王青占,趙建中,郭興明

(上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海　200072)

復(fù)雜荷載環(huán)境下海上風(fēng)力機(jī)的建模及動(dòng)力學(xué)特性分析

王青占,趙建中,郭興明

(上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海200072)

通過(guò)分析處于海風(fēng)、海浪、海流、土壤力等復(fù)雜荷載作用下的海上風(fēng)力機(jī)支撐結(jié)構(gòu),采用赫維賽德階躍函數(shù)和狄拉克δ函數(shù)建立了連續(xù)統(tǒng)一的、頂端帶有集中質(zhì)量塊的懸垂梁風(fēng)力機(jī)動(dòng)力學(xué)模型.基于對(duì)控制方程的Galerkin截?cái)?得到離散化的常微分方程組,使用四階Runge-Kutta方法求解,得到了模型的動(dòng)力學(xué)行為特性云圖曲線.通過(guò)懸垂梁風(fēng)力機(jī)模型的時(shí)程曲線、龐加萊映射對(duì)風(fēng)力機(jī)模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,給出了位移和速度的幅值隨激振力頻率變化的幅頻特性曲線,并研究了垂向激振、自重、變剛度參數(shù)對(duì)風(fēng)力機(jī)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性及其穩(wěn)定性的影響.

海上風(fēng)力機(jī)；變軸力；復(fù)雜荷載；變剛度；動(dòng)力響應(yīng)

近年來(lái),各國(guó)對(duì)風(fēng)能、太陽(yáng)能等可替代的潔凈新能源的開發(fā)利用力度加大,尤其是對(duì)海上風(fēng)力機(jī)的研究越發(fā)引起各國(guó)科研工作者的重視[1].以英國(guó)、丹麥和德國(guó)為代表的歐洲走在了海上風(fēng)力發(fā)電研究的前端,近兩年的裝機(jī)總量不斷增加,發(fā)電量所占的比重相應(yīng)提高.圖1為海上風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)的示意圖.海上風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)由風(fēng)力機(jī)、支撐結(jié)構(gòu)和地基基礎(chǔ)三部分組成,其中風(fēng)力機(jī)由葉片、輪轂和機(jī)艙構(gòu)成；支撐結(jié)構(gòu)包括塔筒和下部結(jié)構(gòu),下部結(jié)構(gòu)分為固定式和漂浮式兩種形式.無(wú)論支撐結(jié)構(gòu)采用固定式還是漂浮式,海上風(fēng)力機(jī)與陸地風(fēng)力機(jī)、海上油氣平臺(tái)工程都有較大區(qū)別[2],在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、環(huán)境條件、荷載特征等方面都具有特殊性.首先,海上風(fēng)力機(jī)與塔架要經(jīng)受臺(tái)風(fēng)的嚴(yán)峻考驗(yàn),其下部結(jié)構(gòu)還要受到波浪、海流以及與土體之間的耦合作用[3],且風(fēng)、浪、流是有一定耦合的.國(guó)內(nèi)外的相關(guān)學(xué)者和研究機(jī)構(gòu)也開始對(duì)海上風(fēng)電工程和其他浮體項(xiàng)目進(jìn)行研究.南京航空航天大學(xué)胡文瑞等[4]進(jìn)行了大型風(fēng)力機(jī)的空氣動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)研究,中國(guó)科學(xué)院力學(xué)所周濟(jì)福等[5]針對(duì)海上風(fēng)電工程和地基的關(guān)鍵力學(xué)問題進(jìn)行了相關(guān)研究.國(guó)內(nèi)一些學(xué)者通過(guò)有限元建模仿真計(jì)算對(duì)海上風(fēng)力機(jī)進(jìn)行氣動(dòng)力學(xué)、結(jié)構(gòu)靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的研究[6-9].國(guó)外學(xué)者主要對(duì)風(fēng)力機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模分析[10-11],包括對(duì)不同基礎(chǔ)、浮動(dòng)風(fēng)機(jī)以及海床結(jié)構(gòu)的參數(shù)化模擬分析.但是考慮復(fù)雜海洋環(huán)境的綜合作用,以及風(fēng)力機(jī)結(jié)構(gòu)剛度變化的報(bào)道較少.本工作建立的帶有集中質(zhì)量塊的懸垂梁風(fēng)力機(jī)動(dòng)力學(xué)模型較好地考慮了這些因素,研究的結(jié)果也可為后續(xù)風(fēng)力機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和安全評(píng)估提供重要參考.

