王來全,李 碩，夏米西努爾·阿布都熱合曼

(1.昌吉職業(yè)技術(shù)學院 基礎(chǔ)部,新疆 昌吉 831100;2.昌吉學院 數(shù)學系,新疆 昌吉 831100；3.新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院,新疆 烏魯木齊 831146)

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凸多邊形與其內(nèi)接多邊形的面積關(guān)系

王來全1,李 碩2，夏米西努爾·阿布都熱合曼3

(1.昌吉職業(yè)技術(shù)學院 基礎(chǔ)部,新疆 昌吉 831100;2.昌吉學院 數(shù)學系,新疆 昌吉 831100；3.新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院,新疆 烏魯木齊 831146)

圖案設(shè)計和工程建筑經(jīng)常會涉及到圖形的面積問題,研究了任意凸多邊形與其內(nèi)接多邊形面積間的等比關(guān)系,并給出了等比關(guān)系式,數(shù)值模擬驗證了這一關(guān)系式的正確性.最后,討論了棱柱體在定義條件下的體積問題.

凸多邊形;內(nèi)接多邊形;正棱柱體;面積

研究物體的形狀、大小和相互位置的科學叫幾何學[1].幾何圖形一般是從客觀實際中抽象出來的,研究幾何圖形的性質(zhì),其中最重要的目的之一,在于應(yīng)用這些性質(zhì)來解決實際問題.對于面積而言,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)或日常生活方面,應(yīng)用都極為廣泛.例如:農(nóng)業(yè)上的畝產(chǎn)量計算[2],興修水利,密植、輪值,工業(yè)上安裝機器,樓層與倉庫的設(shè)置,測量各種建筑物的表面積容積[3-4],客廳、墻面等花紋底色圖案的設(shè)計問題都與面積的計算或作圖等有著密切的聯(lián)系.因此,研究圖形的面積問題,是平面幾何中的重要內(nèi)容之一.我們應(yīng)用平面幾何的相關(guān)理論,將多邊形的各邊中點順次相連組成新的圖形,重點討論了組成的新圖形與原圖形的面積關(guān)系,揭示了在這種定義形式下凸多邊形與其內(nèi)接多邊形的面積關(guān)系.

1 預(yù)備知識

定義1 在平面V2中,對任意凸N邊形,順次連接各邊中點所成的圖形,記為該N邊形的C1形,順次連接C1形各邊中點所成的圖形記為C2形,…，順次連接Ci形各邊中點所成的圖形記為Ci+1形(i∈N+).

定義2 在空間V3中，N棱柱的上下平面的C1形組成的棱柱體為N棱柱的X11形棱柱體，X11形棱柱體的上下平面的C2形組成的棱柱體為X22形棱柱體,…,Xii形棱柱體的上下平面的Ci+1形組成的棱柱體為Xi+1i+1形棱柱體(i∈N+).

定義3 在空間V3中，由N棱柱體(N+2面體)的各側(cè)棱中點和上下平面的C1形組成的3N+2面體，記為該棱柱體的Y形體.

2 主要結(jié)果

定理1 在平面V2中,任意四邊形的面積S0與該四邊形的Ci形面積Si間有等比關(guān)系,且有

證明 任取一個四邊形A1A2A3A4,A1A2的中點為B1,A2A3的中點為B2,A3A4的中點為B3,A4A1的中點為B4,則B1B2B3B4,設(shè)A1A3=x,A2A4=y,設(shè)ΔA1A2A3的高為h1,ΔA1A4A3的高為h2,ΔA1A2A4的高為h'1,ΔA2A3A4的高為h'2,則有

SΔB1A2B2+SΔB4A4B3+SΔA1B1A4+SΔB2B3A3=

注1 定理1還可以用割補、平移法證明,根據(jù)數(shù)學歸納法,可以得出下面的推論.

推論1 在V2中，任意N邊形的面積S0與該N邊形的Ci形的面積Si間有如下等比關(guān)系

當N→∞時,Si=S0,即圓與圓的Ci形的面積是相等的[5].

定理2 在V3中，任意N棱柱體的體積V0與N棱柱的Xii形棱柱體的體積Vi間有如下關(guān)系.

定理3 在V3中,任意正N棱柱體與其Y形體的體積比為一定值,且有

其中V20表示任意正N棱柱體的體積,V21表示該正N棱柱體的Y形體積.

證明 假設(shè)組成任一正N棱柱體的N邊形的邊長為a,正N棱柱的高為h,則正N邊形的面積為

當N→∞時,V20=V21,可認為圓柱體與它的Y形體的體積相等.

下面通過兩個具體的實例(N=6，N=7)來說明上述推論的正確性．

3 數(shù)值模擬

CAD軟件可以幫助設(shè)計人員計算、信息儲存和繪圖工作.應(yīng)用CAD軟件構(gòu)造出任意一六邊形(圖1)和任意一七邊形(圖2)，通過CAD的查詢命令計算了這一六邊形與七邊形的面積與其對應(yīng)的內(nèi)接圖形的面積,其中S0表示這一任意六邊形和七邊形的面積,Si表示六邊形和七邊形的Ci形面積(i>1),其結(jié)果如表1所示，進一步驗證了推論的正確性.

圖1 任取一六邊形及其內(nèi)接圖形

圖2 任取一七邊形及其內(nèi)接圖形

表1 六邊形和七邊形的面積與內(nèi)接圖形的面積關(guān)系

4 結(jié)論

通過探討任意凸N邊形內(nèi)接圖形的面積與原圖形的面積間的等比關(guān)系,并用CAD軟件進行模擬，模擬效果良好．這種在新定義下實施的面積計算方法,對以后一些圖案的設(shè)計有一定的啟示.所以,具體地求任意凸多邊形及其內(nèi)接多邊形的面積會在建筑工程造價等方面有很大的幫助,也將在一定程度上對推動機械制造和工程建筑業(yè)的進步有一定的意義.

[1]高孝忠,羅淼.解析幾何[M].北京:清華大學出版社,2011.

[2]中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.新課標數(shù)學九年級[M].北京:人民教育出版社,2010.

[3]呂林根,許子道.解析幾何[M].北京:高等教育出版社,2010.

[4]曾令淮,段輝明,李玲.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京:清華大學出版社,2014.

[5]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京:高等教育出版社,2014.

[6]張小平,張國清.建筑工程CAD[M].北京:人民交通出版社,2007.

(責任編輯:陳衍峰)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.015

2016-03-12

國家自然科學基金“人口流動對艾滋病傳播影響的動力學模型研究”(11261056);昌吉職業(yè)技術(shù)學院自然科學基金“具有干預(yù)措施的HIV/AIDS傳播模型的建立與研究”(CJZY2015026)

王來全,甘肅定西人,講師.

王來全,E-mail:wanglaiquana@126.com

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1008-7974(2016)04-0047-03