李文雯，劉志偉，張炎林，劉麗麗，王 齊

(中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心，甘肅 酒泉 732750)

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基于環(huán)結(jié)構(gòu)分析的準(zhǔn)循環(huán)LDPC碼構(gòu)造

李文雯，劉志偉，張炎林，劉麗麗，王 齊

(中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心，甘肅 酒泉 732750)

準(zhǔn)循環(huán)奇偶校驗(yàn)(Quasi-Cyclic Low-Density Parity-Check， QC-LDPC)碼在通信工程領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值，因此它的構(gòu)造算法一直是LDPC碼研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容。根據(jù)現(xiàn)有的QC-LDPC碼構(gòu)造算法，特別是基于漸進(jìn)邊增長(zhǎng)(Progressive Edge Growth， PEG)算法的QC-LDPC碼構(gòu)造方法，提出了一種新的移位矩陣構(gòu)造方法。該方法有效減少了隨機(jī)搜索帶來(lái)的時(shí)間損耗，并改進(jìn)了二次同余、等差數(shù)列等算法僅能除去四環(huán)的情況，進(jìn)一步消去了六環(huán)、八環(huán)和十環(huán)結(jié)構(gòu)，確保QC-LDPC碼的圍長(zhǎng)不小于12。仿真結(jié)果表明，所構(gòu)造的QC-LDPC碼具有更優(yōu)的環(huán)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和糾錯(cuò)性能。

準(zhǔn)循環(huán)LDPC碼；移位矩陣；圍長(zhǎng)；環(huán)結(jié)構(gòu)

低密度奇偶校驗(yàn)(Low-Density Parity-Check，LDPC)碼[1]是一類(lèi)迫近香農(nóng)限的“好碼”，它具有較低譯碼復(fù)雜度、較強(qiáng)糾錯(cuò)性能以及較低的誤碼平層，在無(wú)線局域網(wǎng)、深空宇航、硬件存儲(chǔ)、衛(wèi)星數(shù)字電視等多個(gè)通信領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。準(zhǔn)循環(huán)(Quasi-Cyclic，QC)LDPC碼是一類(lèi)典型的結(jié)構(gòu)化LDPC碼，它能夠通過(guò)一組移位寄存器實(shí)現(xiàn)快速編碼，并且具有校驗(yàn)矩陣存儲(chǔ)空間小、能夠進(jìn)行并行譯碼、糾錯(cuò)性能良好等特點(diǎn)，因此在工程實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用。在構(gòu)造方法上，QC-LDPC碼的構(gòu)造方法主要可以分為基于有限幾何的構(gòu)造方法[2-3]和基于循環(huán)移位矩陣的構(gòu)造方法[4-11]兩大類(lèi)?；谟邢迬缀蔚臉?gòu)造方法致力于構(gòu)造滿足“行列約束”的基矩陣，從而有效確保QC-LDPC碼的圍長(zhǎng)至少為6；但是該構(gòu)造方法在碼長(zhǎng)和碼率等參數(shù)的選擇上缺少靈活性?；谘h(huán)移位矩陣的構(gòu)造方法主要通過(guò)基矩陣和移位矩陣共同控制環(huán)的長(zhǎng)度和數(shù)量?；仃囋跇?gòu)造時(shí)主要以增大環(huán)長(zhǎng)為目的，通常采用漸進(jìn)邊增長(zhǎng)(Progressive Edge-Growth，PEG)算法[12]進(jìn)行構(gòu)造。在移位矩陣構(gòu)造方面，文獻(xiàn)[6]中采用隨機(jī)搜索的方法，其優(yōu)點(diǎn)在于能夠通過(guò)重復(fù)搜索提高碼的圍長(zhǎng)，但隨機(jī)搜索的時(shí)間損耗和運(yùn)算量會(huì)隨著預(yù)設(shè)圍長(zhǎng)的增加而迅速增加。另一類(lèi)移位矩陣的構(gòu)造方法是采用二次同余[7]、等差數(shù)列[9]等算法，能夠除去校驗(yàn)矩陣中所有的四環(huán)，即保證圍長(zhǎng)至少為6，但這種方法沒(méi)有對(duì)六環(huán)及其以上的環(huán)結(jié)構(gòu)做進(jìn)一步的考慮。另一種采用等差數(shù)列構(gòu)造移位矩陣的方法[11]雖然除去了六環(huán)，但需要固定校驗(yàn)矩陣的列重為3，對(duì)度分布的設(shè)計(jì)存在約束。