圖1　海上風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)示意圖Fig.1　Sketch of offshore wind turbines

1　海上風(fēng)力機(jī)的結(jié)構(gòu)分析與簡(jiǎn)化模型

對(duì)于海上風(fēng)力機(jī)模型的研究,采用較多的是有限元仿真計(jì)算.例如,用有限元進(jìn)行非線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、流固耦合或者土體與結(jié)構(gòu)耦合[12]、葉輪氣動(dòng)力學(xué)研究等.王磊等[13]通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真,結(jié)合水動(dòng)力學(xué)模型和風(fēng)輪空氣動(dòng)力學(xué)模型,建立了“風(fēng)輪-機(jī)艙-塔筒-系泊系統(tǒng)”組成的多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,并對(duì)漂浮式風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)和近海的定樁式風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析對(duì)比,研究結(jié)果表明氣動(dòng)載荷與水動(dòng)力相互耦合對(duì)整機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)及功率波動(dòng)有著明顯影響.空間太陽(yáng)能電板、飛機(jī)機(jī)翼、海上風(fēng)力機(jī)塔筒等大尺寸細(xì)長(zhǎng)物體,在某種程度下都可以簡(jiǎn)化為梁模型.Piana[14]和Virgin[15]通過(guò)建立類似的彈性結(jié)構(gòu)模型研究了上述結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性和振動(dòng)之間的相互作用,進(jìn)一步分析了結(jié)構(gòu)承受類似于軸向壓力的載荷(盡管可能不會(huì)直接導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失穩(wěn))對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率產(chǎn)生的影響,并以此結(jié)果為參照對(duì)結(jié)構(gòu)施加控制[16].

Lajimi等[17]用Frobenius冪級(jí)數(shù)法研究了質(zhì)量塊的質(zhì)量、旋轉(zhuǎn)慣性以及偏心距對(duì)頂端承受集中質(zhì)量塊固支懸垂梁的固有頻率的影響,研究結(jié)果表明該結(jié)構(gòu)的固有頻率隨著集中質(zhì)量塊質(zhì)量的增加而降低.Auciello[18]研究了水對(duì)風(fēng)力機(jī)模型固有頻率的影響,結(jié)果表明水只對(duì)較高的固有頻率產(chǎn)生顯著影響,而對(duì)于通?？紤]的前三階固有頻率的影響不大.U′sci′lwska等[19]建立了半浸水頂端承受集中質(zhì)量的懸垂梁模型,并以水面為界限建立了兩段梁的運(yùn)動(dòng)方程,將集中質(zhì)量塊歸類于邊界條件,求解六階奇異矩陣得到了控制其固有頻率的特征方程.Andersen等[20]通過(guò)彈簧模擬樁體與土壤之間的p-y曲線,研究了海床對(duì)風(fēng)力機(jī)支撐機(jī)構(gòu)的影響.

工程設(shè)計(jì)中海上風(fēng)力機(jī)塔架的固有頻率必須要避開風(fēng)力機(jī)轉(zhuǎn)子的自激頻率.通過(guò)對(duì)海上風(fēng)載以及海浪沖擊荷載的觀測(cè)和統(tǒng)計(jì),找出風(fēng)力機(jī)設(shè)計(jì)自然頻率的安全頻域,通過(guò)本工作的參數(shù)化計(jì)算和模擬,可以選擇合適的風(fēng)力機(jī)設(shè)計(jì)參數(shù),提高風(fēng)力機(jī)的效率和使用壽命.通過(guò)本工作所考慮的機(jī)艙重量和風(fēng)力機(jī)工作動(dòng)荷載進(jìn)行調(diào)節(jié)和振動(dòng)控制,也可以結(jié)合海上環(huán)境氣候統(tǒng)計(jì)[21]分析來(lái)調(diào)節(jié)海上復(fù)雜荷載的組合參數(shù),進(jìn)而更加真實(shí)模擬復(fù)雜的海洋作用環(huán)境.綜上所述,本工作所建立的模型和計(jì)算方法有很好的適應(yīng)性,可用于不同海洋環(huán)境和風(fēng)力機(jī)參數(shù)的普適計(jì)算.

