鮑炎紅

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥230601)

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Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論解析方法的難點(diǎn)分解

鮑炎紅

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥230601)

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論是線性代數(shù)中的核心內(nèi)容之一. 運(yùn)用解析方法證明Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的存在性也是線性代數(shù)的教學(xué)難點(diǎn). 結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，通過分析其數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，對Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的解析方法進(jìn)行難點(diǎn)分解.

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形； 不變子空間； 根子空間； 循環(huán)子空間

1 引 言

相似標(biāo)準(zhǔn)形理論是線性代數(shù)中最精彩也是最深刻的部分，同時(shí)也是整個(gè)線性代數(shù)中最難掌握的部分. 一般精彩的數(shù)學(xué)理論往往都是自然的數(shù)學(xué)思想與精妙的數(shù)學(xué)方法技巧的結(jié)合. 無論是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維還是具體知識(shí)記憶，學(xué)生能體會(huì)這一數(shù)學(xué)思想的自然性更為重要. 一旦體會(huì)到這種自然性，首先就有了整體上的把握，思路也就變得清晰；其次在具體實(shí)現(xiàn)過程中，都會(huì)感覺到每一步也都充滿著某種“必然性”.

diag(J(λ1,m1),J(λ2,m2),…,J(λs,ms))，

其中J(λi,mi) (i=1,2,…,s)為mi階Jordan塊矩陣

傳統(tǒng)教材上Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論證明的方法多數(shù)采用λ-矩陣[1, 2]和解析方法[2, 3]. 在后續(xù)教學(xué)研究過程中，也不斷有一些新方法出現(xiàn)[4, 5, 6]. 但在實(shí)際教學(xué)過程中，大多數(shù)高校都只講授λ-矩陣的方法，即尋找矩陣相似關(guān)系的全系不變量， 并利用這些全系不變量直接構(gòu)造Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 該方法易于直接計(jì)算線性變換的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，但繞開了對應(yīng)的基與過渡矩陣. 因此對應(yīng)的過渡矩陣需要另行計(jì)算[7, 8]，而且不容易理解Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣對應(yīng)基的幾何意義. 而解析法是從空間分解入手，通過尋找合適的基，使得線性變換在該組基下的矩陣恰為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 這一方法的難點(diǎn)主要在于需要引入很多的抽象概念，如根子空間、循環(huán)子空間等. 一般初學(xué)者都難以理解為什么要這樣做，每一步又是怎樣做的. 在實(shí)踐教學(xué)過程中，我們從介紹不變子空間開始，就以Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為“終極目標(biāo)”，逐步介紹這些概念如何運(yùn)用到Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論中，從而起到目標(biāo)明確，難點(diǎn)分解的效果.

本文只介紹Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論解析方法的基本思想與基本方法，相關(guān)結(jié)論的證明詳見教材[1, 2, 3]，在此不再贅述.

2 不變子空間與空間分解

設(shè)A為復(fù)線性空間V上的一個(gè)線性變換. 往往整個(gè)空間V上的線性變換比較復(fù)雜，難以把握. 一個(gè)自然的想法就是“化整為零”，即考慮V的子空間. 設(shè)W為V的子空間，我們自然希望A能直接給出子空間W上的線性變換，即A將W中的向量仍送到W中，即對任意α∈W，都有A(α)∈W. 這就引入了不變子空間的概念. 將A自然誘導(dǎo)的W上線性變換記為A|W，稱為A在其不變子空間W上的限制，即對任意α∈W,A|W(α)=A(α).

若能將V分解成若干個(gè)A的不變子空間的直和， 即存在A的不變子空間W1,W2,…,Ws，使得

V=W1⊕W2⊕…⊕Ws.

再對于每一個(gè)i, 選取Wi的一組基αi1,αi2,…,αiri,設(shè)A|Wi在該基下的矩陣為Ai，則α11,…,α1ri,…,αs1,…,αsrs構(gòu)成V的一組基，且A在該基下的矩陣為

diag(A1,A2,…,As).

此時(shí)，也可將線性變換A寫成

A=A|W1⊕A|W2⊕…⊕A|Ws.

相似標(biāo)準(zhǔn)形理論解析方法的基本思想是“化整為零，各個(gè)擊破”. 具體來說，是分成兩步來完成：

第一步，將V分解成若干個(gè)A的不變子空間的直和，

V=W1⊕W2⊕…⊕Ws.

使得A在每個(gè)不變子空間上的限制A|Wi都具有非常好的性質(zhì).

第二步，對于每個(gè)A的不變子空間Wi，選取合適的基，使得A|Wi在該基下的矩陣具有最好的形式.

剩下的就是數(shù)學(xué)方法與技巧的事情了. 事實(shí)上，這里也充滿著很多“必然性”. 在本節(jié)，我們還需要介紹構(gòu)造A的不變子空間的兩種重要方法.

(i) 由向量組生成的不變子空間. 設(shè)S?V，則V中包含S的最小的A的不變子空間，稱為由S生成的A的不變子空間. 特別地，設(shè)C(α)為由一個(gè)向量α生成的不變子空間，稱為循環(huán)子空間，即

C(α)=L(α,A(α),…,Ak(α),…).

