謝 娟，蘇守寶，汪繼文

1.安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，合肥 230601

2.金陵科技學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，南京 211169

3.安徽大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，合肥 230601

近似梯度引導(dǎo)的人工蜂群搜索策略*

謝 娟1，蘇守寶2+，汪繼文3

1.安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，合肥 230601

2.金陵科技學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，南京 211169

3.安徽大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，合肥 230601

XIE Juan,SU Shoubao,WANG Jiwen.Search strategy of artificial bee colony algorithm guided by approximate gradient.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology 2016,10(12)：1773-1782.

針對(duì)人工蜂群算法自身存在的局部搜索能力較差，收斂較慢，易受到局部最優(yōu)束縛的問(wèn)題，在種群搜索過(guò)程中引入梯度信息，并利用中心差分格式對(duì)梯度做近似處理，提出了一種基于種群的梯度搜索策略，并用于人工蜂群算法采蜜蜂階段的搜索，提高算法的局部搜索能力。同時(shí)，偵察蜂采用了全局隨機(jī)搜索策略，以避免在解決多峰問(wèn)題時(shí)，由于快速收斂而導(dǎo)致的早熟現(xiàn)象。在6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種新的搜索機(jī)制在局部求解與全局探索之間取得了較好的平衡，使得改進(jìn)后的算法在不同類型問(wèn)題上的優(yōu)化能力有了明顯改善。

人工蜂群算法；近似梯度；局部搜索；合作與共享

1 引言

人工蜂群算法（artificial bee colony algorithm，ABC）是由土耳其學(xué)者Karaboga于2005年提出的一種基于蜂群智能行為的啟發(fā)式優(yōu)化算法[1]。ABC算法通過(guò)對(duì)蜂群個(gè)體之間在覓食過(guò)程中的勞動(dòng)分工以及不同個(gè)體之間的信息共享機(jī)制——搖擺舞的模擬來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)最優(yōu)蜜源的選取。整個(gè)蜂群由采蜜蜂、觀察蜂和偵察蜂3種類型的蜜蜂組成。采蜜蜂負(fù)責(zé)對(duì)巢穴周圍的蜜源進(jìn)行開(kāi)采，記錄每個(gè)蜜源的含密量及與巢穴的距離，通過(guò)搖擺舞的方式與巢穴周圍的觀察蜂共享蜜源信息，進(jìn)而招募更多的觀察蜂前去開(kāi)采，以期發(fā)現(xiàn)更優(yōu)質(zhì)蜜源；在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間開(kāi)采后，有些蜜源的質(zhì)量無(wú)法得到進(jìn)一步提高，則該蜜源將被拋棄，對(duì)應(yīng)的采蜜蜂轉(zhuǎn)變?yōu)閭刹旆?，重新選擇新的蜜源繼續(xù)進(jìn)行開(kāi)采。相對(duì)于其他的群智能優(yōu)化算法，ABC算法能夠在局部搜索和全局探測(cè)之間做到較好的平衡，有效增加發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解的可能性，同時(shí)具有模型簡(jiǎn)單，參數(shù)少，易于理解，魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)[2]，近年來(lái)受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并且在函數(shù)優(yōu)化[3-4]、聚類分析[5]、圖像處理[6-7]、負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度[8-9]等多個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

