石向東

(梧州學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院，廣西 梧州 543002)

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談解析幾何數(shù)學(xué)實驗課的教學(xué)設(shè)計

石向東

(梧州學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院，廣西 梧州 543002)

基于知識性、實踐性、操作性和計算機為一體的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)是一種有利于提高學(xué)生創(chuàng)新能力和綜合素質(zhì)的新的數(shù)學(xué)課程。文章根據(jù)解析幾何學(xué)科特點，提出數(shù)學(xué)實驗課教學(xué)設(shè)計的原則和課程設(shè)置方法。

解析幾何；數(shù)學(xué)實驗；教學(xué)設(shè)計；數(shù)學(xué)軟件

1引言

隨著現(xiàn)代社會由工業(yè)社會向信息社會過渡，國家教育部對高校培養(yǎng)目標及人才培養(yǎng)模式提出了新的要求，在高校中培養(yǎng)有創(chuàng)新能力的高素質(zhì)人才已成為高等教育改革的核心問題，如何對現(xiàn)有教學(xué)進行改革以適應(yīng)社會對人才的需求而成為高等教育的一項迫切而重要的任務(wù)。教育部在《進一步深化本科教學(xué)改革、全面提高教學(xué)質(zhì)量的若干意見》中明確指出：“要堅持知識、能力和素質(zhì)協(xié)調(diào)發(fā)展，繼續(xù)深化教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法等方面的改革，實現(xiàn)從注重知識傳授向更加重視能力和素質(zhì)培養(yǎng)的轉(zhuǎn)變”，要“著力培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力?！苯馕鰩缀卧诖髮W(xué)數(shù)學(xué)中有著重要的地位和作用，它是理工科各專業(yè)的基礎(chǔ)課，又是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的極好教材，在當(dāng)前教學(xué)改革的浪潮中，解析幾何教學(xué)應(yīng)朝著實現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的方向轉(zhuǎn)變。

2解析幾何課堂教學(xué)的特點

傳統(tǒng)的解析幾何課堂教學(xué)有著比較成熟的教學(xué)設(shè)計與模式，教學(xué)上注重理論的系統(tǒng)性和完整性，以嚴密的演繹思維、邏輯推理為研究方式，充分提高了學(xué)生的思維水平，體現(xiàn)了解析幾何的理論價值。不可否認，課堂教學(xué)模式為國家培養(yǎng)了大批優(yōu)秀人才，這是它的精華之處。

但是，傳統(tǒng)的課堂教學(xué)忽視了對學(xué)生主動思考、自主創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。其不足之處有如下3點。

2.1重傳授，輕探索

課堂教學(xué)的方法主要是講授法，在教學(xué)過程中，教師有條不紊、富有啟發(fā)性地逐層深入講解，加以布局合理的板書，把解析幾何課程中的定理證明、公式推導(dǎo)、曲線與曲面的一般理論，通過演示、推理、說明和計算，使學(xué)生緊跟老師的思路，學(xué)到了系統(tǒng)而完整的解析幾何理論知識。

在這種“傳授”理念下的課堂教學(xué)，教師往往是站在知識系統(tǒng)化的角度去展開教學(xué)，一開始就將問題引向概念，進而提出概念的抽象表述與符號化表示方式，然后再灌輸一大堆解題技巧。學(xué)生則被動地接受這些抽象的教學(xué)理論，并機械地記住有關(guān)解題方法以應(yīng)付考試。這種以教師注入式的講解代替學(xué)生思維活動的教學(xué)方式，只會導(dǎo)致學(xué)生不會獨立思考，更不會主動探索地學(xué)習(xí)。與被動地接受教師傳授的學(xué)習(xí)方式相比，主動探究的學(xué)習(xí)方式在培養(yǎng)學(xué)生實踐能力、創(chuàng)新能力方面更具有深遠意義。自主探究的學(xué)習(xí)方式將學(xué)生置于一種主動探索并注重解決問題的學(xué)習(xí)狀態(tài)中，通過自己動手、動腦、實驗等活動來了解知識的形成和發(fā)展過程。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認為學(xué)生是學(xué)習(xí)活動的主體，是自己認知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的決定者[1]。學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性能否得到充分發(fā)揮，直接影響到知識建構(gòu)活動的質(zhì)量與效率。