2　懸垂梁風(fēng)力機(jī)模型的動(dòng)力學(xué)方程

2.1動(dòng)力學(xué)一般方程的建立

海上風(fēng)力機(jī)支撐結(jié)構(gòu)模型如圖2所示.整個(gè)艙重和葉輪用一集中質(zhì)量塊M表示,葉片承受的風(fēng)載等效為作用在輪轂處的集中力f1(x,t),塔體所受的風(fēng)載為f2(x,t),海浪潮汐的作用為f3(x,t),海流的作用為f4(x,t),海床巖土對(duì)塔體的作用為f5(x,t).同時(shí)引入隨徑向和時(shí)間變化的軸力,以及由填充鋼筋混凝土引起的變剛度高度,依據(jù)能量法建立Euler-Bernoulli懸垂梁模型的運(yùn)動(dòng)方程[22]：移,M為塔筒頂端(機(jī)艙和葉片)質(zhì)量,ε和σ分別為風(fēng)力機(jī)振動(dòng)的動(dòng)質(zhì)量參數(shù)和額定工作頻率, l1為塔筒內(nèi)部混凝土填充高度,m為單位長(zhǎng)度空心塔筒的質(zhì)量,mc為單位長(zhǎng)度填充鋼筋混凝土的質(zhì)量,dc為塔筒內(nèi)徑,H(x)表示赫維賽德階躍函數(shù),δ(x)為狄拉克脈沖函數(shù).

圖2　海上風(fēng)力機(jī)支撐結(jié)構(gòu)模型Fig.2　Structure model of offshore wind turbines

2.2控制方程及邊界條件的無(wú)量綱化處理

為方便計(jì)算,對(duì)懸垂梁風(fēng)力機(jī)模型進(jìn)行無(wú)量綱化處理.引入無(wú)量綱參數(shù),令

式中,Υ為位移標(biāo)定參量,v(ξ,τ)為橫向振動(dòng)位移w(x,t)的無(wú)量綱表示,ξ1為鋼筋混凝土填充變量,ξ2為反映海域深淺的量,ξ3為反映海床環(huán)境的量,κ為混凝土剛度調(diào)節(jié)參數(shù),κ1為混凝土與塔筒旋轉(zhuǎn)慣性比參數(shù),η1為塔筒與艙體的質(zhì)量比(又稱固有頻率影響因子),η2為旋轉(zhuǎn)慣性參數(shù),κ3為混凝土質(zhì)量填充參數(shù),α為集中質(zhì)量塊慣性影響參數(shù),τ為無(wú)量綱時(shí)間尺度,σ為風(fēng)機(jī)激振頻率,ζ為結(jié)構(gòu)阻尼比.

