邵云

（南京曉莊學(xué)院 電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171）

異核雙原子分子轉(zhuǎn)動配分函數(shù)在高溫極限下積分式的證明及一種謬誤分析

邵云

（南京曉莊學(xué)院 電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171）

在通用的《統(tǒng)計物理學(xué)》教材中，對于異核雙原子分子的轉(zhuǎn)動配分函數(shù)在高溫下由求和形式轉(zhuǎn)化為積分形式有統(tǒng)一的計算方法.但不少師生對此方法心存疑慮，更有甚者會提出另一種似是而非的計算方法.文章按照微積分的定義，對教科書中的計算方法進(jìn)行必要的分析與佐證，并對某些錯誤理解進(jìn)行糾正.

異核雙原子分子；轉(zhuǎn)動配分函數(shù)；高溫極限

0 引言

1 異核雙原子分子轉(zhuǎn)動自由度的配分函數(shù)

2 高溫極限T?θr下的積分計算方法

1）因為Δl=1，所以Δx→0；

2）令dx→0，使得dy→0.

前者屬于實際情況，后者屬于數(shù)學(xué)上的等價處理.可見，分這樣兩個積分步驟要比文獻(xiàn)［3-6］中直接用dl(2l+1)代替(2l+1)、文獻(xiàn)［1-2］中直接設(shè)更容易接受！能夠消除讀者在微積分認(rèn)識上的疑慮.

當(dāng)然，積分是求和的極限，是一種理想化的計算方法，它與實際求和結(jié)果之間的誤差總是有的，如前面所言，之間的差別正體現(xiàn)了這種誤差的存在.不過，由于在高溫極限T?θr下l的有效取值范圍很大（理論上是0→∞），加上指數(shù)衰減因子的共同影響，最終使得積分與求和結(jié)果之間的誤差其實很小，而且?guī)缀跏且粋€與溫度T無關(guān)的常數(shù).數(shù)值計算結(jié)果顯示：若T θr（即積分結(jié)果）分別取10、100、1 000時，的嚴(yán)格求和結(jié)果即式（1）則分別為10.340、100.334、 1 000.333.見表1.

表1 不同程度的高溫極限下的經(jīng)典積分與量子求和結(jié)果

表1 不同程度的高溫極限下的經(jīng)典積分與量子求和結(jié)果

θr∫0 Zr 1 =T Zr= 1∞e-ydy=T ∞θr T θr∑l=0(2l+1)e-l(l+1)10 100 1 000 10.340 100.334 1 000.333

由于多數(shù)雙原子分子的轉(zhuǎn)動特征溫度θr在幾至幾十K［1］，因此在常溫附近T θr取值大致在10～100左右.雖然表1是針對異核雙原子分子的配分函數(shù)值，但可以料想同核雙原子分子也應(yīng)具有類似情形，即在常溫附近，采用經(jīng)典積分計算代替量子求和計算所帶來的誤差很小，經(jīng)典的能量均分定理對大多數(shù)雙原子分子的轉(zhuǎn)動自由度應(yīng)完全適用.

3 一種謬誤

有人給出如下的求和轉(zhuǎn)化為積分的方案.為服從“微積分規(guī)則”，可作如下變形：

4 對謬誤的批判

在通常的高溫極限（見表1）T?θr下，式(7)的第二項并不能忽略，從表1所給的求和數(shù)據(jù)可以清楚地看出這一點，因此式(7)顯然是錯誤的.式(4)中兩個求和的數(shù)值計算結(jié)果顯示：式（7）的第二項是正確的，第一項則是錯誤的，即式(4)的第二個求和轉(zhuǎn)為積分沒有問題，而第一個則有問題.問題出在哪兒？下面將從兩個角度說明.

4.1 從定積分定義的角度分析

圖1 不能轉(zhuǎn)化為積分的求和示意圖

圖2 可轉(zhuǎn)化為積分的求和示意圖（Δy→0）

由微積分知識知，當(dāng)自變量x的區(qū)間Δx→0時，Δx可以寫成dx；函數(shù) f(x)的微分df=f′(x)dx實際上只是函數(shù)增加量Δf的泰勒展開級數(shù)的第一項，即零級近似，只有在Δf→0時兩者才嚴(yán)格相等；導(dǎo)數(shù)也稱微商，實際是兩個微分之商.其幾何意義是函數(shù) f(x)曲線切線的斜率；積分∫df=∫f′(x)dx實際是對微分式df=f′(x)dx兩邊求和；而復(fù)合函數(shù) f[φ(x)]的微分式則體現(xiàn)了諸微分之間的變換.倘若將其中某一個dφ改作Δφ，譬如改作，則含義將完全不同，原來的微分式將不再成立，除非Δφ嚴(yán)格地趨向于0.

鑒于在前面的證明過程中“在高溫極限T?θr下令dl=1”這種處理方式確實可行.這樣便有

將式（8）代入式（4），消去右邊第2項后得

5 結(jié)論

求和轉(zhuǎn)化為定積分的必要條件是積分變量x的每個子區(qū)間Δxi（或dx）必須一致地趨向于0.本文中所經(jīng)歷的兩個積分步驟即式（2）和式（3）可被認(rèn)為滿足了該定積分條件，積分結(jié)果也與嚴(yán)格的求和結(jié)果相符.由此可見，現(xiàn)行的《統(tǒng)計物理學(xué)》教材中對異核雙原子分子轉(zhuǎn)動自由度的配分函數(shù)取高溫極限時所采用的計算方法本質(zhì)上是符合定積分及微分法則的，是正確的，只是未能細(xì)加闡述，留下了一點缺憾.至于本文所介紹的這種謬誤，其根源在于對微積分知識認(rèn)識上的不足.由于這種錯誤具有隱蔽性、基本性和普遍性，因此在科研領(lǐng)域很有可能會經(jīng)常發(fā)生，造成不該有的損失.從這個意義上說，本文在數(shù)學(xué)處理方面的借鑒意義，甚至大于物理知識本身.

［1］汪志誠.熱力學(xué)·統(tǒng)計物理［M］.5版.北京：高等教育出版社，2013：209.

［2］鐘云霄.熱力學(xué)與統(tǒng)計物理［M］.北京：科學(xué)出版社，1988：176.

［3］馬本堃，高尚惠，孫煜.熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)［M］.2版.北京：高等教育出版社，1995：235.

［4］龔昌德.熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1982：203.

［5］蘇汝鏗.統(tǒng)計物理學(xué)［M］.2版.北京：高等教育出版社，2004：180.

［6］胡承正.熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2009：130.

Proof and a Fallacy Analysis of the Integral Formula of the Rotational Partition Function of Heteronuclear Diatomic Molecules in the High Temperature Limit

SHAO Yun
（School of Electronic Engineering，Nanjing Xiaozhuang College，211171，Nanjing，Jiangsu，China）

In the current textbooks of statistical physics，there has a unified calculation method on rotational partition function of the heteronuclear diatomic molecules from the summation form into the integral form at high temperatures.However，many teachers and students are suspicious of the method，even someone comes up with a kind of specious calculation method.This paper will provide necessary analysis and evidence on the calculation method in the textbooks according to the definition of calculus，and somebody′s misunder?standing will also be corrected.

heteronuclear diatomic molecule；rotational partition function；high temperature limit

O 561

A

2095-0691（2016）04-0056-05

2016-06-20

邵 云（1973- ），男，江蘇鎮(zhèn)江人，講師，研究方向：理論物理.