董曉芳

(山西大學 數(shù)學科學學院,山西 太原 030006)

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帶有周期勢的分數(shù)階Schr?dinger-Possion系統(tǒng)基態(tài)解的存在性

董曉芳

(山西大學 數(shù)學科學學院,山西 太原 030006)

研究了R3中一類帶有周期勢的分數(shù)階Schr?dinger-Possion系統(tǒng)基態(tài)解的存在性。 在f(x,t)滿足一定條件下, 得到能量泛函的山路幾何結構,結合變分方法證明了基態(tài)解的存在性。

分數(shù)階Sch?dinger-Possion系統(tǒng); 周期勢; 基態(tài)解

0 引言

在本文中, 我們主要討論如下的帶有周期勢的分數(shù)階Schr?dinger-Possion系統(tǒng)

(1)

的基態(tài)解的存在性結果, 其中α∈(0,3),p∈[2,3+α), V是連續(xù)的周期勢, f是連續(xù)的周期函數(shù), φ是第二個方程的弱解。

當α=p=2時, 系統(tǒng)(1)表示如下的Schr?dinger-Possion系統(tǒng)

(2)

當N≥3,α∈(0,N),p∈[2,(N+α)/(N-2))及非線項f=0,系統(tǒng)(1)可化為如下的方程

(3)

系統(tǒng)(2)在物理學中的應用非常廣泛, 它是在描述非線性Schr?dinger方程與靜電場相互作用的孤立波的量子力學模型中提出的, 參看文獻([1,2])。

近年來, 與方程(3)相似的Choquard方程

(4)

的解的存在性和解的相關性質已經(jīng)被廣泛的研究。 在文獻[3]中, Lions第一次通過臨界點理論研究了Choquard方程非平凡解的存在性; 在文獻[4]中, 作者考慮了p≥2時廣義的Choquard方程, 當N,α,p定義在某個非空實數(shù)集上, 他們證明了方程的每個正解是徑向對稱的并且關于某個點是單調遞減的; 在文獻[5]中, 與[4]相同的假設下, 作者研究了在電磁勢情形下解的存在性和多重性結果并且建立了基態(tài)解在無窮遠處的漸近衰減性; 在文獻[6]中, 作者消除了[5]中的限制條件并且證明了當參數(shù)在一個合適的范圍時基態(tài)解的正則性, 徑向對稱性以及無窮遠處的漸近衰減性; 在文獻[7]中, 作者研究了線性勢函數(shù)和非線性勢函數(shù)對廣義Choquard 方程基態(tài)解的存在性與集中性的作用。

(V) V是連續(xù)的, 關于xi是1-周期的且V0=infx∈R3V(x)>0, 其中i=1,2,3。

本文研究的主要結果是:

定理1 假設(V)和(f1)-(f4)成立, 則系統(tǒng)(1)存在一個基態(tài)解。

1 準備工作

首先,我們給出Sobolev空間E:=H1(R3)。 在條件(V)的假設下, 定義E中的一個新范數(shù)

它與E中的標準范數(shù)是等價的。

命題1[8](Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式)設s,r>1,μ∈(0,N)滿足1/s+μ/N+1/r=2, 則存在一個正常數(shù)C(s,N,μ,r)使得對所有的f∈Ls(RN)和h∈Lr(RN),

注記1 取μ=3-α,s=r=6/(3+α)。由命題1和逆H?lder不等式([9, p.25])有

Iα*w∈L6/(3-α)(R3), w∈L6/(3+α)(R3)

(5)

進一步, 它是由L6/(3+α)(R3)到L6/(3-α)(R3)的有界線性算子, 其中Iα:R3→R是Riesz勢, 定義如下([10]):

為了方便, 我們作如下記號:

從而系統(tǒng)(1)可化成一個帶有非局部項的橢圓方程,

現(xiàn)在我們定義系統(tǒng)(1)相應的I:E→R

根據(jù)f的假設條件和注記2, 我們知道I的定義是合理的且I∈C1(E,R),

〈I'(u),v〉=∫[▽u·▽v+Vuv]+

易知, 系統(tǒng)(1)的基態(tài)解是泛函I的解w∈E且滿足

I(w) = infv∈NI(v)

其中N是系統(tǒng)(1)相應的Nehari流行, 定義如下:

N={v∈E{0}:〈I′(v),v〉=0}

2 主要結果

引理1 對每一個u∈E,

(i) 對任意的t>0, φtu=tpφu;

(ii) 在E中, 若un?u且un→u a.e x∈R3, 則在L6/(3-α)(R3)中, φun?φu。

證明 (i) 直接計算可得結論。

(ii) 令r=6/(3+α)。 為了證明結論, 只需證明對任意的φ∈Lr(R3), 我們有

〈φun,φ〉→〈φu,φ〉

因此,

引理2 假設(V)和(f1)-(f4)成立, 則有下列結論:

(i)對于給定的u∈E{0}, 存在唯一的tu=t(u)>0使得m(u): = tuu∈N且I(m(u))=maxt≥0I(tu);

(ii) 對所有的u∈N,存在β>0使得‖u‖≥β;

(iii)I在N上有正下界且是強制的使得u∈N, ‖u‖→ + ∞, I(u)→ + ∞;

(iv)假設ν∈E{0}是一個緊子集, 則存在R>0使得在R+νBR(0)有I≤0。

證明 由條件(f1), (f2)及(f4)可知, 對任意的ε>0, 存在Cε>0使得

(6)

F(x,t)≥0, f(x,t)t≥2pF(x,t)≥0

(7)

(i)對于t>0, 我們設

一方面, 由(6), E連續(xù)嵌入Lp(R3)及E連續(xù)嵌入Lq(R3), 則對ε充分小, 我們有

由于u≠0, p≥2及q>4, 故當t>0充分小, 我們有h(t)>0。

另一方面, 由命題1可知

(8)

因此, maxt≥0h(t)在tu=t(u)>0是可達的且使得h′(tu)=0,tuu∈N。

結合

有

顯然, 與條件(f4)矛盾。

(ii) 由u∈N和(6),則對ε充分小, 我們有

因為p∈[2,3+α)和q∈(4,6), 故對所有的u∈N, 存在β>0使得‖u‖≥β。

(iii) 對所有的u∈N, 由(7)和(ii)可得

故I在N上是有正下界的。 顯然也是強制的。

從而

結合(8)，我們有

顯然矛盾, 故結論成立。

下面的兩個引理來自文獻[11]。

引理3 設E中的單位球S:={u∈E:‖u‖=1}, 則映射S→N,u|→m(u)是連續(xù)的。

證明 令u0∈S。為了證明結論, 只需證明序列(un)?S,un→u0, 則m(un)→m(u)。事實上, 由引理2 (i), 我們可設m(un):=tunun,m(u0):=tu0u0。若(un)?S,un→u0。由引理2 (i)和(iv)知, 存在R>0使得

故由引理2(iii)知序列(m(un))有界。 從而存在一個子列, 不失一般性設為

tun:=‖tunun‖→t≠0

事實上, 由于tunun∈N和引理2 (ii), 我們有β≤‖tunun‖=tun→t。 再由于N是閉的線性子空間, 所有根據(jù)引理2 (i)可得

m(un)=tunun→tu0=tu0u0=m(u0)

進一步, 根據(jù)引理2, 我們有重要的發(fā)現(xiàn): m是S到N的同胚映射且其逆映射為

(9)

現(xiàn)在我們考慮泛函Φ:S→R定義如下:

Φ(w)=I(m(w))