風(fēng)力機(jī)模型的無(wú)量綱控制方程為

邊界條件的無(wú)量綱化為

2.3復(fù)雜荷載及其無(wú)量綱化處理

風(fēng)力發(fā)電機(jī)組運(yùn)行時(shí),其葉片上的風(fēng)荷載和風(fēng)力機(jī)偏航引起的荷載通過(guò)結(jié)構(gòu)和傳動(dòng)機(jī)構(gòu)作用在塔架頂端,所以相關(guān)規(guī)范規(guī)定海上風(fēng)電機(jī)組基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)考慮風(fēng)電機(jī)組的荷載.這部分荷載包括風(fēng)輪上的靜風(fēng)壓引起的荷載、湍流和尾流引起的荷載、風(fēng)力發(fā)電機(jī)偏航引起的荷載和風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的重力荷載等.動(dòng)荷載包括風(fēng)力機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)荷載,以及風(fēng)、浪、流、冰和地震荷載.為了便于分析計(jì)算,分別將風(fēng)輪荷載簡(jiǎn)化為輪轂集中力和風(fēng)力機(jī)垂向激振荷載,將塔筒承受的風(fēng)荷載簡(jiǎn)化為均勻脈動(dòng)的荷載,將海面處承受的海浪等沖擊荷載用脈沖荷載表示,土壤與塔基之間的作用力[12]用近似簡(jiǎn)化的p-y曲線表示.具體化簡(jiǎn)后的荷載表示如下.

海平面處的波浪、海冰船舶沖擊荷載(集中)：

式中,p5(ξ,τ)=?5H(ξ3?ξ)tanh(2πξ sin(2ξ))或?5H(ξ3?ξ)tanh(2πξ?1(2ξ)),A=1(與循環(huán)荷載有關(guān)),B與土壤質(zhì)地(密度)有關(guān),Pu為土體極限抗力.

2.4Galerkin截?cái)噙x取的模態(tài)函數(shù)

模態(tài)函數(shù)為

2.5無(wú)量綱控制方程的Galerkin截?cái)?/p>

利用選取的模態(tài)函數(shù)可求得方程(3)的三階Galerkin離散方程：

式中,φi,j,k(i,j=1,2,3,k=1,2,…,8)與梁的剛度有關(guān),是反映剛度變化的量.

2.6控制方程的矩陣化表示

為了從整體上更加清晰地了解該懸垂梁的計(jì)算模型,對(duì)控制方程進(jìn)行如下的矩陣化歸一表示

ξ1,ξ2,ξ3為反映風(fēng)力機(jī)海洋環(huán)境和風(fēng)力機(jī)剛度控制的設(shè)計(jì)參量,Λ矩陣清晰反映了風(fēng)力機(jī)所承受的海洋環(huán)境荷載.如能獲得更加詳盡和真實(shí)的海洋環(huán)境和風(fēng)力機(jī)的資料,理論上可以通過(guò)這些參數(shù)組合實(shí)現(xiàn)對(duì)風(fēng)力機(jī)設(shè)計(jì)的操控和優(yōu)化,為設(shè)計(jì)更加合理的風(fēng)力機(jī)提供重要的分析依據(jù).

3　特定條件下求解結(jié)果的對(duì)比

3.1Galerkin截?cái)嗾`差及有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證Galerkin截?cái)嗟氖諗啃院陀行?取自由振動(dòng)的均勻懸臂梁進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證.

圖3為懸臂梁自由振動(dòng)控制方程近似解析解與三階Glerkin截?cái)鄶?shù)值解的時(shí)空振動(dòng)曲線.可以看出,二者整體對(duì)比的結(jié)果基本一致.圖4為懸臂梁自由振動(dòng)控制方程近似解析解與三階Galerkin截?cái)鄶?shù)值解的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差.可以看出,位移最大的頂端處的相對(duì)誤差＜3%.因此,該模態(tài)下的Galerkin截?cái)嗤耆梢詽M足工程中的精度要求.

3.2數(shù)值結(jié)果與有特定解的解析解對(duì)比

圖3　方程近似解析解與三階Galerkin截?cái)鄶?shù)值解的時(shí)空振動(dòng)曲線Fig.3　Vibration curves of approximate analytical and numerical solution of 3-order Galerkin truncation

圖4　方程近似解析解與三階Galerkin截?cái)鄶?shù)值解的絕對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差Fig.4　Absolute and maximum relative errors of approximate analytical and numerical solution of 3-order Galerkin truncation

由此求得無(wú)量綱控制方程的解析解為w(ξ,τ)=?cosτ(1+ξ?0.679 7e-0.9934ξ?0.3463e0.9909ξ+e-0.00125ξ(0.0209cos(1.0079ξ)?1.3216sin(1.0079ξ))).此處w(ξ,τ)與v(ξ,τ)類似,均為相同單位標(biāo)定的無(wú)量綱量.

