崔 文● 侯宇虹 ●

山東省文登第一中學(264400)

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巧用構(gòu)造法解題

崔 文● 侯宇虹 ●

山東省文登第一中學(264400)

“構(gòu)造法”適用于解決某些使用通常方法，按照定向思維難以解決的問題，根據(jù)題設條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點去觀察、分析、解決問題.一般有構(gòu)造輔助函數(shù)、輔助方程、輔助數(shù)列、輔助圖形、輔助向量、輔助模型、輔助對偶式等.

1.構(gòu)造輔助函數(shù)

分析 許多證明復雜不等式的問題，首先構(gòu)造一個輔助函數(shù)，然后利用導數(shù)得到構(gòu)造的新函數(shù)的最值情況，使問題得證.這種類型的問題是近幾年高考考查的重點，備考要格外重視.

2.構(gòu)造輔助方程

分析 判別式法是求此類分式函數(shù)值域方法中的一種,它的理論依據(jù)是將y=f(x)化為關(guān)于x的二次方程,那么方程必有實根,判別式Δ≥0,由此可求得函數(shù)的值域.

(2)當y=1時,x=0, 方程有解，所以y=1成立.

3.構(gòu)造輔助數(shù)列

例3 數(shù)列{an}中，若a1=1，a2=3,an+2+4an+1-5an=0 (n∈N*),求an.

分析 許多數(shù)列不是等差、等比數(shù)列，可間接構(gòu)造一個等差、等比數(shù)列，或者熟悉的數(shù)列，然后求通項公式.

解析 由an+2+4an+1-5an=0得an+2-an+1=-5(an+1-an).設bn=an+1-an，則數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比是-5,首項b1=a2-a1=2,∴an+1-an=2·(-5)n-1，即a2-a1=2·(-5)0,a3-a2=2·(-5)1,a4-a3=2·(-5)2,…,an-an-1=2·(-5)n-2.

4.構(gòu)造平面輔助圖形

分析 利用坐標系構(gòu)造過定點M(-2，0)和動點P(cosx,sinx)的直線斜率范圍為所求值域.

5.構(gòu)造立體輔助圖形

分析 由已知條件cos2α+cos2β+cos2γ=1(α、β、γ為銳角)，聯(lián)想到長方體的對角線與過同一頂點的三條棱所成的角的余弦也有此關(guān)系.

6.構(gòu)造輔助向量

分析 本題可以看成兩個向量的數(shù)量積，然后借助數(shù)量積的運算性質(zhì)求解.

7.構(gòu)造輔助模型

例7 方程x1+x2+x3+x4=12的正整數(shù)解的組數(shù)是( ).

A.24 B. 72 C.144 D.165

分析 把代數(shù)問題借助排列組合的知識進行轉(zhuǎn)化，變成排列組合中的“隔板”問題.

運用構(gòu)造法解題時，側(cè)重轉(zhuǎn)化，需要積累一定的解題經(jīng)驗，尤其是數(shù)學模型的積累，方可運籌帷幄，決勝千里.

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1008-0333(2016)28-0011-01