基于現(xiàn)有的研究成果，本文提出一種新的QC-LDPC碼構(gòu)造算法。該算法能夠有效消除QC-LDPC碼校驗(yàn)矩陣中長(zhǎng)度小于12的短環(huán)結(jié)構(gòu)，同時(shí)避免隨機(jī)搜索帶來(lái)的時(shí)間損耗和運(yùn)算量。本文首先給出基于PEG算法的QC-LDPC碼表示方法及環(huán)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，隨后在QC-LDPC碼的特點(diǎn)及環(huán)結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)上給出一類(lèi)新的移位矩陣的構(gòu)造方法，最后給出新構(gòu)造的QC-LDPC碼性能仿真結(jié)果并做出相應(yīng)的分析和對(duì)比。

1 基于PEG算法的QC-LDPC碼構(gòu)造

QC-LDPC的校驗(yàn)矩陣由單位矩陣的循環(huán)移位矩陣和零矩陣組成，在結(jié)構(gòu)上具有準(zhǔn)循環(huán)移位特性。設(shè)mp×np階矩陣H為QC-LDPC碼校驗(yàn)矩陣，它在結(jié)構(gòu)上可以表示為

(1)

其中：I(si，j)為p×p階全零矩陣或者單位循環(huán)移位矩陣；si，j代表單位矩陣循環(huán)移位的次數(shù)，其中，1 ≤i≤m，1 ≤j≤n，-1≤si，j≤p-1。

根據(jù)校驗(yàn)矩陣H的結(jié)構(gòu)，可以使用一個(gè)m×n階的基矩陣B和一個(gè)m×n階的移位矩陣P聯(lián)合對(duì)其進(jìn)行表述，從而降低矩陣表示及環(huán)結(jié)構(gòu)分析的復(fù)雜度?；仃嘊用以表示相應(yīng)位置上p×p子矩陣為全零矩陣還是單位矩陣的循環(huán)移位矩陣：移位矩陣P用以表示相應(yīng)位置上p×p階子矩陣循環(huán)移位的次數(shù)，即Pi，j=si，j?；仃嘊中的環(huán)稱(chēng)為塊環(huán)，它決定了校驗(yàn)矩陣H環(huán)結(jié)構(gòu)的框架；移位矩陣H中移位值的選取，在塊環(huán)設(shè)定的框架下影響著校驗(yàn)矩陣H中環(huán)的長(zhǎng)度和數(shù)量[6]。設(shè)基矩陣B中存在一個(gè)長(zhǎng)為2t的塊環(huán)，sαk,βk為該塊環(huán)對(duì)應(yīng)位置上的移位值(1≤k≤ 2t)，令

(2)

S1=Tmodp

(3)

則S1與H中的環(huán)長(zhǎng)及數(shù)量存在以下關(guān)系[6]：

1)S1=0，則該長(zhǎng)度為2t的塊環(huán)在H中被“復(fù)制”為p個(gè)長(zhǎng)度為2t的環(huán)；

2)S1≠0且S1與p互素((S1，p)=1)，則該長(zhǎng)度為2t的塊環(huán)在H中被“倍增”為1個(gè)長(zhǎng)度為2tp的環(huán)；

3)S1≠0但S1與p非互素((S1，p) ≠ 1)，則一定存在某個(gè)正整數(shù)l(1

lS1modp=0

(4)

該長(zhǎng)度為2t的塊環(huán)在H中擴(kuò)展為p/l個(gè)長(zhǎng)度為2tl的環(huán)。

由此可見(jiàn)，QC-LDPC碼的環(huán)長(zhǎng)由基矩陣中的塊環(huán)和移位矩陣中相應(yīng)位置上的移位值共同決定。若要增大QC-LDPC碼的環(huán)長(zhǎng)，則需要增大塊環(huán)的長(zhǎng)度并合理設(shè)置移位矩陣的移位值。在對(duì)基矩陣B進(jìn)行構(gòu)造時(shí)，采用現(xiàn)有相關(guān)研究中多使用的PEG算法[12]。它適合于低維度的校驗(yàn)矩陣構(gòu)造，并以漸進(jìn)邊增長(zhǎng)的方式最大限度地增大LDPC碼圍長(zhǎng)，能夠?yàn)镼C-LDPC碼提供理想的塊環(huán)結(jié)構(gòu)。在對(duì)移位矩陣P進(jìn)行構(gòu)造時(shí)，文獻(xiàn)[6]中采用隨機(jī)搜索的構(gòu)造方法，需要對(duì)短環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行搜索，具有一定的運(yùn)算復(fù)雜度和時(shí)間損耗；文獻(xiàn)[7-9]中采用的方法雖然減省了環(huán)搜索的過(guò)程，但只能除去長(zhǎng)度為4的短環(huán)。本文提出了一種新的移位矩陣構(gòu)造方法，能夠有效避免基矩陣中的環(huán)被“復(fù)制”的情況，使QC-LDPC碼的圍長(zhǎng)至少為12。