在基本ABC算法中，采蜜蜂和偵察蜂負(fù)責(zé)在整個(gè)搜索范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)潛在最優(yōu)解，即全局探測(cè)；而觀察蜂是在“獲取”采蜜蜂所共享的信息后，受優(yōu)質(zhì)蜜源的“招募”，對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步開(kāi)采以提高最優(yōu)解的質(zhì)量，即局部搜索。ABC算法中的這種勞動(dòng)分工機(jī)制導(dǎo)致了算法的局部搜索能力較弱，收斂較慢，尤其在解決多峰優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，易出現(xiàn)早熟現(xiàn)象[10-11]。針對(duì)上述問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了不同的改進(jìn)策略以提高其局部搜索能力，促進(jìn)算法的全局優(yōu)化能力的提升。Zhu等人將當(dāng)前全局最優(yōu)解引入ABC算法的搜索策略中，提出GABC（Gbest-guided ABC）算法，在當(dāng)前全局最優(yōu)解的引導(dǎo)下，整個(gè)蜂群快速向其聚集，提高了算法的局部搜索能力和收斂速度[11]。Gao等人將差分進(jìn)化的思想引入到ABC算法的搜索策略中，同時(shí)在種群的初始化中利用混沌及反向?qū)W習(xí)技術(shù)以提高種群初始化質(zhì)量，提出了ABC/best/1和ABC/best/2算法[3]。然而，無(wú)論是GABC還是ABC/ best/1、ABC/best/2算法，其相似之處都在于將當(dāng)前全局最優(yōu)解引入蜜源的搜索策略，在優(yōu)化過(guò)程中容易出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象，這一點(diǎn)在多峰問(wèn)題中尤為明顯。由于單一的搜索策略難以克服復(fù)雜多變的優(yōu)化問(wèn)題，Kiran等人集成了具有不同特征的搜索方程，針對(duì)不同類型的優(yōu)化問(wèn)題選擇相應(yīng)的搜索策略，提高解的質(zhì)量和算法的魯棒性[12]。然而，為了選擇較好的搜索策略，需要對(duì)候選解的質(zhì)量進(jìn)行多次評(píng)價(jià)，增加了時(shí)間開(kāi)銷。韓建權(quán)等人將基于當(dāng)前最優(yōu)解的混沌局部搜索策略和基于當(dāng)前最優(yōu)解的自適應(yīng)偵查策略分別用于觀察蜂和偵察蜂的搜索策略，提高了人工蜂群算法的局部搜索能力，有效地避免了其陷入局部最優(yōu)[13]。此外，其他學(xué)者也在此方面做了卓有成效的改進(jìn)研究工作[14-17]，詳細(xì)的內(nèi)容可以參考最近國(guó)內(nèi)外關(guān)于ABC算法的文獻(xiàn)綜述[18-19]。

梯度信息往往給出了其方向?qū)?shù)在某點(diǎn)處取極值的方向，將其與其他智能優(yōu)化算法結(jié)合，如差分進(jìn)化[20]、遺傳算法[21]，提高了算法的優(yōu)化能力。然而，可微性的要求限制了梯度信息在優(yōu)化算法中的廣泛應(yīng)用。Kuo等人在2015年提出了一種新的基于種群的梯度進(jìn)化優(yōu)化算法（gradient evolution，GE）[22]。受GE算法的啟發(fā)，本文將近似梯度的計(jì)算方法引入采蜜蜂階段的搜索，提出了一種基于梯度信息的人工蜂群算法（gradient based artificial bee colony algorithm，GdABC），以改進(jìn)ABC算法的局部搜索能力，提高算法的優(yōu)化性能。其優(yōu)勢(shì)在于利用梯度具有方向性的特點(diǎn)，“引導(dǎo)”個(gè)體提高自身的局部搜索性能，從而進(jìn)一步提高算法的局部搜索能力和收斂速度。

2 基本的人工蜂群算法

在ABC算法中，每一個(gè)蜜源表示優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)可行解，通常用一個(gè)D維向量xi表示：

其中NP為種群大小。蜜源（可行解）的優(yōu)劣用適應(yīng)度函數(shù)Fitness表示；參數(shù)trial記錄了每個(gè)蜜源沒(méi)有得到更新的次數(shù)；Limit給出了每個(gè)蜜源最多被更新的次數(shù)上限。一旦蜜源相應(yīng)的trial值超過(guò)Limit，該蜜源將被拋棄。算法在種群初始化后，通過(guò)采蜜蜂、觀察蜂和偵察蜂3個(gè)階段的相互合作，反復(fù)迭代直至滿足迭代終止條件為止。下面從采蜜蜂、觀察蜂和偵察蜂3個(gè)階段概述基本ABC算法。

ABC算法首選在整個(gè)搜索空間內(nèi)初始化NP個(gè)蜜源xi，每個(gè)蜜源用一個(gè)D維向量表示。為每個(gè)蜜源xi分配一個(gè)采蜜蜂，依據(jù)策略（2）在其鄰域內(nèi)生成新的候選解vi：

其中k∈[1,2,…,NP],k≠i，j∈[1,2,…,D]。評(píng)估兩個(gè)蜜源的適應(yīng)度值，采用貪婪選擇機(jī)制，如果新的蜜源vi的適應(yīng)度優(yōu)于原有蜜源xi，則更新xi，triali置0；否則保留原有蜜源xi，triali加1。在所有采蜜蜂完成搜索之后返回信息共享區(qū)域，計(jì)算每個(gè)蜜源的適應(yīng)度在所有蜜源中的百分比，如式（3）所示：

