金久林，游泰杰，孫 艷，孫澤香

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

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全變換半群的極大子左(右)群

金久林，游泰杰，孫 艷，孫澤香

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

設(shè)Xn={1,2,…,n}并賦予自然數(shù)序，Tn是Xn上的全變換半群?？紤]Tn的子左(右)群的結(jié)構(gòu)，證明了Tn的子半群是極大子左(右)群的充分必要條件，并得到了Tn的極大子左群的一些計數(shù)結(jié)果。

變換半群；極大子左群；極大子右群；左群；右群

0 引言

設(shè)S是一個半群，L,R,D,H,J表示S的Green關(guān)系，若R=S×S,則稱S是右單的;對偶地，若L=S×S，則稱S是左單的; 若(?a,b,c∈S)ac=bc?a=b，則稱S滿足右消去律;若(?a,b,c∈S)ca=cb?a=b,則稱S滿足左消去律。

設(shè)Xn={1,2,…,n}并賦予自然數(shù)序，Tn是Xn上的全變換半群。變換半群的具有某種性質(zhì)的極大子半群的研究一直都是半群理論研究中的熱點之一[1-6]。2002年, You[1]得到了全變換半群和部分變換半群的所有理想的極大正則子半群; 2003年，Yang[2]得到了全變換半群的理想的極大子半群;2001年，Yang[3]得到了有限奇異變換半群的極大子半群的完全分類;近年來，高[4]研究了保序壓縮變換半群的理想的極大子半群; Xu[5]研究了有限部分變換半群的具有某種性質(zhì)的極大子半群; 趙[6]得到了方向保序變換半群的極大正則子半群。本文在這些基礎(chǔ)上, 考慮全變換半群的子左(右)群, 得到了Tn的極大子左群和極大子右群的結(jié)構(gòu), 并討論其一些計數(shù)。

J M Howie[7]描述了Tn的Green關(guān)系：對任意α,β∈Tn，有

αLβ?im α=im β

αRβ?ker α=ker β

αJβ?|im α|=|im β|

D=J

S(n,1)=S(n,n), S(n,r)=S(n-1,r-1)+rS(n-1,r)。

Tn的理想構(gòu)成一個鏈，即K(n,1)?K(n,2)?…?K(n,n-1)?K(n,n)=Tn。 Tn的每個主因子是一個Rees商半群K(n,r)/K(n,r-1)，記為Pr。為方便，令Pr=Jr∪{0}, 其乘法定義為

Pr對上述乘法構(gòu)成一個完全0-單半群。

關(guān)于完全0-單半群，有如下熟知的事實：

引理1 設(shè)x,y是完全0-單半群中的兩個非零元，則xy≠0當且僅當Lx∩Ry包含一個冪等元。此時，xy∈Ly∩Rx。

定義1 設(shè)S是Tn的子半群，若S是左(右)單的，且滿足右(左)消去律，則稱S是Tn的子左(右)群。

定義2 設(shè)S是Tn的子左(右)群(S?Tn)，若S滿足：對Tn的任意子左(右)群T,有S?T?S=T, 則稱S是Tn的極大子左(右)群。

設(shè)S是一個半群，W是S的非空子集, 通常用E(W)表示W(wǎng)的冪等元集合, 對任意α∈S,Lα,Rα,Hα分別表示α所在的L-類、R-類、H-類。