此處，我們應(yīng)注意到V是有限維線性空間，因此，存在充分大的k，使得

C(α)=L(α,A(α),…,Ak(α)).

詳見教材[3]定義7.3.1.

(ii) 可交換的兩個(gè)線性變換相互給出不變子空間. 設(shè)A,B為V上線性變換，且AB=BA，則KerB,ImB均為A的不變子空間. 特別地，任取多項(xiàng)式f(x)∈[x]，f(A)與都是可交換的，因此Kerf(A),Imf(A)都是A的不變子空間.

3 可對角化的線性變換

設(shè)A為n維線性空間V上的線性變換. 按照空間分解理論，最理想的情況，也是分解最徹底的情況，就是整個(gè)線性空間A可以分解成n個(gè)1維不變子空間的直和，即

V=W1⊕W2⊕…⊕Wn,

其中Wi=L(αi)為A的1維不變子空間. 據(jù)此，我們可引入特征值與特征向量的概念. 上述最理想情況的等價(jià)描述為A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量α1,α2,…,αn.此時(shí),A在基α1,α2,…,αn下的矩陣為

diag(λ1,λ2,…,λn),

其中αi為A的屬于特征值λi的特征向量，i=1,2，…,n，稱A為可對角化線性變換.

在教學(xué)過程中，分析線性變換可對角化的各種條件也是教學(xué)重點(diǎn)之一.

4 冪零變換

除可對角化的線性變換外，冪零變換也是一類非常重要的線性變換. 今后我們會(huì)看到，任一個(gè)線性變換都可以寫成一個(gè)可對角化線性變換與一個(gè)冪零變換之和，分別稱為該線性變換的半單部分和冪零部分.

所謂冪零變換，是指存在正整數(shù)m，使得Am=0.若Am=0，且Am-1≠0，則稱A為m次冪零變換，m稱為A的冪零指數(shù). 針對冪零變換我們有如下重要結(jié)論.

引理4.1 設(shè)A為線性空間V上的的m1次冪零變換.因此存在α1∈V，使得Am1-1(α1)≠0.設(shè)C(α1)為向量α相對A生成的循環(huán)子空間.

(i)α1,A(α1),…,Am1-1(α1)為C(α1)的一組基，且A|C(α1)在基α1，A(α1),…,Am1-1(α1)為C(α1)下的矩陣為

(1)

(ii) 存在A的不變子空間V1，使得V=C(α1)⊕V1，且A|V1也是冪零變換，且冪零指數(shù)小于等于m1.

證明見教材[1]例4.5.7.

在引理4.1(ii)中，冪零變換A|V1的冪零指數(shù)m2≤m1.再用引理4.1可知，存在α2∈V1,使得α2,A(α2),…,Am2-1(α2)為C(α2)的一組基，A|C(α2)在該基下的矩陣也形如矩陣(1)，且存在A的不變子空間V2，使得

V1=C(α2)⊕V2.

再考慮A|V2，得到V2=C(α3)⊕V3，依次進(jìn)行分解. 因?yàn)閂是有限維的，所以必存在α1,α2,…,αk，使得

V=C(α1)⊕C(α2)⊕…⊕C(αk).

這樣就將V分解成若干個(gè)冪零變換的循環(huán)子空間的直和，且A在基

α1,A(α1),…,Am1-1(α1),…,αk,A(αk),…,Amk-1(αk)

下的矩陣為

(J(0,m1),J(0,m2),…,J(0,mk)).

5 根子空間與空間第一分解定理

數(shù)學(xué)中，從不同角度理解一個(gè)概念往往會(huì)得到很多意想不到的結(jié)果，有時(shí)只需要作一個(gè)簡單的變形.

回到線性變換最理想的情況，即可對角化線性變換. 線性變換A可對角化的一個(gè)等價(jià)條件是

V=Vλ1⊕Vλ2⊕…⊕Vλs,

其中Vλi為A的屬于特征值λi的特征子空間，λ1,λ2,…,λs為A的所有兩兩不同的特征值. 對于一般的線性變換，只有“直和”，未必有“等號(hào)”，即

(2)

原因可以理解為某個(gè)或某幾個(gè)特征子空間“不夠大”. 于是一個(gè)自然的想法就是將這些“小了”的特征子空間擴(kuò)大為另一個(gè)較大的不變子空間，即所謂的根子空間，使得(2)式不僅還是直和，而且等號(hào)成立. 這里需要下面的引理.

引理5.1 設(shè)A為線性空間V上一個(gè)線性變換，則

KerA?KerA2?…?KerAk?…

且存在k，使得KerAk=KerAk+1=KerAk+2=….

如果換個(gè)角度來看特征子空間，即Vλ0=Ker(A-λ0Z)，其中λ0為A的特征值，Z為V上的恒等變換.則不難想到可將特征子空間按照引理5.1的方式來擴(kuò)大，即考慮Ker(A-λ0Z)k，其中k為一充分大的正整數(shù)，記為Wλi，稱為A的屬于特征值λ0的根子空間.

