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        Riemann面上帶cusp奇點的共形度量*

        2016-12-19 11:08:26國金宇吳英毅魏志強
        關(guān)鍵詞:共形奇點等價

        國金宇, 吳英毅, 魏志強

        (中國科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 北京 100049)(2016年1月29日收稿; 2016年3月14日收修改稿)

        本文主要對Riemann面上帶cusp奇點的共形度量進行研究.

        1 背景和主要定理

        1.1 背景

        Calabi在1982年引入extremal K?hler度量[1],目的是在一個緊K?hler流形的固定K?hler類中找到“最佳”的度量.具體地,設(shè)M為一個緊K?hler流形,在一個固定的K?hler 類中,extremal K?hler度量是下述Calabi能量的臨界點

        這里K是K?hler類中度量g的數(shù)量曲率.C(g)的Euler-Lagrange方程是

        K,αβ=0,1≤α,β≤dimCM,

        (1)

        這里K,αβ是K的2階(0,2)型協(xié)變導(dǎo)數(shù).因此我們稱在一個緊K?hler流形M上滿足(1) 的度量為extremal K?hler度量.

        Extremal K?hler度量具有較好的性質(zhì),比如緊extremal K?hler 流形比一般的K?hler流形具有更好的對稱性,而且在光滑的緊Riemann面上,extremal K?hler 度量就是常曲率度量[1].

        經(jīng)典的單值化定理認(rèn)為,在緊致無邊的Riemann面上,對任意的Riemann度量,都會有常曲率度量與之共形等價.單值化定理無疑是經(jīng)典復(fù)分析中非常漂亮和重要的定理.

        過去很多人嘗試將經(jīng)典的單值化定理推廣到一般的帯邊曲面.而過去主要集中在帶有奇點的曲面上常曲率度量的存在性問題.

        為了推廣經(jīng)典的單值化定理,Chen等[2-3]繼承Calabi的思想,研究Calabi能量泛函的變分問題.在這個問題框架內(nèi),他們主要研究以下2個方面的問題:

        1)任意由有限面積和有限Calabi能量所組成的度量子集的弱緊性問題,引進了cusp奇點,得到有趣的“bubbles on bubbles”現(xiàn)象,并且得到這類度量序列的弱極限如果不為零,則該度量一定有cusp奇點.進而給出cusp奇點的基本性質(zhì)[2-3].

        2)Calabi能量泛函的變分問題.令M為緊Riemann面,g0為M{p1,p2…,pn} 上的Hermitian度量,其中p1,p2…,pn為g0的奇點.如果存在一個光滑函數(shù)e2φ,使得在M{p1,p2…,pn}上滿足g=e2φg0,此時稱g與g0共形等價.記P:={p1,p2…,pn},定義Calabi能量泛函E(g)與面積泛函A(g)分別為:

        (2)

        其中K為g的Gauss曲率. 定義變分空間G(g0)為

        G(g0)={g|g=e2φg0,φ∈H2,2(M),

        Calabi能量泛函的變分問題就是要研究在面積泛函固定的情況下,Calabi能量泛函最小,即對于任意g∈G(g0),使得Calabi能量泛函E(g)最小.

        我們稱Calabi 能量泛函的臨界點為extremal Hermitian 度量,它的Euler-Lagrange方程為

        ΔgK+K2=C,

        (3)

        其中K為g的Gauss曲率,C為實常數(shù).式(3)在局部復(fù)坐標(biāo)系(U,z)下等價于

        (4)

        見文獻(xiàn)[4].由(4)可知extremal Hermitian度量有2種特殊情況:

        1)K=const,即度量g為常Gauss曲率度量.

        2)如果g在局部復(fù)坐標(biāo)系(U,z)下滿足

        K,zz=0,

        (5)

        則稱g為HCMU(the Hessian of the curvature of the metric is umbilical)度量. 在下文中,假設(shè)共形度量g有有限的面積和有限的Calabi能量,即

        (6)

        Chen[4]進一步研究帶有cusp奇點的extremal Hermitian度量的相關(guān)性質(zhì),并給出Gauss曲率K在cusp奇點附近的相關(guān)估計.進而給出帶有cusp奇點的extremal Hermitian度量的分類定理.

        接著Wang和Zhu[5]將Chen的關(guān)于cusp奇點的情況推廣到錐奇點情況,他們證明了如果g=e2φ(z)|dz|2為D{0}上面積和Calabi能量都有限的extremal Hermitian度量,則z=0不是cusp奇點就是錐奇點. 進而得到關(guān)于錐奇點的分類定理.

        本文將就他所提出的問題進行研究,進一步給出當(dāng)g為HCMU度量時,共形參數(shù)在cusp奇點的局部表示.

        1.2 本文主要定理

        定理1.1 如果g=e2φ(z)|dz|2為D{0}上的共形度量,z=0為g的cusp奇點,如果共形參數(shù)φ(z)在cusp點附近有形式:φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)+o(ln(-ln|z|)),且余項o(ln(-ln|z|))在z=0附近(包括0點)光滑.