本文未定義的術(shù)語及記法參見文獻[9,10]。

1 主要結(jié)果及證明

引理2 設(shè)S是Tn的子半群，則α是S的冪等元的充要條件是對任意x∈im α，有x∈xα-1。

引理2可由冪等元的性質(zhì)直接得到。

引理3[9]設(shè)G是一個有限群，則G的任一元階都整除G的階。

引理4[7]設(shè)e是半群S的一個冪等元，則He是S的子群。

引理5 設(shè)α∈He，其中e∈E(Tn)，則存在k∈N,使得αk=e。

證明 由引理4得到，He是Tn的子群。令|He|=k，由引理3得到，對任意α∈He，有αk=e。

引理6 設(shè)S是Tn的子半群，若對任意α,β∈S,im α=im β，則S是Tn的正則子半群。

證明 設(shè)S是Tn的子半群，若對任意α,β∈S, im α=im β，則im α=im β=im(αβ)，即αβ∈Lβ。由ker α? ker(αβ)與Xn的有限性，知ker α=ker(αβ)，即αβ∈Rα。從而αβ∈Rα∩Lβ,再由引理1可知，Rβ∩Lα包含一個冪等元，即存在e∈E(Lα),使得e∈Rβ∩Lα=Rβ∩Lβ=Hβ。從而β∈S∩He，其中e∈E(Lα)。由引理4及引理5可得，存在k∈N使得βk=e,若k∈N*{1},由S是一個半群可知，βk-1∈S,特別地，若k=1，取βk-1=e,則βk-1=e=β∈S,從而存在βk-1∈S,k∈N*,使得ββk-1β=βkβ=eβ=β

則β是正則元。由β的任意性得到，S是Tn的正則子半群。

引理7 設(shè)S是Tn的子半群，若對任意α,β∈S, ker α=ker β，則S是Tn的正則子半群。

證明類似于引理6。

引理8 設(shè)S是Tn的子半群，若對任意α,β∈S,im α=im β，則E(S)是左零半群。

證明 設(shè)S是Tn的子半群，若對任意α,β∈S,im α=im β，則任取e,f∈E(S), 有 im e=im f。從而e,f有如下表示：

容易驗證ef=e。因此,E(S)是左零半群。

引理9 設(shè)S是一個半群，若對任意α,β∈S， ker α=ker β，則E(S)是右零半群。

證明類似于引理8。

引理10[7]設(shè)S是一個半群，則以下條件等價：

1)E(S)是左(右)零半群，并且S是正則的；

2)S是左(右)單的，并且S滿足右(左)消去律；

3)S是一個左(右)群；

下面給出本文主要結(jié)果及證明：

定理1 設(shè)S是Tn的子半群, 則

1) S是Tn的子左群的充要條件是對任意α,β∈S，im α=im β;

2) S是Tn的子右群的充要條件是對任意α,β∈S，ker α=ker β;

證明 1)充分性：由引理6、引理8、引理10可以得到, S是Tn的子左群。

必要性：若S是Tn的子左群, 由引理10, 知L=S×S，即對任意α,β∈S，im α=im β。

2)充分性：由引理7、引理9、引理10可以得到,S是Tn的子右群。

必要性: 若S是Tn的子右群, 由引理10 ,知R=S×S, 即對任意α,β∈S，ker α=ker β。

定理2 1)Tn的極大子左群有且僅有如下形式：

(*)

2)Tn的極大子左群有且僅有如下形式：

證明 1)充分性:設(shè)α∈Tn,LG(α)=∪e∈E(Lα)He。對任意β,γ∈LG(α), 則存在e,f∈E(Lα), 使得β∈He且γ∈Hf, 易見im β=im γ, 即βLγ。于是Hγ=Rγ∩Lγ=Rγ∩Lβ, 從而Rγ∩Lβ包含冪等元f, 由引理1得到, βγ∈Rβ∩Lγ=Rβ∩Lβ=Hβ=He?LG(α), 再由定理1可得, LG(α)是Tn的子左群。下證LG(α)的極大性。

設(shè)對Tn的任意子左群T, 有LG(α)?T。若LG(α)?T, 則存在ε∈TLG(α), 從而Hε∩E(Lα)=?, 注意到, T是Tn的子左群, 由定理1可得, 對任意η∈T, 有im ε=im η, 即ε Lη, 于是Hε=Rε∩Lε=Rε∩Lη, 從而Rε∩Lη∩E(Lα)=?, 由引理1可得, ηε=0, 從而|im(ηε)|<|im ε|，這與T是Tn的子左群矛盾。因此, T=LG(α)。

必要性：假設(shè)M是Tn的極大子左群, 但不是定理2中(*)的形式, 從而存在β∈M, 使得Hβ∩E(Lβ)=?(否則, 若對任意β∈M, 有Hβ∩E(Lβ)≠?, 即存在e∈E(Lβ), 使得β∈He, 則M?LG(β), 由M是Tn的極大子左群, 知M=LG(β), 這與假設(shè)矛盾)。注意到, M是Tn的子左群, 由定理1得到, M?Lβ, 即對任意γ∈M, 有βLγ, 于是Hβ=Rβ∩Lβ=Rβ∩Lγ, 從而Rβ∩Lγ∩E(Lβ)=?, 由引理1可得, γβ=0, 從而|im(γβ)|<|im β|，這與M是Tn的極大子左群矛盾。