巢穴附近的觀察蜂根據(jù)采蜜蜂所共享的蜜源信息（3），采用輪盤賭的方式選擇相應(yīng)蜜源，即采蜜蜂所在蜜源的適應(yīng)度百分比越高，能招募到更多的觀察蜂。觀察蜂被招募之后，進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)椴擅鄯?，仍然依?jù)策略（2）在其鄰域內(nèi)進(jìn)行搜索。

當(dāng)每個(gè)蜜源的triali超過(guò)能夠被評(píng)估的上限值Limit而解的質(zhì)量仍未提高，則該蜜源將被拋棄，采蜜蜂轉(zhuǎn)變?yōu)閭刹旆洌词剑?）在搜索空間內(nèi)重新生成新的蜜源。

其中xjmin、xjmax分別為第 j維方向上的最小和最大值。ABC算法的邏輯框架如下所示：

3 近似梯度引導(dǎo)下的人工蜂群算法

梯度能夠引導(dǎo)算法的搜索快速指向可行解區(qū)域，有效地提高收斂速度。受GE算法的啟發(fā)[22]，本文在ABC算法的采蜜蜂階段引入梯度信息，提出基于梯度信息的采蜜蜂局部搜索策略。

采蜜蜂階段的更新策略使個(gè)體從當(dāng)前位置xt移動(dòng)到下一個(gè)可能的位置xt+1(xt+1=xt+Δx)，優(yōu)化函數(shù)f(x)在x+Δx處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為：

對(duì)式（5）兩邊取一階導(dǎo)數(shù)，則有：

假設(shè)x+Δx處存在極值點(diǎn)，則 f′(x+Δx)=0，代入式（6）得：

利用牛頓-拉夫遜方法推導(dǎo)出下一個(gè)可能的位置xt+1可以表示為：

由中心差分公式對(duì) f(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)做近似處理，最終可得對(duì)式（8）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的中心差分格式：

在采蜜蜂的搜索策略中，將梯度信息作為引導(dǎo)蜜源的移動(dòng)方向，采用類似式的搜索方程[22]。然而，由于ABC算法是一個(gè)基于種群的搜索算法，直接采用式（9）會(huì)額外增加目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算，影響優(yōu)化算法的效率，增加計(jì)算時(shí)間。因此在式（9）的基礎(chǔ)上，結(jié)合GE算法的思想，給出適應(yīng)于ABC算法搜索策略的梯度引導(dǎo)規(guī)則，主要包括以下幾個(gè)方面（以最小化問(wèn)題為例）：

在更新蜜源后，根據(jù)采蜜蜂所攜帶的蜜源信息招募觀察蜂前往開(kāi)采，仍然采用基本ABC算法中的更新規(guī)則（2）。當(dāng)蜜源沒(méi)有被更新的次數(shù)trial超過(guò)Limit，蜜源將被拋棄，重新按照式（4）生成新的蜜源。綜上所述，本文提出的GdABC算法的邏輯框架如下所示：

4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，選擇了經(jīng)典的6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)來(lái)驗(yàn)證本文GdABC算法與基本ABC算法、GABC算法[11]在收斂精度、收斂速度等方面的比較。

4.1 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

本文采用的6個(gè)基本測(cè)試函數(shù)如表1所示。

Table 1 Benchmark functions表1 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

表1所給出的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)同時(shí)也是在其他文獻(xiàn)中被廣泛引用的[13,23]，F(xiàn)1～F6分別表示Sphere、Step、Schwefel、Rastrigin、Griewank和Rosenbrock測(cè)試函數(shù)。表1同時(shí)也給出了每個(gè)函數(shù)的類型：“U”表示僅有一個(gè)極值的單峰函數(shù)，主要用于對(duì)算法的收斂精度及速度的驗(yàn)證；“M”表示存在多個(gè)極值的多峰函數(shù)，用于對(duì)算法的全局優(yōu)化能力的驗(yàn)證；此外，“S”、“N”分別表示優(yōu)化函數(shù)的可分和不可分性。