圖5　方程數(shù)值結(jié)果與解析結(jié)果的對(duì)比Fig.5　Comparisons between numerical and analytical solution for the equation

圖5為懸臂梁自由振動(dòng)控制方程數(shù)值結(jié)果與解析結(jié)果的對(duì)比.可以看出,兩種方法得出的結(jié)果吻合較好.產(chǎn)生誤差的原因可能是由于模型頂端集中質(zhì)量塊處邊界條件的近似處理,這也從側(cè)面反映了機(jī)艙的重量對(duì)其振動(dòng)特性有顯著的影響.優(yōu)化機(jī)艙重量或者在機(jī)艙中設(shè)計(jì)減震與控制裝置[16],可以提高風(fēng)力機(jī)的使用年限和安全系數(shù).

圖6為特殊荷載下懸垂梁風(fēng)力機(jī)模型的幅頻特性曲線.根據(jù)文獻(xiàn)[24]的海上風(fēng)力機(jī)頻域設(shè)計(jì)區(qū)域理論,可以看出,在強(qiáng)有力的海上荷載作用下,該參數(shù)下的風(fēng)力機(jī)處于Soft-Stiff區(qū)域,是比較安全的設(shè)計(jì).計(jì)算結(jié)果表明，風(fēng)力機(jī)在頻率fo=0.37 Hz(轉(zhuǎn)化為無(wú)量綱參數(shù)λo=2.375 6)的慣常荷載作用下是安全的.

圖6　特殊荷載下風(fēng)力機(jī)模型的幅頻特性曲線Fig.6　Amplitude-frequency curve of the wind turbine model under specific loads

4　數(shù)值仿真算例

本工作以文獻(xiàn)[24]中給出的海上風(fēng)力機(jī)支撐結(jié)構(gòu)為算例,取結(jié)構(gòu)額定功率為3 MW,塔筒主體材料為Q345鋼且塔筒內(nèi)部填充了鋼筋混凝土.

4.1原始物理參數(shù)

將以上物理量代入與其對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱表達(dá)式(3)中,并將所得的結(jié)果代入式(7)～(9)中,再通過(guò)式(10)計(jì)算得到控制方程的系數(shù)矩陣(剛度矩陣)和荷載矩陣：

4.2動(dòng)力學(xué)數(shù)值分析

通過(guò)四階Runge-Kutta數(shù)值方法求解矩陣微分方程組,可得到穩(wěn)態(tài)時(shí)前三階動(dòng)力學(xué)時(shí)程曲線、時(shí)空響應(yīng)曲線(見圖7),可以看出u2與u3重合.這些基本曲線反映了梁的動(dòng)力學(xué)特性[25].

圖7　穩(wěn)態(tài)下海上風(fēng)力機(jī)頂端處的時(shí)程曲線和幅頻曲線Fig.7　Time-history and amplitude-frequency curves in stationary state for the top end of offshore wind turbines

從圖7(b)可以看出,危險(xiǎn)頻段為1.8～2.2,折算為實(shí)際的頻率為0.28～0.34Hz.如果荷載頻率在此頻段內(nèi),說(shuō)明設(shè)計(jì)不合理,就需要調(diào)節(jié)其他影響固有頻率的參數(shù).從梁受迫振動(dòng)的前三階時(shí)程曲線(見圖7(a))、相圖(見圖8)和龐加萊映射(見圖9)可以看出,一階截?cái)啻嬖谳^大的誤差,而二、三階截?cái)嗾`差要小得多.因此用Galerkin截?cái)鄟?lái)計(jì)算梁的動(dòng)力曲線是收斂的.從圖9中可以看出,龐加萊映射是一極限環(huán)狀的,可見在此參數(shù)下梁的運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)周期的、穩(wěn)定的響應(yīng).