2 移位矩陣的構(gòu)造方法及環(huán)結(jié)構(gòu)分析

由前文分析可知，在基矩陣相同的情況下，移位值的選取需要盡可能保證S1≠0，避免環(huán)結(jié)構(gòu)被“復(fù)制”。 基于上述考慮，設(shè)基矩陣B和移位矩陣P的大小均為m×n，其中B由PEG算法構(gòu)造得到，而P第i行第j列元素值設(shè)為

si,j=ij

(5)

其中:1≤i≤m，1≤j≤n，且(si，j)max=mn

2.1 塊環(huán)長(zhǎng)度為4

若基矩陣中存在一個(gè)四環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 四環(huán)結(jié)構(gòu)圖

若si，j=ij，則

(6)

令j2-j1=a1，i2-i1=b1，則式(1)可以化簡(jiǎn)為

T=i1j1-i1j2+i2j2-i2j1=-i1a1+i2a1=a1b1

(7)

T恰好表示該環(huán)在矩陣中所圍圖形的面積。設(shè)該閉合圖形的面積為S，則S>0且T=S。根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)可知，四環(huán)所圍圖形的最大面積為(S)max=(T)max=(m-1)(n-1)

S1=Tmodp=T=S

(8)

由此可得

S1=S>0

(9)

2.2 塊環(huán)長(zhǎng)度為6

再考慮塊環(huán)長(zhǎng)度為6的情況。通常情況下，六環(huán)結(jié)構(gòu)有6種，如圖2所示。

圖2 六環(huán)結(jié)構(gòu)圖

先以環(huán)結(jié)構(gòu)(圖2a)進(jìn)行分析。若si，j=ij，則

i3j3-i3j1

(10)

令j2-j1=a1，j3-j2=a2，i2-i1=b1，i3-i2=b2，則式(3)可以化簡(jiǎn)為

T=i1j1-i1j2+i2j2-i2j1+i3j3-i3j1=-i1a1-

i2a2+i3(a1+a2)=a1(b1+b2)+a2b2

(11)

觀察可知，T同樣等于環(huán)結(jié)構(gòu)圖2a在基矩陣中所圍圖形的面積，即T=S。由于環(huán)結(jié)構(gòu)圖2b、圖2c與圖2d分別可由環(huán)結(jié)構(gòu)圖2a以90°，180°以及270°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)獲得，故分析過(guò)程與環(huán)結(jié)構(gòu)圖2a相同。同理，環(huán)結(jié)構(gòu)圖2f可由環(huán)結(jié)構(gòu)圖2e以180°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，因此以下僅對(duì)環(huán)結(jié)構(gòu)圖2e進(jìn)行分析。根據(jù)圖2e中的標(biāo)識(shí)，當(dāng)si，j=ij時(shí)，同樣可得

i3j3-i3j1

(12)

令j2-j1=a1，j3-j2=a2，i2-i1=b1，i3-i2=b2，則式(5)可以化簡(jiǎn)為

T=i1j1-i1j2+i2j2-i2j1+i3j3-i3j1=-i1a1-

i2a2+i3(a1+a2)=a1(b1+b2)+a2b2

(13)

由圖2e中的結(jié)構(gòu)可以看出，i3-i2=b2<0，且b1+b2=i3-i1，故T同樣等于環(huán)結(jié)構(gòu)圖2e在基矩陣中所圍圖形的面積。根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)可知，六環(huán)所圍圖形的最大面積為(S)max=(T)max=(m-1)(n-1)-10。

根據(jù)前文分析，可以歸納出以下結(jié)論：若基矩陣中存在長(zhǎng)為2t的環(huán)，移位矩陣第i行第j列元素值為si，j=ij，且aq=jq+1-jq，bq=iq+1-iq，其中1≤q≤t-1，則

(14)