引理4 (i)Φ∈C1(S,R), 且Φ'(w)z=‖m(w)‖〈I′(m(w)),z〉對任意的 z∈TwS={v∈E:〈v,w〉=0}。

(ii) (wn)是Φ的一個Palais-Smale序列當且僅當(m(wn))是I的一個Palais-Smale序列。

(iii) w∈S是Φ的一個臨界點當且僅當m(w)∈N是I的一個臨界點。 進一步, Φ和I相應的臨界值是相同的且infsΦ=infNI

為了證明定理1的存在性, 我們有必要研究在N上I的極小化序列的一些性質。

引理5[12]令r′>0。 如果(un)在H1(R3)中有界且

則在Ls(R3)中, un→0, 其中s∈(2,6)。

引理6 若(un)?N是I的一個極小化序列, 則

(i) (un)在E中有界;

(ii) 經(jīng)過適當?shù)腪3-平移, 在子列的意義下, 存在u∈E使得un?u≠0且I(u)=infNI

證明 (i) 由引理2(iii)易知, (un)在E中有界。

(ii) 令c=infNI由(i)知存在序列(un)的子列不妨仍記為(un)使得, 在E中, un?u。 假設

(10)

則由引理5可知在Ls(R3)中, un→0, 其中s∈(2,6)。 再由(6)和(un)的有界性可知

因此,

這意味著‖un‖→0, 與引理2(ii)矛盾。 故(10)不成立。從而存在r′,δ>0及序列(yn)?R3使得

因此, 在子列的意義下,un?u≠0。 進一步,I′(u)=0。

〈I′(u),w〉=0

由Vitali定理[13,p.133], 我們有

(11)

另一方面, 由引理1 (ii) 知, 在L6/(3-α)(R3)中,φun?φu。 再由H?lder不等式可得

(12)

其中θ∈(0,1),pr∈(2,6)。 由注記1可知φun在L6/(3-α)(R3)中有界, 故由H?lder不等式有

進而

(13)

由(12)和(13)知

(14)

由于在E中un?u, (11)及(14)可得

從而u∈N。 顯然I(u)≥c。 為了完成證明, 只需證明I(u)≤c。 事實上, 根據(jù)(7), 范數(shù)的弱下半連續(xù), Fatou引理及(un)的有界性, 我們有

這意味著I(u)≤c。

定理1的證明 令c=infNI。 由引理2 (iii)知c>0。 進一步, 如果u0∈N滿足I(u0)=c, 則m-1(u0)∈S是Φ的一個極小值且是Φ的一個臨界點。 事實上, 由引理3和(9)可知, 存在w0∈S使得w0=m-1(u0)=u0/‖u0‖。 從而由引理4 (i)可得

再根據(jù)[12, p.87, Proposition 5.12], 存在λ∈R使得Φ′(w0)=λw0, 則0=[Φ′(w0),w0]=λ‖w0‖2=λ。 因此, Φ′(w0)=0。 再由引理4 (iii)知, u0是I的一個臨界點。

下面證明存在一個I|N上的最小值。 事實上, 根據(jù)Ekeland變分原理[12, p.9], 存在一個序列(wn)?S使得當n→∞滿足Φ(un)→c,Φ′(un)→0。令un=m(wn)。由引理4 (ii)可得當n→∞滿足I(un)→c,I′(un)→0。 因此, (un)是I在N上的極小化序列。 從而由引理6可知, 存在I|N上的極小值。

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Existence of ground state solution for fractional Schr?dinger-Possion system with periodic potential

DONG Xiaofang

(School of Mathematical Science, Shanxi University, Taiyuan,Shanxi 030006, China)

In this paper，we study the existence of ground state solution for a class fractional Schr?dinger-Possion system with periodic potential in R3.Under the suitable assumptions of f(x,t)，the mountain pass geometric of energy functional is obtained.We can prove ground state solution of the system by variational methods.

fractional Schr?dinger-Possion system； periodic potential； ground state solution

1004—5570(2016)06-0059-06

2016-08-12

國家自然科學基金(11301313, 11101250), 山西省自然科學基金(2012011004-2, 2013021001-4)

董曉芳(1990-),女,碩士,研究方向:非線性泛函析,E-mail:1032152055@qq.com.

O175.25;O177

A