為什么能這樣做？首先，因?yàn)?A-λ0Z)k是A的多項(xiàng)式，所以Wλ0=Ker(A-λ0Z)k一定是A的不變子空間；

其次，對每個(gè)Wλi, (A-λiZ)|Wλi=A|Wλi-λiZWλi都是冪零變換，正好可以利用上述對冪零變換的討論結(jié)果；

最后，可以驗(yàn)證Wλ1+Wλ2+…+Wλs的確是直和，且等于V.

定理5.2(空間第一分解定理) 設(shè)A為復(fù)線性空間V上的線性變換，λ1,…,λs為A的所有兩兩不同特征值，則

V=Wλ1⊕…⊕Wλs,

其中Wλi為A的屬于特征值λi的根子空間，i=1,…,s.

6 循環(huán)子空間與空間第二分解定理

有了空間第一分解定理，只需討論線性變換A在每個(gè)根子空間Wλ0上的限制即可. 注意到，A|Wλ0=(A-λ0Z)|Wλ0+λ0ZWλ0,其中Wλ0上的線性變換(A-λ0Z)|Wλ0恰為一個(gè)冪零變換, 而λ0ZWλ0為一個(gè)數(shù)乘變換. 于是可以利用前文對冪零變換的討論，直接給出如下結(jié)果.

定理6.1(空間第二分解定理) 設(shè)Wλ0為線性變換A屬于特征值λ0的根子空間， 則存在向量α1,…,αk，使得

Wλ0=C(α1)⊕C(α2)⊕…⊕C(αk),

其中C(αi)為由αi生成的相對A|Wα0-λ0ZWλ0的循環(huán)子空間，i=1,…,k.

上述分解中，按照引理4.1(i)，可以選取循環(huán)子空間C(αi)的基

αi, (A-λ0Z)(αi),…,(A-λ0Z)mi-1(αi)，

其中mi為(A-λ0Z)|C(αi)的冪零指數(shù)，即滿足(A-λ0Z)mi(αi)=0，但(A-λ0Z)mi-1(αi)≠0.將所有這些向量拼成Wλ0的一組基

α1(A-λ0Z)(αi)…,(A-λ0Z)mi-1(α1)，

…,

αk(A-λ0Z)(αi)…,(A-λ0Z)mk-1(αk)，

則A|Wλ0在該基下的矩陣為

diag(J(λ0,m1),…,J(λ0,mk)).

7 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形存在性定理

綜合空間第一、二分解定理, 線性空間V有如下直和分解

V=Wλ1⊕…⊕Wλs

=C(α11)⊕…⊕C(α1k1)⊕…⊕C(αs1)⊕…⊕C(αsks),

其中C(αij)為αij相對于A-λiZ生成的循環(huán)空間.設(shè)(A-λiZ)|C(αij)的冪零指數(shù)為mij，則A在V的基

α11,(A-λ1Z)(α11),…,(A-λ1Z)m11-1(α11)

…,

α1k1,(A-λ1Z)(α1k1),…,(A-λ1Z)m1k1-1(α1k1)

…,

αs1,(A-λsZ)(αs1),…,(A-λsZ)ms1-1(αs1)

…,

αsks,(A-λsZ)(αsks),…,(A-λsZ)msks-1(αsks)

下的矩陣為

diag(J(λ1,m11),…,J(λ1,m1k1)，…，J(λs,ms1)，…，J(λs,msks)).

最后，給出從Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中直接讀出的不變量.若

mi1≥…≥miki≥1,i=1,…,s.

則

(i)A的全部特征值為λ1,…,λs；

(v)特征值λi的幾何重?cái)?shù)為ki.

[1] 杜先能，葉郁，殷曉斌，范益政. 高等代數(shù)[M]. 北京：高等教育出版社，2013.

[2] 李炯生，查建國. 線性代數(shù)[M]. 合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2005.

[3] 李尚志，線性代數(shù)(數(shù)學(xué)專業(yè)用)[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[4] 全洪正，黃小英. 求矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的一種新法[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30(1)：107-113.

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The Difficulty Decomposition of Analytic Method of Jordan Canonical Form Theory

BAOYan-Hong

(School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230601, China)

Jordan canonical form theory plays an important role in linear algebras. However, it is a teaching difficulty to show the existence of Jordan canonical form theory by using analytic method. Combining with the teaching practice, the difficulties are decomposed by analysing the mathematical idea and technique of analytic method of Jordan canonical form theory.

Jordan canonical form; invariant subspace; root subspace; cyclic subspace

2016-01-16； [修改日期]2016-06-08

安徽省教育廳教學(xué)改革與質(zhì)量提升計(jì)劃(2014zdjy022)，安徽大學(xué)研究性教學(xué)示范課程項(xiàng)目(J10118443005)

鮑炎紅(1981-),男，博士，副教授，從事代數(shù)表示論研究.Email:baoyh@ahu.edu.cn.

O151.21

C

1672-1454(2016)05-0096-05