栗 興 琴

(南京財經大學 應用數(shù)學學院,江蘇南京 210023)

?

幾類分形曲面的構造及其性質

栗 興 琴

(南京財經大學 應用數(shù)學學院,江蘇南京 210023)

分形曲面是R3中的一個分形集.通常，它的構造與分形函數(shù)密切相關.本文主要研究幾類分形曲面的構造方法及其性質，并給出一些數(shù)值例子，說明分形曲面與原始曲面間的關系.

迭代函數(shù)系；分形插值函數(shù)；分形曲面；性質

分形曲面在計算機圖形學、材料學、地震學等許多實際領域有廣泛的應用.很多學者已經研究了通過迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)或遞歸迭代函數(shù)系統(tǒng)(RIFS)來構造分形曲面，這些分形曲面都是某個IFS或RIFS的吸引子.謝和平等人[1-2]提出了一種在矩形域構造分形插值曲面的數(shù)學模型.Massopust[3]給出了三角區(qū)域上分形插值曲面的構造方法，為了保證得到的分形曲面的連續(xù)性，附加了邊界上插值節(jié)點共面的條件.Malysz[4]構造了一種IFS，并證明其存在唯一的吸引子，且這個吸引子是經過某個數(shù)據(jù)點集的連續(xù)二元函數(shù)的圖像.對矩形域上任意插值節(jié)點的情形，F(xiàn)eng等人[5]在IFS中引入了函數(shù)縱向尺度因子，保證了分形插值曲面的連續(xù)性.文獻[6-7]中，作者討論了隱變量二元分形插值曲面的構造問題.文獻[8]研究了利用遞歸分形函數(shù)和Lipschitz函數(shù)來構造分形曲面，并計算了它的盒維數(shù). Wang等人[9]基于實數(shù)的康托級數(shù)表示，構造了一類粗糙曲面，同時，給出曲面分形維數(shù)的計算公式.文獻[10]在矩形域上使用具有變量自由參數(shù)的IFS，構造了一類新的分形插值曲面，并研究了這類曲面的若干性質.文獻[11]給出了在矩形網(wǎng)格上構造分形插值曲面的一般方法，并研究了對插值點和縱向尺度因子沒有任何要求的雙線性分形插值曲面.

本文研究基于幾類已知的FIF來構造的分形曲面的剖分，討論這幾類分形曲面的若干性質.給出幾個數(shù)值例子，展示分形曲面與原始曲面之間的關系.

1 分形插值函數(shù)

(1.1)

根據(jù)Barnsley定理[12],上述IFS{K;Wi,i=1,2,…,N}有唯一一個吸引子G，且G是定義在I上的某個連續(xù)函數(shù)g的圖像，滿足g(xi)=yi,i=0,1，…，N.該函數(shù)g稱為FIF，它是唯一一個滿足下列不動點方程的函數(shù)：

它的圖像G經過給定的數(shù)據(jù)集△.通常，g是處處連續(xù)而處處不可微的,一般具有非整數(shù)的維數(shù).

設f∈C(I)，在式(1.1)中，考慮

qi(x)=f°Li(x)-αib(x),

(1.2)

其中b:I→R是連續(xù)映射，且滿足了

b(xo)=f(xo),b(xN)=f(xN),b≠f.

這里插值數(shù)據(jù)是

{(xi,f(xi)):i=0,1,…,N}.

由Barnsley定理可知，存在一個FIFfα滿足:

fα(xi)=f(xi)，i=0,1,…,N,

N·fα稱為與f對應的α-FIF.特別地，當

b=Lf，

(1.3)

其中L:C(I)→C(I)是線性有界算子，并滿足

(Lf)(xo)=f(xo)，(Lf)(xN)=f(xN),L≠Id(單位算子)

稱此時的FIFfα是與L和△有關的FIF.

命題1.1[13]對任意的f∈C(I),設

|α|∞=max{|αn|:n=1,2,…,N}，

fα是由IFS(1.1)-(1.3)確定的FIF，則有

由于具有常數(shù)縱向尺度因子的IFS在迭代過程中，使得各個分割子區(qū)間上具有相同的縱向壓縮比，這樣產生的FIF通常具備較明顯的自相似特征，因而在擬合某些自相似性較弱的不規(guī)則數(shù)據(jù)和非光滑曲線的過程中缺乏一定的靈活性.因此，若將(1.1)中的常數(shù)尺度因子αi均變成函數(shù)尺度因子αi(x)，相應得到的FIF更具有靈活性.此時，命題1.1中的

|α|∞=max{|αn(x)|,x∈I,n=1,2,…,N}.