2.3 塊環(huán)長(zhǎng)度為8

設(shè)塊環(huán)從起點(diǎn)出發(fā)后，定義背離起點(diǎn)的路徑為正向路徑，用“+”表示；朝向起點(diǎn)的路徑為負(fù)向路徑，用“-”號(hào)表示。為形成一個(gè)閉合的環(huán)路，正、負(fù)路徑必然同時(shí)存在于一個(gè)塊環(huán)中。根據(jù)塊環(huán)的結(jié)構(gòu)，負(fù)向路徑再分為兩類(lèi)：一類(lèi)是始終向著起點(diǎn)行進(jìn)，定義為完全負(fù)向路徑，如圖3a中加粗虛線所示；另一類(lèi)是向著起點(diǎn)行進(jìn)一段距離后又轉(zhuǎn)為正向路徑，定義為不完全負(fù)向路徑，如圖3b中加粗虛線所示。由圖1和圖2可知，長(zhǎng)度為4和6的塊環(huán)結(jié)構(gòu)中不存在不完全負(fù)向路徑。當(dāng)塊環(huán)長(zhǎng)度增加到8時(shí)，不完全負(fù)向路徑開(kāi)始出現(xiàn)，如圖3b中加粗虛線所示。不完全負(fù)向路徑的產(chǎn)生會(huì)導(dǎo)致環(huán)所圍成的圖形交疊，在這種情況下圖3b中的塊環(huán)所圍成的面積可以等效為圖3c。

圖3 負(fù)向路徑的分類(lèi)與交疊面積的計(jì)算

此時(shí)，T=S仍然成立，但S1與S間的相等關(guān)系不一定存在。當(dāng)塊環(huán)長(zhǎng)度為8且存在不完全負(fù)向路徑時(shí)，環(huán)所圍成圖形的最大面積，如圖3a所示，則

Tmax=2(m-2)(n-2)+1

(15)

T與mn的大小關(guān)系未定，即存在m，n的取值，使得T>p。此時(shí)S1=Tmodp≠S，可能存在S1=Tmodp=0的情況，使得該長(zhǎng)度為8的塊環(huán)被“復(fù)制”。為了避免此類(lèi)情況產(chǎn)生，加入以下附加條件

p>max{mn，2(m-2)(n-2)+1}

(16)

則S1=T0。

值得注意的是，校驗(yàn)矩陣中H的八環(huán)也可以通過(guò)四環(huán)的擴(kuò)展得到。根據(jù)前文內(nèi)容可知，當(dāng)塊環(huán)長(zhǎng)度為4時(shí)，S1≠0但可能存在(S1，p)≠1，且使得lS1modp=0的l取值為2(即p=2S1)，此時(shí)該長(zhǎng)度為4的塊環(huán)被不完全擴(kuò)展為p/2個(gè)長(zhǎng)度為8的環(huán)，p必為一個(gè)偶數(shù)。為了避免這種情況的產(chǎn)生，更進(jìn)一步規(guī)定p的取值為奇數(shù)。

2.4 塊環(huán)長(zhǎng)度為10

當(dāng)塊環(huán)長(zhǎng)度為10時(shí)，最大的面積交疊為二重交疊。這是因?yàn)槿绻h(huán)的面積出現(xiàn)三重交疊時(shí)，圖中必然會(huì)有3個(gè)多邊形套接，塊環(huán)長(zhǎng)度至少為12。因此塊環(huán)長(zhǎng)度為10時(shí)，交疊的兩個(gè)環(huán)分別為4環(huán)和6環(huán)，如圖4所示。

圖4 具有負(fù)向路徑的長(zhǎng)度為10的塊環(huán)

對(duì)比圖3a中長(zhǎng)度為8的塊環(huán)所圍圖形的面積可知，當(dāng)塊環(huán)長(zhǎng)度為10時(shí)，有

Tmax=2(m-2)(n-2)

(17)

由于在2.3節(jié)中已經(jīng)規(guī)定p>max{mn，2(m-2)(n-2)+1}且p為質(zhì)數(shù)，因此在塊環(huán)長(zhǎng)度為10時(shí)同樣有S1=T0成立。

綜上，新移位矩陣構(gòu)造方法可以概括為：若I(si，j)為非零子矩陣，則移位矩陣第i行第j列的元素為si，j=ij，其中1≤i≤m，1≤j≤n，p為一個(gè)大于max{mn，2(m-2)(n-2)+1}的奇數(shù)。

