學會學習”.單純的實踐保證不了從感性到理性的飛躍,所以學生若停留在掌握知識、學會解題甚至能做變式題、能說出所用的數(shù)學思想方法這樣的層次,遠遠不夠.日本著名數(shù)學教育家米山國藏指出“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年可能就忘了,唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學的精神,數(shù)學的思想、研究的方法和著眼點等,這些隨時隨地發(fā)生作用,使他們終身受益.”怎樣讓學生跨越“數(shù)學知識學習+練習+數(shù)學思想方法的接受”而獲得本質(zhì)領(lǐng)悟衍生思維呢?我們應(yīng)在教學活動中,努力搭建讓學生自覺反思的平臺或機會,也一樣可用啟發(fā)式法促進學生自覺反思、自發(fā)領(lǐng)悟.當然,“自發(fā)領(lǐng)悟”作為隱性學習,不同于技能操作,有待我們進一步的研究.

三、研究成效及反思

1.通過三個年級教材中分類討論思想方法的教學實踐,讓我們體會到:

(1)數(shù)學知識是將數(shù)學思想和數(shù)學方法應(yīng)用于解決問題的實體,而強化數(shù)學思想方法的教學是提高學生學習成績的有效途徑.

(2)在數(shù)學教學中,教師應(yīng)精心設(shè)計問題,有意識地梳理和歸納數(shù)學問題中的分類的方法,滲透和揭示其中分類討論的數(shù)學思想,培養(yǎng)學生形成良好的數(shù)學素養(yǎng).

(3)數(shù)學思想的滲透與方法的提煉不是一蹴而就的,它是一個細致而漫長的過程.在教學中我們要注意每個學段課標的具體要求,根據(jù)學生的思維發(fā)展水平安排相應(yīng)的教學,不可拔苗助長.

2.在教學中,如何引導梳理數(shù)學思想方法呢?以習題教學為例,習題教學其實可以通過分析解題的過程與步驟,提煉出數(shù)學實質(zhì)與邏輯結(jié)構(gòu).于是內(nèi)在的思想方法就有機會浮出水面了,不浮出水面也能作為“隱性知識”而“滲透”在學生的思想里.事實證明,這種方法還是行之有效的.過去,我們較好的學生都只是做一題會一題,現(xiàn)在,我們較好的學生中85%以上能正確分析解決變式題,達到了做一題會一類的能力.

為了檢驗分段實施分類討論思想方法教學的效果,我在初三的一次模擬考試中出了兩道跟三年前一樣考查分類討論思想的題,結(jié)果表明,我們的教學可行而且有效.下面是本屆A層班該題得分情況與三年前相應(yīng)層次學生的對比:

(三年前)班別九(8)九(9)九(10)九(11)得分率0.42 0.50 0.49 0.63 (本屆)班別九(6)九(7)九(8)九(9)得分率0.79 0.73 0.75 0.72

而從全級來看,本屆九年級學生的數(shù)學成績(平均分、合格率和優(yōu)秀率)在這三年也是一年比一年好.從七年級到現(xiàn)在,與兄弟學校的成績對比中也可發(fā)現(xiàn),我們的學生在應(yīng)用分類討論思想解決問題的能力有一定的優(yōu)勢.

3.數(shù)學思想方法也應(yīng)及時鞏固.

我們的課堂教學,已意識到滲透數(shù)學思想方法的必要性和重要性,但也常常僅止于此,無論是一堂課的課堂練習、課堂檢測還是課外作業(yè),往往都只關(guān)注知識點的鞏固,而忽視了思想方法的鞏固.

案例:在“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”一課的教學中,我有意識有滲透有分析有顯化分類討論的數(shù)學思想,只是沒有及時用相應(yīng)的習題去鞏固這種思想方法,結(jié)果在后來的一次檢測中,解決題“已知點(x1,y1),(x2,y2)都在反比例函數(shù)圖象上,且x1>x2,比較y1與y2的大小.”時,只有大概40%左右的學生有分類意識,雖然這與學生對反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)認識不足有關(guān),但也充分說明了,沒有及時鞏固數(shù)學思想方法,哪怕你提供了高認知水平的教學,也無法達到預(yù)期的效果.

在后面的教學中我進行了改進,在證明“圓周角定理”這一節(jié)課時,除了對分類思想進行提煉和梳理外,還特地在隨堂練習中出了幾道“風牛馬不相及”的練習,這幾道題沒有涉及“圓周角定理”的知識,但涉及分類的思想方法.及時對這種思想方法進行了鞏固.

備課組在這一章的測驗和一次模擬考試中分別出了這樣兩道題:

(1)“若⊙O所在平面內(nèi)一點P到⊙O上的點的最大距離為8,最小距離為2,求此圓的半徑.”

(2)證明圓周角定理:圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半;

說明:根據(jù)圓周角和圓心的位置關(guān)系,分三種情況:圓心O在∠A的一條邊上如圖10;圓心O在∠A的內(nèi)部如圖11,圓心O在∠A的外部如圖3,

①請根據(jù)圖10證明圓周角定理,(要求:寫出定理的已知、求證、證明).

圖10

圖11

圖12

圖13

②利用①的結(jié)論請選擇圖11或圖12證明圓周角定理(要求:只要寫出證明過程)

③如圖13,∠A為弧BC所對的圓周角,過點B作射線BE交圓O于點D,點P為射線BE上任意一個點,請你比較∠BPC與∠A的大小.(要求:直接寫出答案,不用證明.)

能有分類意思的學生分別占90%、83%,能順利運用分類討論的方法解決問題的分別占86%、75%.若沒有這一環(huán)節(jié),估計能做對、做全這兩題的同學不會達到一半.

4.課堂小結(jié)不應(yīng)把數(shù)學思想方法置于被遺忘的角落.總結(jié)反思是任何課型都必須給予關(guān)注的環(huán)節(jié),通過總結(jié)反思能有效把握知識的脈搏,對于學生來說,是構(gòu)建良好的認知結(jié)構(gòu)、發(fā)展數(shù)學思維能力的平臺.在近幾年的課改課堂中,小結(jié)的環(huán)節(jié)老師總是機械地:“本節(jié)課你學到了什么”“說說你的困惑”等,學生的回答也落入俗套或模式化,唯獨少了對數(shù)學思想和數(shù)學本質(zhì)進行歸納和再一次顯化的重要環(huán)節(jié).

數(shù)學思想方法是不可視的,蘊涵于運用數(shù)學方法分析、處理和解決數(shù)學問題的過程之中.這些內(nèi)涵與功能,學生往往不易自覺地發(fā)現(xiàn),只有通過教師的創(chuàng)造性再加工,才能既激發(fā)學生的興趣,又激活學生的創(chuàng)造思維.在教學中,我們要多研究、多實踐、多探索,讓學生更好的掌握好初中數(shù)學中的分類討論思想.從而提高學生的數(shù)學素養(yǎng),對學生進行思想觀念層次上的數(shù)學教育.

*本文是廣東省教育科學“十二五”規(guī)劃立項課題“中學數(shù)學思想方法”課題的子課題成果之一.