吳書韜，梁 峰

（安徽師范大學 數(shù)學計算機科學學院，安徽 蕪湖 241003）

一類具時滯和比率依賴的捕食-食餌模型2個周期解存在性

吳書韜，梁 峰

（安徽師范大學 數(shù)學計算機科學學院，安徽 蕪湖 241003）

研究一類帶有HollingIII型反應函數(shù)的捕食-食餌模型

周期解；Mawhin重合度拓展定理；時滯；捕食-食餌模型；比率依賴

0 引言

由于捕食和食餌的普遍存在性和重要性，它們之間的動態(tài)平衡問題一直是生態(tài)學和數(shù)學生態(tài)學中一個重要研究課題.前些年，傳統(tǒng)捕食-食餌模型被廣泛研究［1-3］.現(xiàn)階段，由文獻［4-6］知，存在更直接的生物學和生理學證據(jù)，其表明在許多情形下，尤其是捕食者之間不得不存在競爭或分享食物時，應該在基于比率的情形下，建立一個更具一般性的捕食-食餌模型［7-8］.許多研究者已經(jīng)研究帶有或不帶時滯的基于比率依賴的捕食-食餌模型，并且研究了它們的動力學性質(zhì)［9-19］.

鑒于實際問題的周期性，文獻［18］研究了帶有時滯和基于比率的捕食-食餌模型的周期解存在問題：

在（1）式中加入HollingIII反應函數(shù)，文獻［19］研究了具有時滯和HollingIII型基于比率的捕食-食餌模型的周期解問題：

然而，對此類系統(tǒng)的帶有2個周期解存在性的研究結(jié)果相對較少.

受以上研究結(jié)果啟發(fā)，在本文中，我們研究具有時滯和HollingIII型基于比率的捕食-食餌模型的2個周期解存在性問題：

在這里，a,b,c1,c2，r1，r2，τ1，τ2是周期為T的連續(xù)非負周期函數(shù)，m＞0，K(s):R+→R+是可測函數(shù)，且滿足.這里r1(t)代表食餌的內(nèi)稟增長率，m代表半捕捉飽和常數(shù)，r2(t)代表捕食者死亡率，c1(t)和c2(t)代表轉(zhuǎn)化率；函數(shù)代表在沒有捕食者時食餌的比生長速率；x2(t)/(m2y2(t)+x2(t))代表捕食者反應函數(shù)（反映了捕食者的捕食能力）.運用Mawhin重合度拓展定理［20］，本文證明系統(tǒng)（3）存在2個正周期解.

1 周期解的存在性

令X，Y是Banach空間，L:Dom L?X→Y是線性映射，N:X→Y是一個連續(xù)映射.如果L為指標為零的Fredholm映射且存在連續(xù)投影P:X→X，及Q:Y→Y使得Im P=Ker L，Ker Q=Im L=Im(I-Q)，則L|DomL?KerP:(I-P)X→Im L是可逆的.設(shè)其逆映射為 Kp.如果 Ω是 X中的有界開集，有界且Kp(I-Q):是緊的,則稱 N在是 L-緊的.由于 Im Q與 Ker L同構(gòu)，故存在同構(gòu)映射J:Im Q→Ker L.下面的Mawhin重合度拓展定理是證明本文結(jié)論的主要工具.

2 例子

例1 在系統(tǒng)（3）中，令

則可得

那么可驗證（h1）和（h2）成立.因此，由定理1，可知系統(tǒng)（3）至少有2個不同的正周期解.

注2 由于只有相對較少的文獻考慮具有時滯和HollingIII型基于比率的捕食-食餌模型的多個周期解問題，所以本文結(jié)果相對來說是較為新穎的.

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Existence of Two Periodic Solutions for a Generalized Delayed Ratio-dependent Predator-prey Model with Holling Type III Functional Response

WU Shutao，LIANG Feng
（School of Mathematics and Computer，Anhui Normal University，241003，Wuhu，Anhui，China）

periodic solutions；Mawhin′s continuation theorem；delay；predator-prey model；ratio-dependent.

O 175

A

2095-0691（2016）04-0015-07

2016-04-11

安徽省自然科學基金項目（1308085MA08）

吳書韜（1991- ），男，安徽安慶人，碩士，研究方向：泛函微分方程.通信作者：梁峰（1974-），男，安徽太和人，博士，副教授，研究方向：微分方程理論及應用.

運用重合度拓展定理，證明其存在2個正周期解.并舉一個實例驗證結(jié)論的可行性.