圖8　頂端處的穩(wěn)態(tài)前三階Galerkin截?cái)嘞鄨DFig.8　Steady-state first 3-order Galerkin truncation phase diagram at top end

圖9　頂端處的穩(wěn)態(tài)前三階Galerkin截?cái)帻嫾尤R映射Fig.9　Steady-state first 3-order Galerkin truncation Poincar′e map at top end

4.3變剛度參數(shù)影響分析

圖10為載荷條件相同時(shí)無(wú)填充和半填充鋼筋混凝土塔筒情況下風(fēng)力機(jī)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性.

圖10　荷載條件相同時(shí)無(wú)填充和半填充鋼筋混凝土塔筒的動(dòng)力特性Fig.10　Dynamic characteristics of no-filled and half-filled wind turbines under the same load

從圖10可以看出,填充混凝土后風(fēng)力機(jī)結(jié)構(gòu)的最大振幅(0.165個(gè)標(biāo)準(zhǔn))要比無(wú)填充時(shí)(0.465個(gè)標(biāo)準(zhǔn))小得多.因此,塔筒填充鋼筋混凝土對(duì)風(fēng)力機(jī)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性有著顯著的影響,通過(guò)調(diào)節(jié)海上風(fēng)力機(jī)塔架設(shè)計(jì)的固有頻率,可以避開海上荷載的常見頻段組合.

5　結(jié)束語(yǔ)

本工作建立了海上風(fēng)力機(jī)支撐結(jié)構(gòu)的懸垂梁動(dòng)力學(xué)模型.研究結(jié)果表明,該模型可以較好地模擬風(fēng)力機(jī)支撐結(jié)構(gòu)的工作現(xiàn)狀.通過(guò)分析計(jì)算復(fù)雜載荷下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性,研究各種荷載、風(fēng)力機(jī)安裝環(huán)境參數(shù)、混凝土的填充高度、適宜海域的水深和海床條件等對(duì)風(fēng)力機(jī)安全性的影響,不僅可以驗(yàn)證風(fēng)力機(jī)在特定海洋環(huán)境的安全性能,同時(shí)也可以對(duì)風(fēng)力機(jī)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).相對(duì)于有限元計(jì)算,這種數(shù)值計(jì)算模型大大縮減了優(yōu)化的時(shí)間成本；相對(duì)于模擬試驗(yàn),較好地降低了試驗(yàn)成本；而與解析條件下的情況對(duì)比,則大大提高了適應(yīng)求解的范疇.

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Dynamics modeling and analysis of offshore wind turbines under complicated loads

WANG Qingzhan,ZHAO Jianzhong,GUO Xingming
(Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University, Shanghai 200072,China)

By analyzing the structure and complexity of offshore wind turbines(OWTs), a beam model with free end carrying a concentrated mass body was built to analyze dynamical characteristics of OWTs subject to adverse working environment loads. Factors including vertical excitation,self-weight,rotary inertia and variety of stiffness were considered to study the effect on offshore wind turbines.A general and uniform governing equation was built by taking advantages of the Heaviside step function and Dirac delta function.Based on the Galerkin truncation and the Runge-Kutta time discretization, numerical solutions of the kinematic governing equation were obtained.By comparing with the analytical solution under specified conditions,validity of the method was checked.The time history of the beam’s free end was chosen to represent motion of the beam.Based on the steady time history of the beam,a Poincar′e map was constructed to study its periodic motion.Furthermore,an amplitude-frequency curve was given to find the dangerous frequency range where OWTs exist.

offshore wind turbines；varying axial force；complicated load；varying rigidity；dynamic response

TH 43

A

1007-2861(2016)05-0573-13

10.3969/j.issn.1007-2861.2015.02.016

2015-06-16

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2014CB0462003)

郭興明(1964—),男,教授,博士生導(dǎo)師,博士,研究方向?yàn)檫B續(xù)介質(zhì)力學(xué)與力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法. E-mail:xmguo@shu.edu.cn