        (b) 若g為extremal Hermitian度量,則g在D{0}上面積和Calabi能量有限的充要條件為β=1.

        其中,α,β滿足下列關(guān)系式:

        定理1.3 如果g=e2φ(z)|dz|2為D{0}上的共形度量,z=0為g的cusp 奇點,并且在D{0} 上面積和Calabi能量都有限,若g為 HCMU度量,則在z=0 附近共形參數(shù)一定可以表示成

        φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z),

        其中,h(z)為在z=0點連續(xù),在0點以外光滑的正函數(shù).

        2 預(yù)備知識

        2.1 弱cusp奇點、cusp奇點、錐奇點

        定義2.3 設(shè)M是Riemann面,p∈M.(U,z)為p附近的復(fù)坐標(biāo)系且z(p)=0,g為U{p}上的光滑度量.如果g=e2φ|dz|2,并且φ-(α-1)ln|z|(α>0)在p處連續(xù),則稱p為g的錐奇點并且g在p處有錐角度2πα.

        注記:如果在弱cusp奇點附近滿足面積和Calabi能量有限,那么弱cusp奇點就是cusp奇點,見文獻(xiàn)[5].

        2.2 cusp奇點,extremal Hermitian 度量及HCMU度量的基本性質(zhì)

        設(shè)M是一個緊Riemann面,p1,…,pn是M上的n個點,記P:={p1,…,pn}. 設(shè)g是MP上的光滑保角度量.設(shè)(U,z)為MP上的局部復(fù)坐標(biāo)系,則g在U上可以寫成

        g=e2φ|dz|2.

        在文獻(xiàn)[4]中,Chen研究了面積和Calabi能量都有限且只帶有cusp奇點的extremal Hermitian度量.一方面,他證明如果該Riemann面為緊致無邊的,則extremal Hermitian 度量就是HCMU 度量.另一方面,給出Gauss曲率K在cusp奇點的精確估計,證明了Gauss曲率K在cusp奇點的極限為負(fù)常數(shù).

        Chen等[7]將文獻(xiàn)[6]中的結(jié)果推廣到既有cusp奇點又有錐奇點的非常曲率HCMU度量上.

        3 主要定理與證明

        現(xiàn)在返回到我們要研究的問題,在只帶有cusp奇點的Riemann面上,共形度量g=e2φ|dz|2滿足面積和Calabi能量都有限,則共形參數(shù)φ在cusp 點附近有什么樣的性質(zhì)?進一步要問如果度量g為HCMU 度量,那么共形參數(shù)在cusp奇點附近又該如何表示?共形參數(shù)的余項是否一定光滑?

        定理1.1的證明

        于是φ(z)變?yōu)?/p>

        φ(z)=-lnr-βln(-lnr)+lnh(z).

        (7)

        因此g=e2φ|dz|2在DR(0){0}上保持面積和Calabi能量有限等價于

        (8)

        (9)

        其中,K=-e-2φ·Δφ為g的Gauss曲率.

        所以由(7)式和(8)式得

        由于h(z)在z=0附近有正的上下界,所以

        A(g)|DR(0){0}<+∞

        等價于

        (10)

        另一方面由(7)式得

        Δφ=-βΔln(-lnr)+Δlnh(z)

        (11)

        所以由(9)式和(11)式得

        2βr(-lnr)2β-2h-2Δlnh+

        (Δlnh)2r3(-lnr)2βh-2]drdθ

        由于h(z)在z=0附近光滑,Δlnh(z)在z=0附近有界,因此后兩項絕對可積.于是

        E(g)|DR(0){0}<+∞

        等價于

        (12)

        證明(b) 由(7)式和(11)式可知共形度量g的Gauss曲率K為

        Δlnh·h-2r2(-lnr)2β,

        (13)

        接下來我們將在局部上構(gòu)造僅帶一個cusp奇點的度量,再利用單位分解在S2上構(gòu)造一個帶cusp奇點的度量.

        φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)-

        αln(ln(-ln|z|)).

        (14)

        我們將證明:g在D{0}上滿足面積和Calabi能量有限的充要條件是α和β滿足下面條件:

        下面給出具體的構(gòu)造方法.

        定理1.2的證明

        證明令

        即φ(z)=-lnr-βln(-lnr)-αln(ln(-lnr)),容易驗證對于任意的α,β,φ(z)恒滿足cusp奇點條件. 再令

        ψ(u,θ) =φ(e-ucosθ,e-usinθ)-u

        (15)

        則面積變?yōu)?/p>

        Calabi能量變?yōu)?/p>

        2β(lnu)-4α]2u2β-4(lnu)10αdudθ,

        由積分的收斂性可知,

        E(g)|D2R(0){0}<+∞

        等價于

        (16)

        綜上若φ有下面形式

        φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)-

        αln(ln(-ln|z|)),

        (17)

        則g在D2R(0)上滿足面積和Calabi能量都有限當(dāng)且僅當(dāng)α,β滿足下列關(guān)系式:

