胡振宇

(江蘇省海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)，226600)

?

○高考之窗○

細(xì)品考試說(shuō)明 落實(shí)能力培養(yǎng)

胡振宇

(江蘇省海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)，226600)

一、問(wèn)題的提出

《江蘇高考考試說(shuō)明》明確指出，高考命題中突出數(shù)學(xué)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的考查;重視數(shù)學(xué)基本能力和綜合能力的考查;注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的考查．作為一線教學(xué)的教師應(yīng)當(dāng)在平時(shí)的教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練,積極引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與,敢于探索,積極創(chuàng)新．

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò),掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題．更多的高中學(xué)生喜歡刷題,而刷題的優(yōu)勢(shì)是常規(guī)化題目能夠比較熟練,劣勢(shì)就是缺乏對(duì)問(wèn)題的深入思考,尤其是遇到一個(gè)新問(wèn)題,用熟悉的題型去“套”的思維也許有一定的效果,即僅僅滿足于解出來(lái),而對(duì)本題所涉及數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解不夠透徹,因而不能融會(huì)貫通．只有深入思考才能提出新看法、巧解法．近幾年江蘇高考試題重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查,尤其突出考查學(xué)生的能力．我們教師在平時(shí)的教學(xué)中要立足教材，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、思考,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)．本文就教學(xué)中一個(gè)案例，引導(dǎo)學(xué)生積極探索，以期拋磚引玉.

二、案例與探索

案例 若正實(shí)數(shù)a、b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍．

視角1 等式轉(zhuǎn)化為不等式

利用不等式將題目中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于ab或a+b整體的不等式,再通過(guò)解不等式求出ab或a+b的取值范圍．

結(jié)合a、b為正實(shí)數(shù), 解得ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào).

所以ab的取值范圍是[9,+∞).

化簡(jiǎn)得(a+b)2-4(a+b)-12≥0.

因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù),所以a+b>0，解得a+b≥6,所以ab=a+b+3≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào).

所以ab的取值范圍是[9,+∞).

視角2 函數(shù)視角:“二元”化“一元”

本題屬于二元函數(shù)的值域問(wèn)題,題目所給的條件揭示了兩個(gè)正的變量a、b之間的關(guān)系,可以化”二元”為”一元”,即轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的值域問(wèn)題．

因?yàn)閍，b都是正實(shí)數(shù),所以b>1，

所以ab的取值范圍是[9,+∞).

因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù),所以b>1.

令y′=0，得b=3.當(dāng)13時(shí)y′>0，所以當(dāng)b=3 時(shí)y取得最小值9.

所以ab的取值范圍是[9,+∞).

視角3 利用條件式結(jié)構(gòu)巧妙構(gòu)造

解法5 由已知條件,得

(a-1)(b-1)=4.

易知a-1>0，b-1>0，所以

(a-1)+(b-1)

當(dāng)且僅當(dāng)a-1=b-1時(shí)取等號(hào).

結(jié)合已知條件 ab=a+b+3,解得a=b=3，所以a+b≥6,ab=a+b+3≥9.

所以ab的取值范圍是[9,+∞)

解法6 由已知條件，得

(a-1)(b-1)=4.

易知a-1>0，b-1>0.

當(dāng)且僅當(dāng)t=1即a=b=3時(shí)取等號(hào)．

所以ab的取值范圍是[9,+∞)

解法7 由已知條件ab=a+b+3，得

a+b=ab-3.

因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù),所以ab-3為正實(shí)數(shù).

關(guān)于x的一元二次方程x2-(ab-3)x+ab=0有正實(shí)數(shù)根，所以有

解得 ab≥9.

所以ab的取值范圍是[9,+∞).

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),因?yàn)閍b>3 解得ab≥9.

所以ab的取值范圍是[9,+∞).

三、解題小結(jié)

本題審題過(guò)程中主要采用了上面介紹的三個(gè)視角，通過(guò)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)變形、構(gòu)造、消元和基本不等式將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題獲得了解決.由此我們看到，在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意如下一些方面：

(1)利用基本不等式和重要不等式求取值范圍時(shí),尤其要注意將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系．通過(guò)解不等式求出取值范圍．解法1和解法2將條件中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于未知量(或其關(guān)聯(lián)量)的不等式,通過(guò)解不等式求出有關(guān)取值范圍，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．

(2)在解題中應(yīng)抓住已知等量關(guān)系,通過(guò)降維(消元)將多元取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元取值范圍問(wèn)題，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想．解法3是典型的分式函數(shù)求值域問(wèn)題；解法4以導(dǎo)數(shù)為工具求函數(shù)的值域，更加具有一般性．

(3)抓住結(jié)構(gòu),巧妙構(gòu)造．解法5通過(guò)參變分離,構(gòu)造出應(yīng)用均值不等式的定值條件;

解法6抓住結(jié)構(gòu)巧妙換元,實(shí)現(xiàn)知識(shí)與方法的合理遷移;

