楊茗舒 李修清 王彥輝

(桂林航天工業(yè)學(xué)院 理學(xué)部, 廣西 桂林 541004)

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空間上三元素?cái)?shù)字集自仿測(cè)度的譜性質(zhì)

楊茗舒*李修清 王彥輝

(桂林航天工業(yè)學(xué)院 理學(xué)部, 廣西 桂林 541004)

迭代函數(shù)系；自仿測(cè)度；三元素?cái)?shù)字集；正交指數(shù)函數(shù)

(1)

(2)

自仿測(cè)度的譜與非譜等問(wèn)題等在近幾年引起了廣泛的關(guān)注(見(jiàn)[1-6]), 歸根結(jié)底為研究L2(μM,D)空間中正交指數(shù)函數(shù)的特征, 即(M,D)在什么條件下能夠使μM,D成為譜測(cè)度或非譜測(cè)度? 前人關(guān)于某些三元素?cái)?shù)字集的自仿測(cè)度的譜與非譜性質(zhì)有了許多研究。文獻(xiàn)[5]研究了當(dāng)擴(kuò)張矩陣M∈M2(Z), D?Z2分別為

1 預(yù)備知識(shí)

引理1.1[3]在Z-相似變換下譜對(duì)與和諧對(duì)的性質(zhì)不變。

引理1.2[2]若M∈Mn(Z)為擴(kuò)張矩陣，D與S是Zn的有限子集，使得(M-1D,S)為和諧對(duì)，0∈D∩S。假設(shè)零點(diǎn)集合Z(mM-1D(x))∩T(M*,S)=?，則(μM,D,Λ(M,S))為譜對(duì)。

2 主要定理及其證明

記M1:=P-1MP，D1:=P-1D，其中

由引理1.1可知, μM,D與μM1,D1的譜性質(zhì)相同。

(3)

其中*代表與p1,p2,p3有關(guān)的數(shù)。

(4)

其中

(5)

(6)

即

(7)

由此可得

(8)

其中

其中*代表與p1,p2,p3有關(guān)的數(shù)。

當(dāng)p1∈3Z+1時(shí), 可得到如下結(jié)論：

(b)如果ξ=(ξ1,ξ2,ξ3)t∈(A1-A1)∪(A2-A2), 則ξ1=Z。

(d)如果ξ=(ξ1,ξ2,ξ3)t∈A1+A2, 則ξ1=Z。

假設(shè)L2(μM,D)空間中有4個(gè)相互正交的指數(shù)函數(shù)，它們分別是:

e2πi<λ1,x>,e2πi<λ2,x>,e2πi<λ3,x>,e2πi<λ4,x>

則

(9)

記λj-λk=(xj,k,yj,k,zj,k)t∈R3, 1≤j≠k≤4, 由(9)可知

λ2-λ1,λ3-λ1,λ4-λ1,λ3-λ2,λ4-λ2,λ4-λ3∈A1∪A2

(10)

根據(jù)抽屜原理可知, 集合A1與A2中必有一個(gè)集合至少包含上述六個(gè)元素中的三個(gè)。事實(shí)上這是不可能的。例如, 假設(shè)

λ2-λ1,λ3-λ1,λ4-λ1∈A1,

則

λ3-λ2=(λ3-λ1)-(λ2-λ1)∈A1-A1

λ2-λ1,λ3-λ2,λ4-λ3∈A1,

則

λ4-λ2=(λ4-λ3)+(λ3-λ2)∈A1+A1,

λ4-λ1=(λ4-λ2)+(λ2-λ1)∈A2+A1,

類(lèi)似的總可以得到矛盾, 因此假設(shè)不成立, 可見(jiàn)L2(μM,D)空間中至多有3個(gè)相互正交的指數(shù)函數(shù)。

當(dāng)p1∈3Z+2時(shí)的證明方法與上述當(dāng)p1∈3Z+1的證法完全類(lèi)似, 略去。從而定理2.2得證。

推論2.1為定理1.2中當(dāng)a=b=c=0時(shí)的情形。此推論也為文獻(xiàn)[9]中的定理2.3.1, 由此可見(jiàn)本文的結(jié)論更加廣泛。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文首先討論了由三階下三角擴(kuò)張整數(shù)矩陣M與三元素共線(xiàn)數(shù)字集D所對(duì)應(yīng)的自仿測(cè)度μM,D的譜性質(zhì), 但對(duì)于任意的三階擴(kuò)張整數(shù)矩陣M與定理1中的數(shù)字集D所對(duì)應(yīng)的μM,D的譜性質(zhì)有待進(jìn)一步研究；接著討論了三階上三角擴(kuò)張整數(shù)矩陣M與特定數(shù)字集D所對(duì)應(yīng)的自仿測(cè)度μM,D的非譜性質(zhì), 而對(duì)于三階下三角矩陣或任意的三階矩陣與此數(shù)字集所對(duì)應(yīng)的μM,D的非譜問(wèn)題有待解決。

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(責(zé)任編輯 陳葵晞)

楊茗舒，女，廣西容縣人。助教，碩士。研究方向：譜自仿測(cè)度理論。

O174. 2

A

2095-4859(2016)03-0388-05