2.2重演繹，輕歸納

數(shù)學(xué)的特征之一是邏輯嚴密性，如嚴謹?shù)臍W幾里得幾何，從幾個公理出發(fā)，以演繹推理方式引出了一系列的命題，構(gòu)成了一個公理化的幾何論證體系，進而表現(xiàn)這個理論所揭示的真理，所以說數(shù)學(xué)是演繹的科學(xué)。但演繹性僅是數(shù)學(xué)的一個側(cè)面，它的另一個側(cè)面是歸納性。歸納推理方法由個別推及一般，由已知推及未知，所以它具有探索和發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)理論的功能。如同其他自然科學(xué)一樣，數(shù)學(xué)的起源也依賴于歸納推理，因此從數(shù)學(xué)發(fā)展過程而言，數(shù)學(xué)是歸納的科學(xué)。

在解析幾何教學(xué)中，要全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就必須既教演繹推理，又教歸納推理，但傳統(tǒng)的課堂教學(xué)，只重視演繹思維訓(xùn)練，卻忽視歸納思維的培養(yǎng)。

解析幾何教材提供的是數(shù)學(xué)知識的邏輯系統(tǒng)，它所表現(xiàn)的定理證明過程是經(jīng)過邏輯加工的演繹體系，同時教師也是通過“定義—定理—推論”這條演繹推理模式把“結(jié)果”傳授給學(xué)生，這種演繹思維的順序恰與數(shù)學(xué)家們在發(fā)現(xiàn)這些“結(jié)果”的研究活動中的歸納思維順序相反，在這里看不到數(shù)學(xué)家創(chuàng)造性活動中的猜想、聯(lián)想、類比、歸納等合情推理過程。

2.3重理論，輕實踐

以單純教學(xué)系統(tǒng)的、完整的解析幾何理論為主，忽視對學(xué)生的實踐能力的培養(yǎng)，是解析幾何傳統(tǒng)的課堂教學(xué)的又一個特點。實踐是培養(yǎng)人的能力和智慧的搖籃，這是與學(xué)習(xí)書本知識不同的另一種學(xué)習(xí)方式，學(xué)習(xí)者在實踐中體驗，在實踐中獲得能力。隨著高科技的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)思想已滲入到其他科學(xué)領(lǐng)域以及各個行業(yè)。社會對數(shù)學(xué)的需求，體現(xiàn)在既需要掌握數(shù)學(xué)理論的數(shù)學(xué)工作者，更需要善于運用數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)思維去解決實際問題、取得社會效益、有實踐能力的人。

3在解析幾何中開設(shè)數(shù)學(xué)實驗課的必要性

解析幾何的教學(xué)目標是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、空間想象能力，進而培養(yǎng)他們的實踐和創(chuàng)新能力，這種創(chuàng)新能力可以概括為善于應(yīng)用新技術(shù)獲取和處理信息的能力、主動探究能力、分析和解決問題的能力。要培養(yǎng)這些能力，僅靠傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式和原有的學(xué)習(xí)方式是難以勝任的。課堂教學(xué)只注重培養(yǎng)學(xué)生嚴密的邏輯推理能力，只注重傳統(tǒng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論知識的傳授，而忽視實踐能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，這與國家對理工科大學(xué)生的高素質(zhì)要求相差甚遠。

數(shù)學(xué)實驗室是一種開放式的、在數(shù)學(xué)思維活動參與下的、在特定的實驗環(huán)境中進行的教學(xué)方式。數(shù)學(xué)軟件強大的計算功能和圖形可視化功能為學(xué)生提供了一個圖文并茂、直觀生動的教學(xué)環(huán)境[2]。一方面，它使一些在課堂教學(xué)中難以表達的抽象理論或無法觀察到的現(xiàn)象如動點軌跡的形成、空間曲線的生成、曲面性質(zhì)以直觀形象或動畫演示的方式展示出來，有效地突破了解析幾何課堂教學(xué)中的難點，幫助學(xué)生深層次地理解數(shù)學(xué)理論。另一方面，學(xué)生在實驗環(huán)境中動手做實驗，學(xué)會猜想，學(xué)會探索，培養(yǎng)了創(chuàng)新思維能力。因此，數(shù)學(xué)實驗課是課堂理論教學(xué)的有益補充，在解析幾何教學(xué)中開設(shè)數(shù)學(xué)實驗，是適應(yīng)國家對人才的綜合素質(zhì)要求所作的改革舉措。

