宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學 內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010)

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變換參考系統(tǒng)一兩種多普勒效應

宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學 內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010)

機械波多普勒效應在高中基礎物理中只要求定性掌握，但是在自主招生及競賽中卻必須要掌握其定量表達式并能熟練運用，在大學普通物理學中更是要求掌握電磁波多普勒效應.嘗試另辟蹊徑，創(chuàng)新地通過變換參考系的方式結合相對論效應簡單形象地得出多普勒效應的一般表達式，并據(jù)此揭秘多普勒效應中蘊含的種種玄機.

機械波 電磁波 多普勒效應 橫向 縱向

眾所周知，我們一般習慣于將多普勒效應獨立地分為機械波多普勒效應和電磁波多普勒效應，并且認為二者之間只有區(qū)別沒有聯(lián)系，譬如電磁波多普勒效應只跟波源和觀察者之間的相對速度有關，且電磁波具有橫向多普勒效應，而機械波并不具備這些特點.對于電磁波多普勒效應,文獻[1]給出了復雜的證明，而且證明的條件是波源靜止觀察者運動，筆者認為首先其證明過程并不具有一般性，其次,該文作者簡單地認為電磁波多普勒效應和機械波多普勒效應的定量表達式是截然不同的,難道沒有什么簡單易懂的方式可以得出電磁波多普勒效應的頻移公式嗎？機械波多普勒效應和電磁波多普勒效應難道真的只有區(qū)別沒有聯(lián)系嗎？這就是本文要詳細探討的問題.

在得出機械波多普勒效應頻移公式時，我們往往習慣以介質系為參考系，頻移公式中的速度即指介質系中的速度.而實際上，在多普勒效應的問題中，我們對參考系選擇的余地很大，除了可以選擇介質系，還可以選擇波源系以及觀察者系.筆者最近通過詳細計算發(fā)現(xiàn)，分別以介質系、波源系、觀察者系為參考系時得出的結論是一致的.而在以觀察者系為參考系進行計算時收到了意想不到的效果，令筆者真正體會到了物理學中的簡潔美與對稱美.本文主要通過計算形象具體地向讀者解釋4個典型的疑問：

(1)如何簡單、有效地推導出電磁波多普勒效應頻移公式？

(2)為何電磁波多普勒效應只與波源和觀察者之間的相對速度有關？

(3)什么是橫向、縱向多普勒效應？

(4)電磁波多普勒效應和機械波多普勒效應有何潛在聯(lián)系？

下面為了方便我們暫時只討論波源和觀察者的速度在一條直線上的情形.

設波相對介質的速度為v，方向向右，波源相對介質的速度為vs，方向向右，觀察者相對介質的速度為vr，方向向右，該波的固有頻率為f0，固有周期為T0.下面我們一反常態(tài)創(chuàng)新地以觀察者系為參考系，此時在得出觀察者接收的頻率時，為了方便理解，可以利用等效的思想，這樣一來便不難得到觀察者接收到的頻率

(1)

其中u有效為有效速度，λ有效為有效波長(也可以叫做表觀波長)，對式(1)進行變形并結合相對論中的洛倫茲速度變換關系，取向右為正方向，則有

(2)

其中

為波相對觀察者的速度.由于v>vr，因此vwr方向向右，符號恒為“+”.vsr為波源相對觀察者的速度，有

當vs>vr時，vsr方向向右，符號為“+”，當vs

(3)

式(3)即為多普勒效應的一般表達式，任何波的多普勒效應都可以用此公式進行計算.需要注意的是，上式表達的是一個矢量關系.下面我們具體來看一下以觀察者系為參考系帶來的方便(下面討論時取v,vs,vr皆大于零).

情況1:

如圖1所示，規(guī)定向右(v的方向)為正方向，則式(3)變?yōu)?/p>

(4)

圖1 情況1示意圖

情況2：

如圖2所示，規(guī)定向右(v的方向)為正方向，則式(3)變?yōu)?/p>

(5)

圖2 情況2示意圖

情況3：

如圖3所示，規(guī)定向右(v的方向)為正方向，則式(3)變?yōu)?/p>

(6)

圖3 情況3示意圖

情況4：

如圖4所示，規(guī)定向右(v的方向)為正方向，則式(3)變?yōu)?/p>

(7)

圖4 情況4示意圖

分情況討論：

(1)機械波多普勒效應

不難看出對于一般的機械波而言，由于波源以及觀察者相對于介質的速度都遠小于真空中的光速c，因此可知式(4)～(7)中的

因此式(4)～(7)可分別回歸到

這便是在教學中常見的機械波多普勒效應的頻移公式，一般我們習慣將這4種情況合并成一個表達式

可以看出機械波的多普勒效應屬于一般多普勒效應在低速情況下的經(jīng)典近似.

(2)電磁波多普勒效應

根據(jù)上述表達式可以很容易地推出電磁波多普勒效應的頻移公式.此時有v=c，式(3)中的

因此式(3)回歸到

這個公式也是大家非常熟悉的，在這里vsr可能大于零也可能小于零，若我們設|vsr|=v>0，則對于情況1,2,3,4來說，可以歸納合并成兩種情況，一種情況是波源和觀察者之間的距離逐漸減小的情形，由于vsr方向向右，因此可以得到

另一種情況是波源和觀察者之間的距離逐漸增大的情形，由于vsr方向向左，因此可以得到

由此可以看出觀察者接收到的真空中的電磁波的頻率僅與波源和觀察者之間的相對速度vsr有關.

(3)對于電磁波來說，考察波源相對觀察者的速度與波源和觀察者的連線不在同一條直線的情況

設波源相對觀察者的速度vsr與波源和觀察者的連線所成的角度為θ，則此時可將vsr分解到波源和觀察者的連線方向上，即分解為vsrcos θ，則式(3)可寫為

可以看出當θ=90°時

此即電磁波的橫向多普勒效應，可以看出這是相對論效應中時間膨脹的必然結果.當θ角為零或180°時，即為光的縱向多普勒效應；當θ角為其他值時，不難理解，理論上不論是電磁波還是機械波，橫向多普勒效應與縱向多普勒效應是共同存在的，只不過強弱不同而已，而機械波由于忽略時間膨脹效應，因此表觀波長不會因為波源相對觀察者的橫向運動而發(fā)生改變，而有效速度又沒有發(fā)生改變，因此才會導致其沒有橫向多普勒效應.

綜上所述，可以看出機械波多普勒效應和電磁波多普勒效應是可以統(tǒng)一起來的，二者只是不同情況下的兩種特例，這一切看似簡潔美妙的結論只有以觀察者系為參考系才能顯現(xiàn)出來.希望本文的討論可以澄清廣大物理教師對多普勒效應的種種誤解.

1 沈瑞清．光波的多普勒效應公式是什么．中學物理教學參考，2004(5)：19

宋輝武(1989- )，男，碩士，中教一級，主要從事中學物理教學及研究.

2016-07-13)