命題1.2[14]對任意f∈C(I)，且f(x)≥0，?x∈I.令

mi=min{f(x):x∈Ii}，M*=max{b(x):x∈I}.

若αi∈C(I),i=1,2,…,N,滿足

則相應的FIFfα∈C(I)且fα(x)≥0,?x∈I.

命題1.3[14]設f∈C(I),考慮式(1.1)中的αi∈C(I)，i=1,2,…,N,

qi(x)=f(Li(x))-αi(x)b(x)，b(xo)=f(xo),b(xN)=f(xN),

若αi(x)≥0,b(x)≥f(x),?x∈I成立，則有

fα(x)≤f(x),?x∈I.

命題1.4[15]給定p∈N和數(shù)據(jù)集

{ynk:n=0,1,…,N;k=0,1,…,p},

g(k)(xn)=ynk,n=0,1,…,N;k=0,1,…,p,……

此時(1.1)式中的qn(x)(n=1,2,…,N)是階數(shù)最高為2p+1的多項式.

命題1.4中給出的FIF被稱為是Hermite分形插值函數(shù)(HFIF).

命題1.5[15]設(fα)(k),(fβ)(k)分別是fα和fβ的k階導數(shù)(0≤k≤p),則有

其中

Pn為關聯(lián)矩陣的逆矩陣，

2 分形曲面的構造及性質

設gα,hα:I→R是兩個分形函數(shù)，λ,μ:I×I→R是兩個二元Lipschitz函數(shù)，定義二元函數(shù)

F：I×I→R，F(xiàn)(x,y)=λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y)

(2.1)

由文獻[8]可知，式(2.1)確定的函數(shù)是一個二元分形函數(shù)，即F(x,y)的圖像是一個分形曲面.記

G(x,y)=λ(x,y)g(x)+μ(x,y)h(y),

定理2.1 設函數(shù)g,h∈C(I),則有

證明 由命題1.1可得，對任意的(x,y)∈I×I，

|F(x,y)-G(x,y)| =|λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y)-λ(x,y)g(x)-μ(x,y)h(y)|

≤|λ(x,y)gα(x)-λ(x,y)g(x)|+|μ(x,y)hα(y)-μ(x,y)h(y)|

=|λ(x,y)|·|gα(x)-g(x)|+|μ(x,y)|·|hα(y)-h(y)|

注2.1 若式(2.1)中的兩個分形函數(shù)分別取為gα(x),hβ(y),它們分別是對應于縱向尺度因子α，β的FIF，則有

定理2.2 對任意g,h∈C(I),且g(x),h(x)≥0,?x∈I.令

若αi∈C(I),i=1,2,…,N,滿足

λ(x,y),μ(x,y)≥0,(x,y)∈I×I,

則由式(2.1)確定的分形曲面F(x,y)≥0.

證明 由命題1.2可得，分別與g(x),h(y)對應的FIFgα(x),hα(y)≥0,x∈,y∈I,又因為λ(x,y),μ(x,y)≥0，所以有

F(x,y)=λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y)≥0.

圖1

定理2.3 設gα,hα分別是對應于函數(shù)g,h∈C(I)且由IFS(1.1)-(1.3)生成的帶有函數(shù)尺度因子αi=αi(x)的α-FIF.若

則有

F(x,y)≤G(x,y),(x,y)∈I×I.

證明 由命題1.3可得

gα(x)≤g(x),hα(y)≤h(y),x∈I,y∈I,

所以

F(x,y)=λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y)≤λ(x,y)g(x)+μ(x,y)h(y)=G(x,y),(x,y)∈I×I.

注2.2 若令定理2.3中的

則同理可得

F(x,y)≥G(x,y),(x,y)∈I×I.

圖2

定義2.1 若式(2.1)中的gα,hα分別是由命題1.4確定的HFIF，則稱相應的F(x,y),(x,y)∈I×I為Hermite分形曲面.

定理2.4 若λ，μ∈Cp(I×I)，則由定義(2.2)給出的Hermite分形曲面F(x,y)∈Cp(I×I).

