張俊俊，張雋

(浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

非線性對(duì)流擴(kuò)散方程的守恒律

張俊俊，張雋

(浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

利用直接方法研究了非線性對(duì)流擴(kuò)散方程的守恒律，得到了關(guān)于非線性對(duì)流擴(kuò)散方程的守恒律乘子性質(zhì)的一個(gè)定理.利用這個(gè)定理，可以簡(jiǎn)化守恒律乘子的確定方程.隨后通過對(duì)確定方程中的變量函數(shù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)在四種情況下乘子的確定方程是可解的.最后解出這些守恒律乘子，利用積分公式法分別得到了四種情況下對(duì)應(yīng)于各個(gè)守恒律乘子的守恒律.

非線性對(duì)流擴(kuò)散方程；守恒律乘子；守恒律；歐拉算子；積分公式法

1 引言

在微分方程的研究中，守恒律具有很多重要的用途.它們可以描述物理守恒量如質(zhì)量、能量、動(dòng)量和角動(dòng)量，以及其它運(yùn)動(dòng)常數(shù)[12]；它們可以用來研究微分方程的可積性和線性化映射以及解的存在唯一性[35]；它們也可以用來分析解的穩(wěn)定性和全局行為；它們還可以用來構(gòu)建微分方程的數(shù)值算法[67]，并且為尋找非局部相關(guān)系統(tǒng)和潛在變量提供了一個(gè)重要的方法.此外，守恒律還可以用來得到一些偏微分方程的精確解[812].因此，研究微分方程的守恒律是非常有意義的.

何為微分方程的守恒律？一般來說，對(duì)于一個(gè)給定微分方程系統(tǒng)，其守恒律是一個(gè)滿足下面性質(zhì)的散度表達(dá)式：把微分方程的任意解代入該表達(dá)式中，其結(jié)果等于零.目前，計(jì)算守恒律的最有效的方法有兩種.第一種是利用對(duì)稱與守恒律的關(guān)系來計(jì)算守恒律.這種方法的理論依據(jù)是Noether定理及其推廣的形式.1918年，Noether在她的一篇研究守恒律的論文[13]中，闡述了守恒律和變分對(duì)稱之間的關(guān)系，指出若一個(gè)微分方程可以由變分原理得到，則任何使作用函數(shù)形式不變的單參數(shù)李點(diǎn)變換群都可以生成一個(gè)局部守恒律，并且在文章中還給出了守恒律中通量函數(shù)的計(jì)算公式.隨后Bessel-Hagen在1921年[14]，Boyer在 1967年[15]先后給出了推廣形式的Nother定理，即結(jié)論對(duì)于更一般的作用函數(shù)也成立.第二種是直接方法[1].利用歐拉算子和微分形式之間的關(guān)系，將守恒律的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為乘子(若一個(gè)微分多項(xiàng)式乘上另一個(gè)微分多項(xiàng)式后可寫成全微分的形式，則第二個(gè)微分多項(xiàng)式就稱為第一個(gè)微分多項(xiàng)式的乘子)的計(jì)算問題，而乘子所滿足的方程可以通過歐拉算子給出，只要乘子所滿足的方程有解，就一定能找到原系統(tǒng)的守恒律.具體的理論依據(jù)和方法在下文中還將介紹.第一種方法具有重要的理論意義，它首次將守恒律和對(duì)稱聯(lián)系起來，但是在實(shí)際計(jì)算中具有較多的限制，比如微分方程的線性系統(tǒng)必須是自伴隨的(這是微分方程可由變分原理得到的充要條件)，微分方程必須有一個(gè)簡(jiǎn)單的作用函數(shù)等等.第二種方法具有很強(qiáng)的可操作性，對(duì)于任意一個(gè)微分方程，都可以用直接方法來嘗試尋找守恒律.

對(duì)于一個(gè)給定的微分方程系統(tǒng)，計(jì)算守恒律的一般步驟如下：通過定理1.1，可以得到能夠生成守恒律乘子所滿足的確定方程組，求解該方程組，得到守恒律乘子，再利用積分公式法，可以得到方程的守恒律.

本文的組織如下.在第二部分中，我們利用定理1.1，得到關(guān)于方程(1)的守恒律乘子性質(zhì)的一個(gè)重要定理.根據(jù)此定理，可以簡(jiǎn)化方程(1)的守恒律乘子滿足的確定方程.在第三部分中，考慮不同條件的D(u)和P(u)，求解在各種情況下的簡(jiǎn)化后的守恒律乘子的確定方程，再利用積分公式法，得到各種情況下方程(1)對(duì)應(yīng)的守恒律.

2 方程 (1)的守恒律乘子性質(zhì)的定理

定理2.1 若方程(1)擁有形如Λ(x，t，U，Ux，···)的守恒律乘子，則p=0，即方程(1)的守恒律乘子與U對(duì)自變量的各階導(dǎo)數(shù)無關(guān).