3 仿真結(jié)果與性能分析

仿真中將本文構(gòu)造的QC-LDPC碼分別與PEG算法構(gòu)造的LDPC碼以及隨機(jī)搜索算法構(gòu)造的QC-LDPC碼進(jìn)行對(duì)比，所有參與仿真的碼均具有相同的結(jié)構(gòu)參數(shù)：碼長(zhǎng)N=1 774，碼率R=0.5，度分布λ(x)=0.5x2+0.5x3。碼C1為采用本文構(gòu)造方法構(gòu)造的QC-LDPC碼，其基矩陣和移位矩陣的行數(shù)m=7，列數(shù)n=14，擴(kuò)展系數(shù)p=127，滿足p>max{98，121}=121的要求；碼C2為采用PEG算法構(gòu)造的非結(jié)構(gòu)化LDPC碼；碼C3，C4，C5為基矩陣與C1相同、移位矩陣均采用隨機(jī)搜索算法構(gòu)造的QC-LDPC碼，圍長(zhǎng)分別為4，6，8，構(gòu)造耗時(shí)分別為9 969 ms，69 748 ms，1.35×106ms，可見(jiàn)隨機(jī)搜索算法的構(gòu)造耗時(shí)隨圍長(zhǎng)的增加而急劇增加。

在相同的條件下，對(duì)碼C1～C5進(jìn)行仿真并將它們的誤幀率(Frame Error Rate， FER)和誤碼率(Bit Error Rate，BER)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖5所示。仿真時(shí)采用加性高斯白噪聲信道及二進(jìn)制移相鍵控調(diào)制(Binary Phrase Shift Keying，BPSK)方式，譯碼算法采用傳統(tǒng)的置信傳播(Brief Propagation，BP)譯碼算法，最大迭代次數(shù)設(shè)置為100。

圖5 QC-LDPC碼C1～C5的性能對(duì)比

圖5中的仿真結(jié)果表明，在相同的構(gòu)造參數(shù)及仿真條件下，本文算法構(gòu)造的QC-LDPC碼性能優(yōu)于PEG算法及隨機(jī)搜索算法。如圖5a所示，當(dāng)BER=10-5時(shí)，碼C1的性能優(yōu)于C2～C5中性能最好的碼C5約0.1 dB，證明C1具有更大的圍長(zhǎng)和更好的環(huán)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。除了對(duì)于擴(kuò)展系數(shù)p的取值存在約束條件，本文構(gòu)造算法對(duì)度分布、碼長(zhǎng)、碼率等參數(shù)沒(méi)有提出要求，且在構(gòu)造時(shí)不需要計(jì)算耗時(shí)，因此在應(yīng)用上更具有靈活性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文著眼于QC-LDPC碼在工程實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用前景，在基于環(huán)結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)上給出一種新的QC-LDPC碼構(gòu)造算法。該構(gòu)造算法通過(guò)一種全新的移位矩陣構(gòu)造方法避免了對(duì)基矩陣中環(huán)結(jié)構(gòu)“復(fù)制”的情況，有效增加了校驗(yàn)矩陣中的環(huán)長(zhǎng)。相較于幾種現(xiàn)有的QC-LDPC碼構(gòu)造方法，本文給出的構(gòu)造方法具有以下兩個(gè)顯著特點(diǎn)：1)避免了隨機(jī)搜索算法帶來(lái)的搜索時(shí)間和計(jì)算量的損耗；2)進(jìn)一步消除了長(zhǎng)度為4，6，8和10環(huán)結(jié)構(gòu)，有效增大校驗(yàn)矩陣的環(huán)長(zhǎng)，使QC-LDPC碼的圍長(zhǎng)至少為12。

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責(zé)任編輯：閆雯雯

Construction of quasi-cyclic LDPC codes based on cycle analysis

LI Wenwen， LIU Zhiwei， ZHANG Yanlin， LIU Lili， WANG Qi

(JiuquanSatelliteLaunchCenterinChina，GansuJiuquan732750，China)

Quasi-cyclic Low-Density Parity-Check (QC-LDPC) codes have practical significance in the field of communication engineering， and their construction methods have always been a hot topic in the area of LDPC codes. Based on existing literature， especially those constructed through Progressive Edge Growth (PEG) algorithm， a new construction method for shift matrix is proposed in this paper. The method can efficiently reduce the time cost and computation caused by random search； eliminate short cycles with length 4，6，8 and 10 to guarantee the girth at least 12， which improves the error correction performance when compare with those methods based on quadratic congruence and arithmetic sequence. Simulation results show that the newly constructed QC-LDPC codes have good cycle structure and performance.

quasi-cyclic LDPC codes； shift matrix； girth； cycle structure

李文雯，劉志偉，張炎林，等. 基于環(huán)結(jié)構(gòu)分析的準(zhǔn)循環(huán)LDPC碼構(gòu)造[J].電視技術(shù)，2016，40(11)：95-99. LI W W，LIU Z W，ZHANG Y L，et al. Construction of quasi-cyclic LDPC codes based on cycle analysis[J]. Video engineering，2016，40(11):95-99.

TN911.2

A

10.16280/j.videoe.2016.11.020

2016-01-23