4.2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置及實(shí)驗(yàn)步驟

為了使實(shí)驗(yàn)的比較盡可能公平，本文采用了Karaboga在其網(wǎng)站公開(kāi)的ABC算法的源碼（http:// mf.erciyes.edu.tr/abc/publ.htm）。同時(shí)，作者對(duì)文獻(xiàn)[11]提出的GABC算法重新編碼，并依據(jù)文獻(xiàn)中參數(shù)設(shè)置進(jìn)行了驗(yàn)證。下面的實(shí)驗(yàn)中統(tǒng)一采用如下參數(shù)配置：種群大小為100，其中采蜜蜂和偵察蜂的數(shù)量各為50，參數(shù)Limit為100，以最大迭代次數(shù)作為循環(huán)終止條件。

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

仿真實(shí)驗(yàn)在30維，最大迭代次數(shù)1 000和60維，最大迭代次數(shù)3 000兩種情況下分別獨(dú)立運(yùn)行30次。同時(shí)，采用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，在置信水平為0.05時(shí)，對(duì)算法均值之間的顯著性差異進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。表2和表3分別記錄了每個(gè)算法在不同維數(shù)下的最優(yōu)值、最差值、均值、方差及顯著性差異。其中，在所比較的兩個(gè)算法的sign值中，“+”表示前者與后者之間的差異顯著，“－”表示兩者差異不顯著。圖1～圖12分別給出了3種算法（GdABC、GABC和ABC）在30維（圖1～圖6）和60維（圖7～圖12）下對(duì)6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的收斂曲線。

由上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出如下結(jié)論：從收斂精度上看，由于GdABC算法利用梯度信息引導(dǎo)采蜜蜂的搜索，提高了算法的局部搜索能力。30次獨(dú)立運(yùn)行所得均值在30維情況下，GdABC算法在函數(shù)F1、F3、F4、F5的結(jié)果均優(yōu)于其他兩種算法，F(xiàn)2和F6上的結(jié)果不低于其他兩種算法；在60維情況下，GdABC算法均優(yōu)于其他算法。在0.05置信水平的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果亦表明GdABC算法在F1～F5上相對(duì)其他兩種算法均表現(xiàn)出顯著的差異性，而在F6上差異性不明顯，這與本文的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的。

同時(shí)，由于偵察蜂仍采取全局隨機(jī)搜索策略，在一定程度上減少了算法在優(yōu)化多峰問(wèn)題早熟的風(fēng)險(xiǎn)。此外，在收斂速度上看，圖1～圖12的收斂曲線反映出GdABC算法的收斂速度明顯優(yōu)于其他兩種算法。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)基本ABC算法本身存在的局部搜索能力較弱，收斂較慢的問(wèn)題，將梯度信息引入采蜜蜂的搜索策略中，并采用中心差分公式對(duì)梯度做近似處理，提

高了算法的局部搜索能力。同時(shí)偵察蜂仍然采取隨機(jī)的全局搜索策略，以保證算法仍具備較強(qiáng)的全局搜索能力。對(duì)6個(gè)典型標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，GdABC算法能夠較快地發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解，同時(shí)避免了多峰優(yōu)化問(wèn)題時(shí)易陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)，整體優(yōu)化性能有了較明顯提高。

Table 2 Experiment results on three algorithms（Dim=30,Maxiteration=1 000）表2 3種算法在30維最大迭代1 000次下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

Table 3 Experiment results on three algorithms（Dim=60,Maxiteration=3 000）表3 3種算法在60維最大迭代3 000次下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

Fig.1 Convergent curve of Sphere function in 30 dimensions圖1 Sphere函數(shù)在30維時(shí)的收斂曲線

Fig.2 Convergent curve of Step function in 30 dimensions圖2 Step函數(shù)在30維時(shí)的收斂曲線

Fig.3 Convergent curve of Schwefel function in 30 dimensions圖3 Schwefel函數(shù)在30維時(shí)的收斂曲線

Fig.4 Convergent curve of Rastrigin function in 30 dimensions圖4 Rastrigin函數(shù)在30維時(shí)的收斂曲線

Fig.5 Convergent curve of Griewank function in 30 dimensions圖5 Griewank函數(shù)在30維時(shí)的收斂曲線

Fig.6 Convergent curve of Rosenbrock function in 30 dimensions圖6 Rosenbrock函數(shù)在30維時(shí)的收斂曲線