        (18)

        令p為單位球面S2上的一點,取p點附近的復(fù)坐標(biāo)圖(U1,z),使得z(p)=0,z(U1)=D2R(0),其中R為上文提到的.又設(shè)

        g1=e2φ|dz|2=

        (19)

        (20)

        (21)

        由定理1.2的證明并參照定義2.2,可以提出新的cusp奇點的定義,即

        定義3.1設(shè)M為Riemann面,p∈M,(U,z)為p附近的復(fù)坐標(biāo)圖,g=e2φ|dz|2為U{p}上的共形度量, 如果φ在z=0附近有下面形式

        φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)+lnh(z),

        (22)

        因此,從定理1.2的證明中可得:即使在面積和Calabi能量都有限的條件下也不能得出cusp奇點與強cusp奇點等價.

        下面的定理1.3將要證明:如果度量為HCMU度量并且滿足面積和Calabi能量有限,則cusp奇點一定是強cusp奇點,并且此時定義3.1中β=1.

        定理1.3的證明

        1)存在C′∈,使得在D{0}上有

        ,

        (23)

        這里C為(3)式中的常數(shù).由此可得

        (24)

        2)存在μ<0使得

        (25)

        并且

        (26)

        于是可設(shè)

        (27)

        其中λ-1為ω在z=0處的留數(shù),f1為在z=0附近的全純函數(shù),Φ為z=0附近的全純函數(shù)且Φ(0)=λ-1≠0. 所以由上面的1)、2)、3)并結(jié)合文獻(xiàn)[7](定理1.1)得到

        λ-1dln|z|2+2dRe(f1),

        (28)

        (29)

        由于(28)式左端可分解為

        (30)

        所以(28)式等價于

        d(λ-1ln|z|2+2Re(f1)).

        (31)

        對(31)式兩邊同時積分得

        =λ-1ln|z|2+2Re(f1)+C,

        (32)

        其中,C為常數(shù).

        由(29)式得

        [(K-μ)2(-2μ-K)·

        (33)

        φ(z)=-ln|z|+ln|μ-K|+

        (34)

        再將(34)式代入cusp奇點條件得

        (35)

        再對(32)式兩邊同除ln|z|,利用(35)式得到

        (36)

        其中,λ-1為ω在z=0(即cusp奇點)處的留數(shù).

        由于特征1-形式ω在cusp奇點處留數(shù)可正可負(fù),所以Gauss曲率K有2種情況.但無論哪種情況都有下面的式子成立:

        我們證明第1種情況,第2種情況類似.

        當(dāng)K<μ時,由(36)式得

        (37)

        (38)

        由ln的單調(diào)性,對(38)式兩邊同取ln有

        (39)

        對(39)式兩邊同除-ln(-ln|z|)有

        (40)

        由(40)式得到

        (41)

        所以由(34)式、(41)式共形參數(shù)φ(z)在cusp奇點附近一定可以寫成

        (42)

        再由(37)式知道(42)式的余項o(ln(-ln|z|)),在z=0處連續(xù)0以外光滑.

        所以(42)式經(jīng)整理得到

        φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh1(z),

        (43)

        其中,h1(z)為在z=0處連續(xù),在z=0以外光滑的正函數(shù).

        同理可以求出當(dāng)μ

        φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh2(z),

        (44)

        其中,h2(z)為在z=0處連續(xù),在z=0以外光滑的正函數(shù).

        所以綜上得到如果g為HCMU度量,共形參數(shù)在cusp奇點附近一定可以寫成

        φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z),

        (45)

        其中,h(z)為在z=0處連續(xù),在z=0以外光滑的正函數(shù).

        推論3.1令M為緊致無邊的Riemann面,記P:={p1,p2,…,pn},g=e2φ|dz|2為MP上的extremal Hermitian度量,其中P為M的cusp奇點,且g在MP上保持面積和Calabi能量都有限,則共形參數(shù)在cusp 奇點附近一定可以寫成

        φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z),

        (46)

        其中,h(z)為在z=0處連續(xù),在z=0以外光滑的正函數(shù).

        證明由文獻(xiàn)[4](定理A)我們知道:如果M為緊致無邊,g是M{p1,p2,…,pn}上的extremal Hermitian度量,其中p1,p2,…,pn為g的cusp奇點,并且滿足面積和Calabi能量都有限,則共形度量g一定為HCMU 度量,進而由上面的定理1.3得到結(jié)果.

        4 后續(xù)的討論

        對于一般Riemann面上的extremal Hermitian度量,其在cusp奇點附近面積和Calabi能量都有限,我們推測共形參數(shù)φ在cusp奇點附近也可以表示為

        φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z),

        其中,h(z)為在z=0處連續(xù),在z=0以外光滑的正函數(shù).

        因為無論從定理1.3還是最后的推論3.1,都有跡象表明應(yīng)該會有這樣的形式,因此我們會在后續(xù)研究中予以討論.

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