黃保球

(江蘇省清江中學(xué)，223001)

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關(guān)于不動點問題的探討

黃保球

(江蘇省清江中學(xué)，223001)

不動點問題是近幾年高考中考查的熱點,此類試題具有較強的綜合性,在高考試卷中失分較為嚴(yán)重．通過對近幾年高考試題的研究發(fā)現(xiàn),不動點問題主要和數(shù)列、函數(shù)、方程、解析幾何等緊密聯(lián)系,對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的要求,認真研究不動點問題的解題策略，有助于提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)效果．

一、不動點問題在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是高考的重要考點,也是綜合性較強的題型之一,求數(shù)列的通項公式是數(shù)列的基礎(chǔ).在解決此類問題時,往往可以從研究不動點問題入手,通過利用不動點問題的規(guī)律簡化數(shù)列通項的運算,提高數(shù)列通項求解的效率,拓展學(xué)生的思維,增強學(xué)生的解題能力．

評注 本題也可以通過數(shù)學(xué)歸納法等方法解決，但都不如不動點法簡潔.通過利用不動點問題求數(shù)列通項公式的方法實現(xiàn)了化繁為簡、化難為易的目的,大大提高了解題效率．

二、不動點問題在函數(shù)迭代中的應(yīng)用

函數(shù)迭代是函數(shù)的重要內(nèi)容之一,不動點問題與函數(shù)迭代巧妙融合,成為高考數(shù)學(xué)不動點問題的一個重要發(fā)展方向.巧妙利用不動點問題解決函數(shù)迭代問題,會達到事半功倍的目的．

例2 已知函數(shù)f(x)=x-sin x,0

解 令f(x)=x,可知x=0是函數(shù)f(x)的一個不動點．

0

綜上，可得

0

得證.

通過此題,可以看出不動點為求函數(shù)迭代問題提供了一種更加簡捷有效的方式,大大提高了數(shù)學(xué)解題效率．

三、不動點問題在方程中的應(yīng)用

方程是高中數(shù)學(xué)重要知識點,在解方程的過程中,經(jīng)常會遇到一些難題,如高次方程等.在解決這類方程時,有時利用一般求法可能無法順利解決,而利用不動點性質(zhì)可能順利得解．

例3 解方程：

x4-6x3+10x2-4x=0.

評注 通過這種將原方程轉(zhuǎn)化為同解方程F(x)=x,再求F(x)的不動點的方法,大大簡化了解題的過程,收到了良好的效果．

四、不動點問題在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點,也是高考的必考內(nèi)容之一.由于此類題目與函數(shù)關(guān)系密切,在解決時,有時利用不動點知識去解決,能夠收到更好的效果．

解 (1)將a=1,b=-2代入f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).令f(x)=x,得x2-2x-3=0，故f(x)的兩個不動點為-1,3.

(2)因為f(x)恒有兩個相異的不動點,即x=ax2+(b+1)x+(b-1)恒有兩個不等實根,故有Δ1=b2-4a(b-1)>0對任意實數(shù)b成立，從而Δ2=(4a)2-16a<0,解得0

總之,高中數(shù)學(xué)內(nèi)容復(fù)雜,試題解法靈活，不動點問題作為一種簡化解題思路、提高解題效率的方法在解題過程中發(fā)揮了重要的作用．利用不動點可以將復(fù)雜的數(shù)列、函數(shù)、方程、解析幾何解法予以簡化.在今后的教學(xué)中,教師不妨加強此類方法的指導(dǎo),不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力．