Fig.7 Convergent curve of Sphere function in 60 dimensions圖7 Sphere函數(shù)在60維時(shí)的收斂曲線

Fig.8 Convergent curve of Step function in 60 dimensions圖8 Step函數(shù)在60維時(shí)的收斂曲線

Fig.9 Convergent curve of Schwefel function in 60 dimensions圖9 Schwefel函數(shù)在60維時(shí)的收斂曲線

Fig.10 Convergent curve of Rastrigin function in 60 dimensions圖10 Rastrigin函數(shù)在60維時(shí)的收斂曲線

Fig.11 Convergent curve of Griewank function in 60 dimensions圖11 Griewank函數(shù)在60維時(shí)的收斂曲線

Fig.12 Convergent curve of Rosenbrock function in 60 dimensions圖12 Rosenbrock函數(shù)在60維時(shí)的收斂曲線

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[23]曹春紅,許光星.基于改進(jìn)人工蜂群算法的幾何約束求解[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)與探索,2015,9(9):1122-1131.

XIE Juan was born in 1980.She received the M.S.degree from Anhui University in 2007.Now she is an associate professor at Anhui Jianzhu University.Her research interests include intelligent optimization algorithm,evolutionary computing and machine learning,etc.

謝娟（1980—），女，安徽淮北人，2007年于安徽大學(xué)獲得碩士學(xué)位，現(xiàn)為安徽建筑大學(xué)副教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)橹悄軆?yōu)化算法，進(jìn)化計(jì)算，機(jī)器學(xué)習(xí)等。

SU Shoubao was born in 1965.He received the Ph.D.degree from Anhui University in 2009.Now he is a professor and M.S.supervisor at Jinling Institute of Technology,and the senior member of CCF.His research interests include swarm intelligence,big data computing and embedded control optimization,etc.

蘇守寶（1965—），男，安徽六安人，2009年于安徽大學(xué)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為金陵科技學(xué)院教授、碩士生導(dǎo)師，CCF高級(jí)會(huì)員，主要研究領(lǐng)域?yàn)槿褐悄?，大?shù)據(jù)計(jì)算，嵌入式控制優(yōu)化等。

WANG Jiwen was born in 1958.He received the Ph.D.degree from University of Science and Technology of China in 2001.Now he is a professor and Ph.D.supervisor at Anhui University.His research interests include intelligent computing and machine learning,etc.

汪繼文（1958—），男，安徽宿松人，2001年于中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為安徽大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)橹悄苡?jì)算，機(jī)器學(xué)習(xí)等。

Search Strategy of Artificial Bee Colony Algorithm Guided by Approximate Gradient*

XIE Juan1,SU Shoubao2+,WANG Jiwen3
1.School of Mathematics&Physics,Anhui Jianzhu University,Hefei 230601,China
2.School of Computer,Jinling Institute of Technology,Nanjing 211169,China
3.School of Computer Science&Technology,Anhui University,Hefei 230601,China
+Corresponding author:E-mail:showbo@jit.edu.cn

To solve the problems of inferior local search ability,slow convergence and easily trapping into the local optimization existing in the artificial bee colony algorithm,this paper proposes a gradient search strategy based on population by introducing gradient information and using central difference schemes for gradient approximation processing.The novel search strategy used by employed bees improves the local search ability while the scout bees still employ global random searching strategy to avoid premature phenomenon led by fast convergence in solving multimodal problems.Simulation results in six standard test functions show that the proposed searching mechanism gives a good balance between local solution and global exploration and improves the optimization ability of differentkinds of optimization problems.

artificial bee colony algorithm;approximate gradient;local search;cooperation and sharing

10.3778/j.issn.1673-9418.1601072

A

TP301.6

*The National Natural Science Foundation of China under Grant No.61375121(國(guó)家自然科學(xué)基金);the Provincial Projects of Natural Science for Anhui Universities under Grant No.KJ2013A009(安徽高校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目);the Doctoral Scientific Research Foundation of Anhui University(安徽大學(xué)博士啟動(dòng)基金);the Scientific Research Program for Introducing Talents of Jinling Institute of Technology under Grant No.jit-rcyj-201505(金科院引進(jìn)人才科研項(xiàng)目).

Received 2016-01,Accepted 2016-04.

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2016-04-01,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160401.1614.006.html