盛 麗

一、問題的提出

浙江省功勛教師、著名特級教師張?zhí)煨⒗蠋焾猿謹?shù)學教學要以能力為重，以促進學生高層次思維發(fā)展為目標，設(shè)計了一系列富有新意的計算問題。其中，由張老師主編的《學數(shù)學長智慧》六年級上第23頁第2題是這樣一道題:從1～9這九個數(shù)字中任選五個數(shù)字以及用上“+、-、×、÷、（ ）”等符號構(gòu)建數(shù)學等式如“1×4÷2=9-7，45=（8-3）×9”。

解決這個問題比較理想的一種思路是：選定五個數(shù)字，如1、2、3、4、5，先構(gòu)造一個等式，如 1+2=（5+4）÷3，進而對這個等式進行移項操作，獲得更多的等式，如：1=（5+4）÷3-2，2=（5+4）÷3-1，5+4=（1+2）×3，3=（5+4）÷（1+2），5=（1+2）×3-4……用同樣的5個數(shù)還可以構(gòu)造不同的等式，如1×5=2×4－3，通過移項可得：1=（2×4－3）÷5……依此繼續(xù)。

顯然，本題真正的挑戰(zhàn)不在于運算，而是要綜合考慮數(shù)值的特點，將各個數(shù)以不同的方式靈活地組合起來。它把數(shù)感與代數(shù)思維的啟蒙結(jié)合在一起，與通常的計算訓練相比，更有利于發(fā)展學生思維的靈活性和創(chuàng)造性。

那么，學生是怎樣來思考類似的問題的？通過教學，學生可能達到怎樣的水平？筆者在本校三年級選取一個班的學生，嘗試進行“選數(shù)字構(gòu)建數(shù)學等式”的實驗研究。

二、實驗對象及過程

1.實驗對象。

臨安市某城鎮(zhèn)小學三年級一個班，共47名學生。（該地區(qū)學生一直使用人教版教材，按照正常的教學進度，已學完基本的四則運算）

2.實驗和訪談過程。

本次實驗在被測對象不變的情況下，按“前測——學生訪談——上 課 和 練 習——后測——學生訪談”的程序進行。

三、實驗結(jié)果與分析

1.前測情況。

（1）基本情況：2015年4月29日下午，在學生事先不知情的情況下，由筆者自己組織測試。測驗用題為：用 5、6、7、8、9這 5個數(shù)字以及“+、-、×、÷、（ ）”等符號構(gòu)建出一些數(shù)學等式。考慮到三年級學生對“等式”概念非常陌生，測驗前舉例說明了“等式”的意思：像4×5=3×9-7；45=（8-3）×9這樣用等號連接的式子叫等式。整個測試過程學生沒有任何的討論與交流，基本反映了學生在自然情境下獨立解答這一問題的水平。

測試后，我們對學生的測試情況進行初步的整理，并在整理的基礎(chǔ)上，選擇一部分學生進行訪談，測試與訪談在同一個下午完成。

（2）前測情況分析。

等式通過率情況統(tǒng)計表

表1

從表1可以看出，29.8%的學生不能獨立解答，有70.2%的學生能構(gòu)建出1個及1個以上的等式，有8.4%的學生得到了5個或6個等式，在15分鐘內(nèi)最多可以得到6個等式。

分析其原因，由于第一次接觸這樣的題目，多數(shù)學生處于無定向的嘗試狀態(tài)，不能從數(shù)與式的聯(lián)系中尋找規(guī)律，思考對策，因而效率較低。且有一部分學生挑戰(zhàn)新題型的信心不足，幾次嘗試失敗后，繼續(xù)挑戰(zhàn)的動力不足。

測試中，僅3人自覺或不自覺地用到了恒等變形的策略（如下圖），可以認為這個階段的學生，有序思考能力和代數(shù)變形水平都相對較低，思維的可逆性較差。

2.上課和練習。

前測結(jié)束后的第二天，教師進班上課，按一天一節(jié)，共兩課時教學。

第一課時：“構(gòu)建等式”教學。

課時內(nèi)容：

（1）什么是等式？

分小組開展“玩轉(zhuǎn)天平”活動，理解等式的含義。強調(diào)：當兩個量相等時，可以用等號連接，等號表示等價。

（2）如何構(gòu)建一個等式？

小游戲：用 1、2、3、4、5 五個數(shù)字構(gòu)建等式。

通過學生自主嘗試和相互交流，逐步積累起一些構(gòu)造等式的經(jīng)驗，突出有序思考：如先想數(shù)字1和2，可以構(gòu)成算式1+2，2－1，1×2，2÷1，或者兩位數(shù) 12，21；取“1+2”作為等式的一邊，則另一邊需要用數(shù)字3、4、5構(gòu)造一個得數(shù)等于 3的算式，3÷（5－4）、3×（5-4）、（4+5）÷3、……則可形成等式1+2=3÷（5－4）、1+2=3×（5-4）、1+2=（4+5）÷3等；繼續(xù)取“2-1”作為等式的一邊思考……