因此, Tn的極大子左群有且僅有定理中(*)的形式。

2)證明類似于(1)。

由定理2可直接得到：

推論1 設(shè)A?Xn且A≠?，則Tn的極大子左群有且僅有如下形式：

LTn(A)={α∈Tn:Aα=A,(XnA)α?A}。

定理3 幾個組合結(jié)果：

1)設(shè)1≤r≤n-1, A?Xn且|A|=r，則

2)Tn的極大子左群共有2n-1個。

3)在同構(gòu)意義下, Tn的極大子左群共有n個。

證明 1)設(shè)1≤r≤n-1, A?Xn且|A|=r, 由推論1可知, Tn的極大子左群可表示為LTn(A)={α∈Tn:Aα=A,(XnA)α?A}。對任意α∈LTn(A), 若將其原象按自然數(shù)的序排列, 則α由其象元素的排列唯一確定?？紤]兩種情形：

…

以此類推, 有

3)設(shè)A,B?Xn且|A|=|B|=r。由推論1可知, Tn的極大子左群可表示為

LTn(A)={α∈Tn:Aα=A,(XnA)α?A}

設(shè)f是A到B的雙射, g是XnA到XnB的雙射。對任意α∈LTn(A), 定義

定義映射φ:LTn(A)→LTn(B)。驗證φ是同構(gòu)映射, 可參見文獻[10]由此可見，LTn(A)與LTn(B)同構(gòu)。即在同一個J-類上的極大子左群同構(gòu)。

因此, 在同構(gòu)意義下, Tn的極大子左群共有n個。

注 在定理3(1)中, 當A=Xn時, |LTn(A)|=|Sn|=n!(Sn是對稱群)。

[1] YOU T J.Maximal Regular Subsemigroup of Certain Semigroup of Transformation[J].Semigroup Forum,2002,64:391-396.

[2] YANG H B,YANG X L.Maximal Subsemigroups of Finite Transformation Semigroups K(n,r)[J].Acta Mathematica Sinica,2004,20(3):475-482.

[3] YANG X L.Maximal Subsemigroups of the Finite Transformation Semigroup[J].Communications in Algebra,2001,29(3):1175-1182.

[4] 高榮海,喻秉鈞.保序壓縮變換半群的理想的極大子半群[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,37(5)：643-648.

[5] 徐波,趙平,李俊揚.有限部分保序變換半群的具有某種性質(zhì)的極大子半群(英)[J].數(shù)學(xué)雜志,2010，39(4)：617-621.

[6] 趙平,游泰杰,徐波.方向保序變換半群的極大正則子半群[J].吉林大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2011,49(2)：203-206.

[7] HOWIE J M.Fundamentals of Semigroup Theory[M].London:Oxford Press,1995.

[8] 胡端平,魯曉成.組合數(shù)學(xué)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,2001.

[9] 王鄂芳.有限群論基礎(chǔ)(第2版)[M].北京：清華大學(xué)出版社,2012.

[10]高榮海.具有穩(wěn)定子集的奇異變換半群的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)[D/OL].貴陽：貴州師范大學(xué),2009.[2016-03-20].http://epub.cnki.net/kns/brief/result/aspx.

Maximal left (right) group of the full transformation semigroup

JIN Jiulin,YOU Taijie,SUN Yan,SUN Zexiang

(School of Mathematical Science,Guizhou Normal University,Guiyang,Guizhou 550025,China)

Let Xn={1,2,…,n}, and it has the order of natural numbers, Tnbe the full transformation semigroup on Xn. Consider left (right) group structure of Tn, the sufficient and necessary condition of subsemigroup of Tnis maximal left (right) group is proved, and get some counting results of maximal left group of Tn.

transformation semigroup; maximal left group; maximal right group; left group; right group

1004—5570(2016)06-0052-04

2016-05-10

金久林(1991-),男,碩士研究生,研究方向:半群理論及編碼理論,E-mail:1358724098@qq.com.

O152.7

A