證明 由命題1.4可知gα,hα∈Cp(I),因為

F(x,y)=λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y),

所以對?(x,y)∈(I×I),

又因為λ，μ∈Cp(I×I)，所以λ，μ的各階偏導數(shù)連續(xù)且有下式成立：

故

且F(x,y)的各階偏導數(shù)連續(xù)，從而有

F(x,y)∈Cp(I×I)

定理2.5 設gα,hα和gβ,hβ分別是對應于比例因子α和β的HFIF，令

F1(x,y)=λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y),

F2(x,y)=λ(x,y)gβ(x)+μ(x,y)hβ(y)

則

其中D0=(2p+2)vd.

證明 由命題1.5可得，?(x,y)∈(I×I)，

|F1(x,y)-F2(x,y)| =|λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y)-λ(x,y)gβ(x)-μ(x,y)hβ(y)|

≤|λ(x,y)gα(x)-λ(x,y)gβ(x)|+|μ(x,y)hα(y)-μ(x,y)hβ(y)|

≤|λ(x,y)|·‖gα(x)-gβ(x)‖∞+|μ(x,y)|·‖hα(y)-hβ(y)‖∞

所以，

3 結論

本文研究了幾類分形曲面的構造問題.給出了基于α-分形曲線和Hermite分形曲線的分形曲面的構造方法，并討論了它們的一些性質.給出了幾個例子說明了分形曲面與其相應的原始函數(shù)之間的關系. 本文的研究對粗糙曲面的數(shù)值擬合與逼近等實際應用領域有一定的參考價值.

[1]Xie H, Sun H. The study on bivariate fractal interpolation functions and creation of fractal interpolated surfaces[J].Fractals,1997,5(4):625-634.

[2]Xie H, Sun H, Ju Y, Feng Z. Study on generation of rock fracture surfaces by using fractal interpolation[J].Internat. J. Solids Structures, 2001,38(32):5765-5787.

[3]Massopust P R. Fractal surfaces[J].J Math Anal Appl,1990(151):275-290.

[4]Malysz R. The Minkowski dimension of the bivariate fractal interpolation surfaces[J].Chaos,Solitons&Fractals,2006,27(5):1147-1156.

[5]Feng Z,Feng Y,Yuan Z.Fractal interpolation surfaces with function vertical scaling factors[J].Appl Math Letters, 2012,25(1):1896-1900.

[6]Chand A K B,Kapoor G P.Hidden variable bivariate fractal interpolation surface[J].Fractals,2003,11(3):277-288.

[7]Kapoor G P, Prasad S A. Smoothness of coalescence hidden-variable fractal interpolation surface[J].Int J Bifurcation Chaos: APP. Sci. Eng,2009,19(7):2321-2333.

[8]Chol-hui Yun, Hyong-chol O, Hui-chol Choi.Construction of fractal surfaces by recurrent fractal interpolation curves[J].Chaos,Solitons&Fractals,2014,66(1):136-143.

[9]Wang H Y,Xu Z B.A class of rough surfaces and their fractal dimensions[J].J Math Anal Appl, 2001,259(2):537-553.

[10]王宏勇，楊守志.具有變量自由參數(shù)的分形插值曲面的構造與性質[J].數(shù)學學報，2014,57(2)：223-234.

[11]Ruan H J,Xu Q.Fractal interpolation surfaces on rectangular grids[J].Bull Aust Math Soc, 2015，91(3)：435-446.

[12]Barnsley M F.Fractal functions and interpolation[J].Constr Approx,1986,2(1):303-329.

[13]Viswanathan P,Chand A K B.Fractal rational functions and their approximation properties[J].J ApproxTheory,2014,185(11):31-50.

[14]Viswanathan P, Navascuès M A,Chand A K B. Associate fractal functions inLp-spaces and in one-sided uniform approximation[J]. J Math Anal Appl, 2016(433):862-876.

[15]Navascués M A, Sebastián M V. Generalization of Hermite functions by fractal interpolation[J].J ApproxTheory,2004,131(1):19-29.

Constructions and Properties of Several Kinds of Fractal Surfaces

LI Xing-qin

(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance & Economics, Nanjing 210023, China)

A fractal surface is a fractal set in R3. Generally, the constructions of fractal surfaces are closely related to the fractal functions. The methods of constructions and properties of several kinds of fractal surfaces are investigated in the present paper. Furthermore, several numerical examples are given, which illustrate the relationships between the fractal surfaces and their original functions.

iterated function system; fractal interpolation function; fractal surfaces; properties

2016-09-15

栗興琴(1990-)，女，山東臨沂人，南京財經大學應用數(shù)學學院碩士研究生.

O174.4

A

1672-2590(2016)06-0052-06