解法7構(gòu)造一元二次方程有正實(shí)數(shù)根,整體求出ab的取值范圍．

解法8抓住結(jié)構(gòu)構(gòu)造等差數(shù)列,結(jié)合放縮法得到關(guān)于ab的不等式求解．

(4)第二類(lèi)消元的方法為通用方法．其它方法都是特殊方法．在實(shí)踐操作中應(yīng)甄別算法,提升運(yùn)算能力．提高運(yùn)算求解能力的關(guān)鍵不僅僅是細(xì)心,更重要的是思考算理,當(dāng)然,一些常見(jiàn)的方法,如換元、消元等能有效簡(jiǎn)化運(yùn)算,提高運(yùn)算效率,必須在學(xué)習(xí)中去思考．學(xué)習(xí)中要重視計(jì)算,比較不同的算法,最終提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性和速度．

四、教學(xué)反思

一道經(jīng)典題,經(jīng)過(guò)分析、再思考,立足于不同的視角,有多種不同的解法,解法是自然的,讓人回味,發(fā)人深省,同時(shí)也為今后的數(shù)學(xué)教學(xué)指明了思考的方向．

1. 既重結(jié)果、更重過(guò)程

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的積極參與,強(qiáng)調(diào)學(xué)生的體驗(yàn),強(qiáng)調(diào)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程．在解題教學(xué)中,不僅要關(guān)注學(xué)生解題結(jié)果的正確與否,而且還要讓學(xué)生展示他們的思維過(guò)程.特別是對(duì)那些學(xué)生易錯(cuò)、易漏、不嚴(yán)謹(jǐn)、欠規(guī)范或?qū)χR(shí)的理解出現(xiàn)偏差或錯(cuò)誤的要害處,我們更要讓學(xué)生去體驗(yàn)．平時(shí)的教學(xué)中,教師要讓學(xué)生充分“暴露”他們的錯(cuò)誤,通過(guò)引導(dǎo)、交流、討論,讓學(xué)生在思維的碰撞中,既能知錯(cuò)、又能改錯(cuò),引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和比較各種思路的優(yōu)劣,解法的長(zhǎng)短,和學(xué)生一起探求最優(yōu)解法和通性通法．讓學(xué)生主動(dòng)參與,積極思考,在體驗(yàn)中享受成功的喜悅．

2.既重知識(shí)、又重能力

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”.對(duì)學(xué)生一生的影響中,最有用的不僅是數(shù)學(xué)知識(shí),更重要的是數(shù)學(xué)思維能力. 因此我們?cè)诮虒W(xué)中不僅要重視知識(shí)的形成過(guò)程,還要在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生過(guò)程中重視挖掘它所蘊(yùn)藏的重要思想方法,提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維能力．重知識(shí),還表現(xiàn)在解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考知識(shí)間的邏輯聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比、想象、抽象概括的能力,在通過(guò)尋找知識(shí)內(nèi)部聯(lián)系看本質(zhì),進(jìn)而把握問(wèn)題的本質(zhì),探索到合理、高效的解題方法．這樣將知識(shí)學(xué)透 、方法精通、能力升華三者有機(jī)結(jié)合起來(lái),我們的教學(xué)才更加高效.

3.輕技巧，重通法

高考是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的檢驗(yàn),高考試題計(jì)算量偏大,要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成．對(duì)于多數(shù)學(xué)生而言,時(shí)間是最寶貴的,掌握一定的解題技巧也是有必要的．但技巧的背后往往有一定的局限性和偶然性,有時(shí)難以在短時(shí)間內(nèi)想到．因此我們平時(shí)的教學(xué)中,我們更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生如何去分析思維的起點(diǎn)在哪里,突破口又在哪里. 注重知識(shí)間的邏輯聯(lián)系,講通法,但更重視這些方法背后所蘊(yùn)含的最基本的數(shù)學(xué)思想方法(如本題中所涉及到的消元的方法、函數(shù)與方程的思想、化歸的思想等),讓通性通法成為學(xué)生思維的主旋律,而技巧只是輔助思維的調(diào)味品．

4.知差異 重個(gè)性

新課標(biāo)要求教師要認(rèn)識(shí)學(xué)生間的差異,關(guān)注學(xué)生個(gè)性的發(fā)展．教學(xué)中如何讓所有學(xué)生都能吃飽,又能讓優(yōu)秀學(xué)生吃得好,需要教師及時(shí)與學(xué)生溝通,了解學(xué)生的困惑,適時(shí)調(diào)整自身的教學(xué)策略．讓每一位學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力都有大幅度的提升是我們教師關(guān)注的焦點(diǎn)和熱點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)要求學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,將一些簡(jiǎn)單的實(shí)際間題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)間題,并加以解決,創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)要求學(xué)生能夠綜合,靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法,創(chuàng)造性地解決問(wèn)題,這些都要我們教師在平時(shí)的教學(xué)中有意滲透,積極積累．