4數(shù)學(xué)實驗課程的設(shè)計原則

4.1實驗內(nèi)容取自解析幾何教材的原則

根據(jù)開設(shè)數(shù)學(xué)實驗的宗旨，我們認為數(shù)學(xué)實驗教學(xué)內(nèi)容主要是圍繞解析幾何的基礎(chǔ)理論。數(shù)學(xué)實驗課程的載體是“問題”，從“問題”出發(fā)，以解決“問題”為線索組成實驗課的課程內(nèi)容，這些內(nèi)容都出自解析幾何教材中，可以是一些概念、定理，也可以是空間曲線、曲面性質(zhì)等。數(shù)學(xué)實驗除了驗證一些基本結(jié)論外，對于注重創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的探索性實驗，應(yīng)有意識地去選擇一些能讓學(xué)生自己動手的計算機實驗，并通過歸納推理等思維活動去發(fā)現(xiàn)結(jié)論的解析幾何基本知識。

4.2數(shù)學(xué)實驗與解析幾何課堂教學(xué)進度同步開設(shè)原則

數(shù)學(xué)實驗課與理論課一起開設(shè)，并保持相適應(yīng)的進度，并且安排的課時必須適量。在不影響解析幾何理論教學(xué)的前提下，我們認為開展4個課時的實驗教學(xué)課較適中。圍繞解析幾何理論的教學(xué)內(nèi)容以插入形式開設(shè)。經(jīng)參考其他院校的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)大綱，我們對數(shù)學(xué)實驗課程的安排大致為：第一次實驗課安排在第二章軌跡與方程；第二、第三次安排在第四章，目的使學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗中用實驗方法去探究曲線或曲面性質(zhì)；第四次則安排在第五章進行。

4.3操作性與探索行相結(jié)合原則

數(shù)學(xué)實驗課是一門強調(diào)實踐與探索的課，具有很強的操作性,學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗，自主探究，合作交流，也就通過“做”數(shù)學(xué)去探究數(shù)學(xué)規(guī)律。這是一個動手與動腦相結(jié)構(gòu)性合的過程，因此要把握“做”的度，不能只顧操作性而忽視數(shù)學(xué)思維探索性的培養(yǎng)，要求學(xué)生既能運用計算機得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)，又能對數(shù)據(jù)進行數(shù)學(xué)分析并得出結(jié)論[3]。

4.4實驗課題的選擇與教學(xué)目標相匹配原則

作為解析幾何課程的數(shù)學(xué)實驗，其著眼點除了通過自主探索與實踐達到培育創(chuàng)新能力外，還應(yīng)通過數(shù)學(xué)實驗掌握解析幾何相關(guān)概念與定理，如圍繞曲面截痕軌跡的形成使學(xué)生學(xué)習(xí)曲面的形狀與性質(zhì)，圍繞維維安尼曲線的畫法掌握空間曲線的射影柱面的來龍去脈與性質(zhì)等等。

5解析幾何數(shù)學(xué)實驗課的教學(xué)設(shè)計

國內(nèi)開設(shè)數(shù)學(xué)實驗課主要有兩種形式，一種是獨立開課，即指獨立于大學(xué)數(shù)學(xué)各基本課程之外，單獨開設(shè)數(shù)學(xué)實驗課程，另一種是在各基礎(chǔ)課程的教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實驗課，把它作為各數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)環(huán)節(jié)[4]，根據(jù)學(xué)校的具體情況和解析幾何教學(xué)改革的現(xiàn)狀，我們采用后一種形式。

與把數(shù)學(xué)實驗作為一門獨立的課程來開設(shè)不同，作為引入解析幾何課的數(shù)學(xué)實驗，定位為讓數(shù)學(xué)實驗與解析幾何課堂教學(xué)優(yōu)勢互補，掌握解析幾何的基本理論和學(xué)習(xí)方式培養(yǎng)他們的探索精神和創(chuàng)新能力，因此數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)容都取自解析幾何教材，包括某些概念、定理、公式等。按教學(xué)方式、教學(xué)目的以及思維訓(xùn)練水平來分，我們將實驗分為兩種：一種是驗證實驗，用計算機驗證一些已學(xué)的結(jié)論或公式；另一種是探索實驗，強調(diào)探索一些復(fù)雜的解析幾何定律或公式。前者著眼于“結(jié)果”的驗證，后者著眼于“結(jié)果”的發(fā)現(xiàn)[5]。