作業(yè)：用 5、6、7、8、9 這五個數(shù)字以及“+、-、×、÷、（ ）”等符號構(gòu)建出盡可能多的等式。

第二課時：“恒等變形”教學。

課時內(nèi)容：

8=6÷（9-7）+5

9-7=6÷（8-5）

5=___________

9=___________

6=___________

7=___________

利用學生的作業(yè)（“5、6、7、8、9”五個數(shù)字構(gòu)建基本等式）進行恒等變形教學，如某生已得等式：8－5=6÷（9－7），引導學生通過數(shù)與式的關(guān)系進行以下變形。

作業(yè)：用 3、4、5、6、7 這 5 個數(shù)字以及“+、-、×、÷、（ ）”等符號構(gòu)建出盡可能多的等式。

3.后測情況。

（1）基本情況：2015年 5月7日下午，筆者對同一個班的學生進行創(chuàng)造性思維水平的檢測。測驗題目是：從1～9這九個數(shù)字中任選五個數(shù)字以及用上“+、-、×、÷、（ ）”等符號構(gòu)建出數(shù)學等式。強調(diào)：選好的5個數(shù)字全都要用上，且每個數(shù)字只能用一次；盡可能多地寫出數(shù)學等式。測驗時間15分鐘。

后測比前測增加了開放性，即我們考查的主要不是學生能否記住本題的答案，而是通過教學，學生是否積累到了必要的思維經(jīng)驗，并能把經(jīng)驗遷移到新的問題情境中，獲得思維能力的真發(fā)展。

（2）后測情況分析。

等式通過率情況統(tǒng)計表

表2

從表2可以看出，97.9%的學生能獨立構(gòu)建1個及1個以上的等式，只有1人沒有構(gòu)建成功。有70.2%的學生能構(gòu)建5個及5個以上的等式，有42.6%的學生能構(gòu)建11個及11個以上的等式，在15分鐘內(nèi)最多可以得到27個等式。47人中有43人較前測有明顯進步。通過這樣的題目發(fā)展學生思維的效果非常顯著，使我們相信教學在發(fā)展學生高層次思維能力方面大有可為。

測試發(fā)現(xiàn)，在構(gòu)建等式過程中使用變形策略的學生有39人，其中最多的1位同學構(gòu)建出27個等式，經(jīng)過4次變形。（訪談中這位同學還說，如果再給他一些時間，他能寫出更多的等式）

另有12人嘗試利用運算規(guī)律來增加構(gòu)造等式的數(shù)量，這是課堂中沒有講到過的，體現(xiàn)出一定的創(chuàng)造性。

四、對教學的啟示

1.構(gòu)建等式的訓練有助于啟蒙學生的代數(shù)思維。

根據(jù)以往的學習經(jīng)驗，三年級學生對“=”的理解往往停留在“得出”，而非左右兩邊的“等價”。而在本實驗的后測中，絕大多數(shù)的學生能從一道構(gòu)建成功的等式入手，通過恒等變形或數(shù)字變換得到更多的等式，這可以視為代數(shù)思維中的“結(jié)構(gòu)意識”在學生心中已經(jīng)萌芽。

2.創(chuàng)造性思維的訓練存在很大的空間。

本題的訓練目的不是為了單純求出一個結(jié)果，引出一個結(jié)論，而更看重訓練過程中學生思維的發(fā)生和發(fā)展。實驗結(jié)果表明，這種非常規(guī)題的教學和練習，極大地激發(fā)起學生的學習興趣，喚起他們的自主和自信，有助于提高他們分析、推理以及變換的能力，鍛煉思維的深刻性、靈活性和創(chuàng)造性。學生的創(chuàng)造性思維是可以得到有效的培養(yǎng)和訓練的。

3.存在的問題。

本實驗周期較短。一方面，所有的訓練內(nèi)容有較強的針對性，課堂練習和后測問題聯(lián)系緊密，后測數(shù)據(jù)可能存在短期效應(yīng)，如何形成課程體系，落實到平時的課堂中，使內(nèi)容更優(yōu)化，教學更有序，有待進一步思考；另一方面，實驗題目新穎，教師和家長缺乏一個認同、理解和有效加工的過程，難免影響到學生的掌握水平。