3 方程 (1)的守恒律

在本節(jié)中，利用定理2.1，得到守恒律乘子滿足的確定方程，通過討論D(U)與P(U)的不同取值，求解確定方程，得到守恒律乘子，再利用積分公式法構(gòu)建出相應(yīng)的守恒律.

4 小結(jié)

本文中，我們利用Bluman等人提出的直接方法研究了非線性對(duì)流擴(kuò)散方程(1)的守恒律，給出了關(guān)于其守恒律乘子性質(zhì)的一個(gè)定理，并予以證明.利用這個(gè)性質(zhì)定理極大地簡(jiǎn)化了守恒律乘子的確定方程.因?yàn)榉蔷€性對(duì)流擴(kuò)散方程中含有兩個(gè)變量函數(shù)，自然地，其守恒律乘子的確定方程中也含有這兩個(gè)變量函數(shù).通過討論變量函數(shù)的四種不同取法，求解相應(yīng)守恒律乘子確定方程，得到了守恒律乘子.最后利用積分公式法，在每一種情況下，通過所得的乘子可以找到其對(duì)應(yīng)的守恒律.縱觀利用直接方法計(jì)算守恒律，歐拉算子的性質(zhì)是非常重要的.如果想用直接方法來處理分?jǐn)?shù)階微分方程，如何推廣歐拉算子到分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)上，是非常值得研究的核心問題，這也是我們今后需要重點(diǎn)研究的方向.

[1]Bluman G W，Cheviakov A F，Anco S C.Applications of Symmetry Methods to Partial Differential Equations[M].New York：Springer，2010.

[2]Muatjetjeja B，Khalique C M.Conservation Laws for a Variable Coefficient Variant Boussinesq System[J]. Appl.Anal.，2014，169694：1-5.

[3]Lax P D.Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves[J].Commun.Pur.Appl.Math.，1968，21：467-490.

[4]Benjamin T B.The stability of solitary waves[J].Proc.R.Soc.Lond.A，1972，328：153-183.

[5]Knops R J，Stuart C A.Quasiconvexity and uniqueness of equilibrium solutions in nonlinear elasticity[J]. Arch.Ration.Mech.An.，1984，86：234-249.

[6]LeVeque R J.Numerical Methods for Conservation Laws[M].Berlin：Birkh?user，1992.

[7]Godlewski E，Raviart P A.Numerical Approximation of Hyperbolic System of Conservation Laws[M]. Berlin：Springer，1996.

[8]Sjoberg A.Double reduction of PDEs from the association of symmetries with conservation laws with applications[J].Appl.Math.Comput.，2007，184：608-616.

[9]Muatjetjeja B，Khalique C M.Lie group classification for a generalized coupled Lane-Emden system in dimension one[J].East Asian J.Appl.Math.，2014，4：301-311.

[10]San S，Yasar E.On the conservation laws and exact solutions of a modified Hunter-Saxton equation[J]. Adv.Math.Phys.，2014，349059：1-6.

[11]Naz R，Ali Z，Naeem I.Reductions and New Exact Solutions of ZK，Gardner KP，and modified KP equations via generalized double reduction theorem[J].Abstr.Appl.Anal.，2013，340564：1-11.

[12]Tracina R，Bruzon M S，Grandarias M L，et al.Nonlinear self-adjointness，conservation laws，exact solutions of a system of dispersive evolution equations[J].Commun.Nonlinear Sci.，2014，19：3036-3043.

[13]Noether E.Invariante Variationsprobleme，Nachr K?nig Gesell Wissen G?ttingen[J].Math.-Phys.Kl.，1918：235-257.

[14]Bessel-Hagen E.über die Erhaltungss?tze der Elektrodynamik[J].Math.Ann.，1921，84：258-276.

[15]Boyer T H.Continuous symmetries and conserved currents[J].Ann.Physics，1967，42：445-466.

Conservation laws for nonlinear convection-diffusion equation

Zhang Junjun，Zhang Jun
(Department of Applied Mathematics，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310023，China)

In this paper，we use the direct method to study conservation laws for nonlinear convection-diffusion equation and obtain a theorem about the property of the conservation law multipliers for nonlinear convectiondiffusion equation.By using this theorem，we can simplify the determining equations of conservation law multipliers.Then by analysing variable functions which are in the determining equations，we can find that the determining equations are solvable in four cases.Finally we can get the conservation law multipliers under the four cases by solving the determining equations and obtain the conservation law corresponding to every conservation law multiplier under these four cases by using integral formula method.

nonlinear convection-diffusion equation，conservation law multipliers，conservation laws，Euler operators，integral formula method

O175.2

A

1008-5513(2016)03-0296-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.008

2016-02-24.

國家自然科學(xué)基金(11371323)；浙江省自然科學(xué)基金(Y6100611).

張俊俊(1992-)，碩士生，研究方向：可積系統(tǒng)及其應(yīng)用.

2010 MSC:37K05