5.1驗證性實驗

解析幾何課堂教學(xué)已把數(shù)學(xué)理論傳授給學(xué)生，如概念、定理等，但學(xué)生往往對這些知識的理解是抽象的、片面的、生疏的。在數(shù)學(xué)實驗課上，通過學(xué)生自己動手以實驗檢驗這些已知的結(jié)論的正確性，幫助學(xué)生更好地理解和掌握解析幾何的基本理論。許多空間曲線和曲面的形成，是無法由教師在課堂上用靜態(tài)的示圖和口頭語言講清的，計算機“可視化”的動態(tài)演示，把曲線或曲面的形成過程準確地模擬出來，對提高學(xué)生的空間觀念、數(shù)形結(jié)合思想水平和教學(xué)效果起到事半功倍的作用。

案例1：演示動點或動直線的軌跡的生成。

動點或動直線的軌跡是解析幾何又一難點。利用matlab的圖形可視化功能，可以把軌跡的形成過程準確地模擬出來，對提高學(xué)生的空間觀念有很好的效果。

例：有兩條相交的直線l1與l2，其中l(wèi)1繞l2作螺旋運動，即l1一方面繞l2作等速轉(zhuǎn)動，另一方面又沿著作等速直線運動，在運動中永遠保持與l2直交，這樣由l1所畫出的曲面叫螺旋面。

通過對問題的變形以及利用數(shù)學(xué)軟件制作動畫準確地模擬軌跡的生成過程，使學(xué)生對動點的軌跡是曲線，動直線的軌跡是曲面有了深刻的認識。

案例2：認識空間曲線關(guān)于坐標平面的射影柱面，射影柱面在認識空間曲線方面的作用、有利于空間曲線的作用。

例：畫出維維安尼曲線。

驗證性實驗的特點是直觀、動態(tài)，使深奧的解析幾何理論以圖形、動畫等形式動態(tài)地出現(xiàn)，達到簡單明了、直觀易懂、化難為易的教學(xué)效果。

5.2探索性實驗

數(shù)學(xué)上的概念、定理、公式的產(chǎn)生都是科學(xué)家們創(chuàng)造性思維的“結(jié)果”，是一個歸納→猜想的歸納思維過程,但教材卻表現(xiàn)為概念→定理或公式→范例組成的數(shù)學(xué)系統(tǒng),是一個邏輯嚴密的演繹體系,教材掩蓋了這些“結(jié)果”的探索、發(fā)現(xiàn)、形成的復(fù)雜過程，只把思維的“結(jié)果”顯示出來。同時，傳統(tǒng)的教學(xué)方式也普遍地存在重結(jié)論、輕過程的現(xiàn)象，這種把結(jié)論、過程直接展示給學(xué)生的教學(xué)方式，使學(xué)生只記住了定理與公式，卻沒有思維活動的空間，更談不上質(zhì)疑。探索實驗型教學(xué)模式打破了教材中以邏輯形式展示知識的演繹體系，從歸納的方法去學(xué)習(xí)它，就是歸納→猜想→證明的學(xué)習(xí)模式。在歸納環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生編程序，觀察計算機的圖形演示和實驗過程，從實驗結(jié)果中分析、歸納、形成猜想，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。現(xiàn)代教育理論表明，發(fā)現(xiàn)式的學(xué)習(xí)以問題解決為中心，學(xué)生在動手、動腦的學(xué)習(xí)活動中，通過觀察、分析、綜合、歸納、猜想等思維操作，學(xué)會解決問題和探索真理的能力。探索實驗型教學(xué)為實施發(fā)現(xiàn)法學(xué)習(xí)提供了很好的平臺。

在這種模式里，學(xué)生不知道“結(jié)論”的。首先教師在解析幾何教材中選擇一些概念、定理、或典型的問題設(shè)計成問題，使它與重要的知識和原理等結(jié)合在一起，從而使學(xué)生在利用數(shù)學(xué)實驗解決這類問題時，能利用到與這個問題相聯(lián)系的知識或原理去解決它。然后由學(xué)生在計算機上設(shè)計和實驗，并在這個過程中不斷嘗試、修改、完善實驗結(jié)果，并對實驗結(jié)果進行分析、猜想，最后得出“結(jié)論”，達到解決問題的目的。

案例3：用截痕曲線研究曲面形狀與性質(zhì)。

柱面和錐面以它們各自的生成方式來給出定義，從定義中就可知道柱面或錐面的性質(zhì)及形狀，并很容易用圖形來表示。與柱面和錐面的定義方式不同，橢球面、雙曲面和拋物面是用方程來定義的，也就是解析定義。解析定義沒有明顯的幾何特征，為了研究它們的形狀與性質(zhì)，必須用平行截割法，即用一組平行平面去截割這種用方程表示的曲面，得到一族截痕曲線，通過研究這些截痕曲線的變化趨勢去推想曲面的幾何性質(zhì)和整體形狀，這種推想方法抽象程度較高，學(xué)生感到難以掌握。筆者指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件(如Matlab)，在數(shù)學(xué)實驗課上自主探索曲面的形狀與性質(zhì)。程序為：

(1)實驗演示

學(xué)生利用Matlab制作動畫，方法是將截痕曲線設(shè)置為逐個出現(xiàn)，學(xué)生容易看出曲面截痕軌跡的形成過程。

(2)分析與歸納

學(xué)生根據(jù)以平行于平面的一組平行平面所截得的一系列截痕曲線，分析這些截痕曲線的形狀變化趨勢以及它們的端點運動情況。

(3)推想與總結(jié)

案例4：演示旋轉(zhuǎn)曲面的形成過程，研究曲面性質(zhì)。

在計算機上制作旋轉(zhuǎn)拋物面x2+y2=2pz的動畫演示，雖然數(shù)學(xué)軟件上沒有動畫命令，教師可引導(dǎo)學(xué)生制作拋物線的圖形序列。該旋轉(zhuǎn)拋物面是由yoz平面上的拋物線y=2pz繞對稱軸(z軸)旋轉(zhuǎn)而成，這種旋轉(zhuǎn)過程可以由平面曲線y2=2pz逐個出現(xiàn)，顯示形成動畫，直觀形象地演示了拋物線繞旋轉(zhuǎn)軸z軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)拋物面的過程，生動地揭示了旋轉(zhuǎn)拋物面的本質(zhì)。學(xué)生在實驗演示之后，總結(jié)出曲面性質(zhì)。

從以上案例看到，數(shù)學(xué)實驗課程通過計算機圖形顯示、動畫模擬，形成一個形象生動的教學(xué)環(huán)境，給解析幾何教學(xué)帶來了先進的教學(xué)手段，打破了以教師為中心的滿堂灌，使教學(xué)成為“以學(xué)生為中心，教師為主導(dǎo)”的師生互動模式，并使學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗中學(xué)會“提出問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想、進行證明”的探索與創(chuàng)新能力。因此數(shù)學(xué)實驗對解析幾何傳統(tǒng)教學(xué)方式是一種有益的補充。探討數(shù)學(xué)實驗與傳統(tǒng)教學(xué)如何達到優(yōu)勢互補，仍是我們今后要作的進一步研究。

[1]黃文.用建構(gòu)主義理論指導(dǎo)創(chuàng)造性思維方式的培養(yǎng)[J].廣西高教研究，1999(2).

[2]韓明，王家寶，李林.數(shù)學(xué)實驗[M].上海：同濟大學(xué)出版社，2009.

[3]許立煒.數(shù)學(xué)實驗課程中的實驗設(shè)計原則[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010(8).

[4]陳曉瑛，龔日超.國內(nèi)外數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的現(xiàn)狀分析與展望[J].株洲師范高等專科學(xué)校學(xué)報，2004(10).

[5]李繼成，朱旭，王綿森，等.數(shù)學(xué)實驗課程建設(shè)及分層次教學(xué)與實踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005(12).

(責(zé)任編輯：高 堅)

On Teaching Design for Mathematical ExperimentalCourse on Analytic Geometry

Shi Xiangdong

(College of Information and Electronic Engineering, Wuzhou University, Wuzhou 543002, China)

Mathematical experimental teaching and learning based on the natures of knowledge, practice and operation and integrated with computer systems is a new mathematical course which is helpful for the improvement of students’ innovation ability and comprehensive quality. Based on the characteristics of analytic geometry, this paper puts forward some principles for teaching design of mathematical experimental course and some approaches to course arrangement.

Analytic geometry; Mathematical experiment; Teaching design; Mathematical software

2016-04-01

梧州學(xué)院教學(xué)改革項目(Wyjg2014B011)

G642.4

A

1673-8535(2016)03-0063-06

石向東(1961-)，男，廣西梧州人，梧州學(xué)院副教授，主要研究方向：微分方程。